Harmonik dalam Sistem Tenaga Polifase

Di sirkuit ini, kami memiliki sumber arus sebesar 50 mA dan frekuensi 180 Hz, yang merupakan tiga kali frekuensi sumber 60 Hz. Dihubungkan secara paralel dengan resistor beban 1 kΩ, arusnya akan ditambahkan dengan resistor untuk membuat arus saluran total nonsinusoidal.

Saya akan menunjukkan plot bentuk gelombang pada gambar di bawah agar Anda dapat melihat efek arus harmonik ke-3 ini pada arus total, yang biasanya berupa gelombang sinus biasa.

Plot domain waktu SPICE menunjukkan jumlah sumber 60 Hz dan harmonik ke-3 180 Hz.

Empat komponen respons transien v(2,3) komponen dc =1.349E-11 frekuensi harmonik Fourier fase dinormalisasi dinormalisasi tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.198E-01 1.000.000 -72.000 0.000 2 1.200E+02 1.609E-11 0,000000 67.570 139.570 3 1.800E+02 4.990E-02 0.416667 144.000 216.000 4 2.400E+02 1.074E-10 0,000000 -169.546 -97.546 5 3.000E+02 3.871E-11 0.000000 169.582 241.582 6 3.600E+02 5.736E-11 0,000000 140.845 212.845 7 4.200E+02 8.407E-11 0,000000 177.071 249.071 8 4.800E+02 1.329E-10 0,000000 156.772 228.772 9 5.400E+02 2.619E-10 0,000000 160.498 232.498 distorsi harmonik total =41.666663 persen 

Plot SPICE Fourier menunjukkan sumber 60 Hz dan harmonik ke-3 180 Hz.

Dalam analisis Fourier, (Lihat gambar di atas dan “Komponen Fourier dari respons transien v(2,3)”), frekuensi campuran tidak dicampur dan disajikan secara terpisah.

Di sini kita melihat 0,1198 amp yang sama dari arus 60 Hz (fundamental) seperti yang kita lakukan pada simulasi pertama, tetapi muncul di baris harmonik ke-3 kita melihat 49,9 mA:sumber arus 50 mA, 180 Hz kami bekerja. Mengapa kita tidak melihat seluruh 50 mA melalui saluran?

Karena sumber arus itu terhubung melalui resistor beban 1 kΩ, maka sebagian arusnya dialiri melalui beban dan tidak pernah melewati saluran kembali ke sumbernya. Ini adalah konsekuensi yang tak terhindarkan dari jenis simulasi ini, di mana satu bagian dari beban adalah "normal" (resistor) dan bagian lainnya ditiru oleh sumber arus.

Simulasi Sistem AC Satu Fasa Nonlinier dengan Beberapa Sumber Arus

Jika kita menambahkan lebih banyak sumber arus ke "beban", kita akan melihat distorsi lebih lanjut dari bentuk gelombang arus garis dari bentuk gelombang sinus yang ideal, dan masing-masing arus harmonik tersebut akan muncul dalam rincian analisis Fourier. Lihat gambar di bawah dan daftar SPICE:“Simulasi beban nonlinier”.

Beban nonlinier:harmonik ke-1, ke-3, ke-5, ke-7, dan ke-9.

Simulasi beban nonlinier vsource 1 0 sin(0 120 60 0 0) sumber 1 2 1 rline 2 3 1 rload 3 0 1k i3har 3 0 dosa(0 50m 180 0 0) i5har 3 0 sin(0 50m 300 0 0) i7har 3 0 dosa(0 50m 420 0 0) i9har 3 0 dosa(0 50m 540 0 0) .options itl5=0 .trans 0,5m 30m 0 1u .plot tran v(2,3) .empat 60 v(2,3) .end 

Empat komponen respons transien v(2,3) komponen dc =6.299E-11 frekuensi harmonik Fourier fase dinormalisasi dinormalisasi tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.198E-01 1.000.000 -72.000 0.000 2 1.200E+02 1.900E-09 0,000000 -93.908 -21.908 3 1.800E+02 4.990E-02 0.416667 144.000 216.000 4 2.400E+02 5.469E-09 0,000000 -116.873 -44.873 5 3.000E+02 4.990E-02 0.416667 0.000 72.000 6 3.600E+02 6.271E-09 0,000000 85.062 157.062 7 4.200E+02 4.990E-02 0.416666 -144.000 -72.000 8 4.800E+02 2.742E-09 0,000000 -38.781 33.219 9 5.400E+02 4.990E-02 0.416666 72.000 144.000 distorsi harmonik total =83,333296 persen 

Analisis empat:“Empat komponen respons transien v(2,3)”.

