Mengenalkan Fungsi Eksponensial Basis e

Contoh Turunan dari e

Konstanta Proporsionalitas

Ketika kita mengatakan bahwa hubungan atau fenomena adalah “eksponensial,” kita berarti bahwa laju perubahan suatu kuantitas tumbuh proporsional dengan kuantitas itu sendiri. Akibatnya, turunan dari fungsi eksponensial sama dengan fungsi asli dikalikan konstanta (k) yang mewakili proporsionalitas ini.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = k a^x$$

Konstanta proporsionalitas hanyalah logaritma natural dari basis:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}a^x = \ln(a)\times a^x$$

Ketika basis adalah bilangan natural e, ln(e) = 1, sehingga turunan dari e^x adalah e^x itu sendiri:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^x = e^x$$

Aturan “Rantai”

Jika eksponen adalah ekspresi yang lebih kompleks, kita menerapkan aturan rantai: turunkan fungsi eksponensial luar dan kalikan dengan turunan dari fungsi dalam.

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

Teknik ini berguna untuk mengevaluasi sensitivitas arus dioda terhadap tegangan. Persamaan Dioda Shockley memberikan hubungan perkiraan antara tegangan di seluruh dioda (V_D) dan arus yang mengalinya (I_D):

$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

(Lihat halaman “Dioda dan Diramper” untuk penjelasan lebih dalam; perhatikan bahwa I_S adalah konstanta, bukan variabel.) Untuk menemukan bagaimana arus berubah terhadap tegangan, turunkan:

$$\frac{\text{d}I_D}{\text{d}V_D} = \frac{\text{d}}{\text{d}V_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$

Jadi, pada V_D tertentu, peningkatan tegangan kecil meningkatkan arus sebesar (I_S/0.026) e^{V_D/0.026}.

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Kalkulus untuk Rangkaian Listrik