Seperti yang Anda lihat dari analisis Fourier (Gambar di atas), setiap sumber arus harmonik direpresentasikan secara merata dalam arus saluran, masing-masing pada 49,9 mA. Sejauh ini, ini hanyalah simulasi sistem tenaga satu fase.

Simulasi Sistem AC Tiga Fase

Hal-hal menjadi lebih menarik ketika kami membuatnya menjadi simulasi tiga fase. Dua analisis Fourier akan dilakukan:satu untuk tegangan melintasi resistor saluran, dan satu untuk tegangan melintasi resistor netral.

Seperti sebelumnya, membaca tegangan pada resistansi tetap 1 masing-masing memberikan indikasi langsung arus melalui resistor tersebut. Lihat gambar di bawah dan daftar SPICE “Sistem 4-kawat sumber/beban Y-Y dengan harmonik”.

Sirkuit SPICE:analisis "arus saluran" dan "arus netral", sistem 4-kawat sumber/beban Y-Y dengan harmonik.

Sistem 4-kawat sumber Y-Y/beban dengan harmonik * * sumber tegangan phase1 dan r (120 v /_ 0 deg) vsource1 1 0 sin(0 120 60 0 0) sumber1 1 2 1 * * sumber tegangan phase2 dan r (120 v /_ 120 derajat) vsource2 3 0 sin(0 120 60 5.55555m 0) sumber2 3 4 1 * * sumber tegangan phase3 dan r (120 v /_ 240 deg) vsource3 5 0 sin(0 120 60 11.1111m 0) sumber3 5 6 1 * * resistansi garis dan kabel netral rline1 2 8 1 rline2 4 9 1 rline3 6 10 1 netral 0 7 1 * * fase 1 dari beban rload1 8 7 1k i3har1 8 7 dosa(0 50m 180 0 0) i5har1 8 7 dosa(0 50m 300 0 0) i7har1 8 7 dosa(0 50m 420 0 0) i9har1 8 7 dosa(0 50m 540 0 0) * * fase 2 beban rload2 9 7 1k i3har2 9 7 dosa(0 50m 180 5.55555m 0) i5har2 9 7 dosa(0 50m 300 5.55555m 0) i7har2 9 7 dosa(0 50m 420 5.55555m 0) i9har2 9 7 dosa(0 50m 540 5.55555m 0) * * fase 3 beban rload3 10 7 1k i3har3 10 7 dosa(0 50m 180 11,1111m 0) i5har3 10 7 dosa(0 50m 300 11,1111m 0) i7har3 10 7 dosa(0 50m 420 11,1111m 0) i9har3 10 7 dosa(0 50m 540 11,1111m 0) * * hal-hal analisis .options itl5=0 .trans 0,5m 100m 12m 1u .plot tran v(2,8) .empat 60 v(2,8) .plot tran v(0,7) .empat 60 v (0,7) .akhir 

Analisis empater arus saluran:

Empat komponen respons transien v(2,8) komponen dc =-6.404E-12 frekuensi harmonik Fourier fase dinormalisasi dinormalisasi tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.198E-01 1.000.000 0.000 0.000 2 1.200E+02 2.218E-10 0,000000 172.985 172.985 3 1.800E+02 4.975E-02 0.415423 0.000 0.000 4 2.400E+02 4.236E-10 0,000000 166.990 166.990 5 3.000E+02 4.990E-02 0.416667 0.000 0.000 6 3.600E+02 1.877E-10 0,000000 -147.146 -147.146 7 4.200E+02 4.990E-02 0.416666 0.000 0.000 8 4.800E+02 2.784E-10 0,000000 -148.811 -148.811 9 5.400E+02 4.975E-02 0.415422 0.000 0.000 distorsi harmonik total =83,209009 persen 

Analisis empati arus saluran dalam sistem Y-Y seimbang.

Analisis empater arus netral:

Empat komponen respon transien v(0,7) komponen dc =1.819E-10 frekuensi harmonik Fourier fase dinormalisasi dinormalisasi tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 4.337E-07 1.000.000 60.018 0.000 2 1.200E+02 1.869E-10 0.000431 91.206 31.188 3 1.800E+02 1.493E-01 344147.7638 -180.000 -240.018 4 2.400E+02 1.257E-09 0.002898 -21.103 -81.121 5 3.000E+02 9.023E-07 2.080596 119.981 59.963 6 3.600E+02 3.396E-10 0.000783 15.882 -44.136 7 4.200E+02 1.264E-06 2.913955 59.993 -0.025 8 4.800E+02 5.975E-10 0.001378 35.584 -24.434 9 5.400E+02 1.493E-01 344147.4889 -179.999 -240.017 

Analisis Fourier dari arus netral menunjukkan selain tidak ada harmonik! Bandingkan dengan arus saluran pada Gambar di atas.

Ini adalah sistem tenaga Y-Y seimbang, setiap fase identik dengan sistem AC satu fase yang disimulasikan sebelumnya. Akibatnya, tidak mengherankan bahwa analisis Fourier untuk arus saluran dalam satu fase dari sistem 3 fase hampir identik dengan analisis Fourier untuk arus saluran dalam sistem satu fase:arus saluran fundamental (60 Hz) sebesar 0,1198 amp dan arus harmonik ganjil masing-masing sekitar 50 mA.

Lihat gambar di atas dan analisis Fourier:“Empat komponen respons transien v(2,8)”

Apa yang mengejutkan di sini adalah analisis untuk arus penghantar netral, seperti yang ditentukan oleh jatuh tegangan pada R_netral resistor antara node SPICE 0 dan 7.

Dalam beban 3 fase Y yang seimbang, kita akan mengharapkan arus netral menjadi nol. Setiap arus fasa—yang dengan sendirinya akan melewati kabel netral kembali ke fasa suplai pada sumber Y—harus saling meniadakan sehubungan dengan konduktor netral karena besarnya sama dan semuanya bergeser 120°.

Dalam sistem tanpa arus harmonik, ini adalah apa yang terjadi, meninggalkan arus nol melalui konduktor netral.

Pengaruh Arus Harmonik pada Sistem

Namun, kami tidak dapat mengatakan hal yang sama untuk harmonik arus dalam sistem yang sama.

Perhatikan bahwa frekuensi dasar (60 Hz, atau harmonik pertama) arus hampir tidak ada dari konduktor netral. Analisis Fourier kami hanya menunjukkan 0,4337 A harmonik pertama saat membaca tegangan melintasi R_netral . Hal yang sama dapat dikatakan tentang harmonik ke-5 dan ke-7, kedua arus tersebut memiliki magnitudo yang dapat diabaikan.

Sebaliknya, harmonik ke-3 dan ke-9 sangat terwakili dalam konduktor netral, dengan masing-masing 149,3 mA (1,493E-01 volt melintasi 1 )! Ini hampir 150 mA, atau tiga kali lipat nilai sumber saat ini, secara individual.

Dengan tiga sumber per frekuensi harmonik dalam beban, tampaknya arus harmonik ke-3 dan ke-9 kami di setiap fase menambah membentuk arus netral. Lihat Analisis Fourier:“Empat komponen respons transien v(0,7) ”

Analisis Grafik domain waktu

Inilah yang sebenarnya terjadi, meskipun mungkin tidak jelas mengapa demikian.

Kunci untuk memahami hal ini dijelaskan dalam grafik domain waktu arus fasa. Periksa plot arus fasa seimbang ini dari waktu ke waktu, dengan urutan fasa 1-2-3. (Gambar di bawah)

Urutan fase 1-2-3-1-2-3-1-2-3 dari gelombang yang berjarak sama.

Dengan tiga bentuk gelombang fundamental yang sama-sama bergeser melintasi sumbu waktu grafik, mudah untuk melihat bagaimana mereka akan saling meniadakan untuk memberikan arus yang dihasilkan nol pada konduktor netral. Namun, mari kita pertimbangkan, seperti apa bentuk gelombang harmonik ke-3 untuk fase 1 yang ditumpangkan pada grafik pada gambar di bawah ini.

Bentuk gelombang harmonik ketiga untuk fase-1 ditumpangkan pada bentuk gelombang fundamental tiga fase.

Amati bagaimana bentuk gelombang harmonik ini memiliki hubungan fase yang sama dengan bentuk gelombang dasar ke-2 dan ke-3 seperti halnya dengan gelombang ke-1:di setiap setengah siklus positif setiap dari bentuk gelombang fundamental, Anda akan menemukan tepat dua setengah siklus positif dan satu setengah siklus negatif dari bentuk gelombang harmonik.

Ini berarti bahwa bentuk gelombang harmonik ke-3 dari tiga bentuk gelombang frekuensi dasar yang bergeser fase 120° sebenarnya sefasa dengan satu sama lain. Gambar pergeseran fasa 120° umumnya diasumsikan dalam sistem AC tiga fasa hanya berlaku untuk frekuensi dasar, bukan kelipatan harmoniknya!

Jika kita memplot ketiga bentuk gelombang harmonik ke-3 pada grafik yang sama, kita akan melihatnya secara tepat tumpang tindih dan muncul sebagai bentuk gelombang tunggal yang terpadu (ditunjukkan dalam huruf tebal pada (Gambar di bawah)

Harmonik ketiga untuk fase 1, 2, 3 semuanya bertepatan ketika ditumpangkan pada bentuk gelombang tiga fase dasar.

Analisis Matematika dari Grafik Domain-Waktu

Untuk lebih cenderung matematis, prinsip ini dapat dinyatakan secara simbolis. Misalkan A mewakili satu bentuk gelombang dan B lain, keduanya pada frekuensi yang sama, tetapi bergeser 120 ° dari satu sama lain dalam hal fase. Mari kita sebut harmonik ke-3 dari setiap bentuk gelombang A’ dan B’ , masing-masing.

Pergeseran fase antara A’ dan B’ bukan 120° (yaitu pergeseran fasa antara A dan B ), tetapi 3 kali lipat, karena A’ dan B’ bentuk gelombang bergantian tiga kali lebih cepat dari A dan B . Pergeseran antara bentuk gelombang hanya secara akurat dinyatakan dalam sudut fase ketika kecepatan sudut yang sama diasumsikan.

Saat menghubungkan bentuk gelombang dari frekuensi yang berbeda, cara paling akurat untuk merepresentasikan pergeseran fasa adalah dalam hal waktu; dan pergeseran waktu antara A' dan B’ setara dengan 120° pada frekuensi tiga kali lebih rendah, atau 360° pada frekuensi A’ dan B’ . Pergeseran fasa 360° sama dengan pergeseran fasa 0°, artinya tidak ada pergeseran fasa sama sekali.

Jadi, A’ dan B’ harus sefase satu sama lain:

Karakteristik harmonik ke-3 dalam sistem tiga fase ini juga berlaku untuk kelipatan bilangan bulat dari harmonik ke-3.

Jadi, tidak hanya bentuk gelombang harmonik ke-3 dari masing-masing bentuk gelombang dasar yang sefasa satu sama lain, tetapi juga harmonik ke-6, ke-9, ke-12, ke-15, ke-18, ke-21, dan seterusnya.

Karena hanya harmonik ganjil yang muncul dalam sistem di mana distorsi bentuk gelombang simetris terhadap garis tengah—dan sebagian besar beban nonlinier menciptakan distorsi simetris—kelipatan genap harmonik ke-3 (6, 12, 18, dll.) umumnya tidak signifikan, hanya menyisakan kelipatan ganjil (ke-3, 9, 15, 21, dll.) untuk secara signifikan berkontribusi pada arus netral.

Dalam sistem tenaga polifase dengan beberapa jumlah fase selain tiga, efek ini terjadi dengan harmonik dari kelipatan yang sama. Misalnya, arus harmonik yang ditambahkan ke penghantar netral dari sistem 4-fase terhubung bintang di mana pergeseran fasa antara bentuk gelombang dasar adalah 90° akan menjadi ke-4, ke-8, ke-12, ke-16, ke-20, dan seterusnya.

Triple Harmonik

Karena kelimpahan dan signifikansinya dalam sistem tenaga tiga fase, harmonik ke-3 dan kelipatannya memiliki nama khusus sendiri:harmonik rangkap tiga .

Semua harmonik rangkap tiga saling menambah satu sama lain dalam konduktor netral dari beban terhubung-Y 4-kawat. Dalam sistem tenaga yang mengandung beban nonlinier yang substansial, arus harmonik rangkap tiga mungkin cukup besar untuk menyebabkan konduktor netral menjadi terlalu panas.

Ini sangat bermasalah, karena masalah keselamatan lainnya melarang konduktor netral memiliki proteksi arus lebih, dan dengan demikian tidak ada ketentuan untuk gangguan otomatis arus tinggi ini.

Analisis Pengaruh Harmonik Triplen pada Rangkaian Y-Y

Ilustrasi berikut menunjukkan bagaimana arus harmonik tiga kali lipat yang dibuat pada beban ditambahkan di dalam konduktor netral. Simbol “ω” digunakan untuk menyatakan kecepatan sudut dan secara matematis setara dengan 2πf. Jadi, “ω” mewakili frekuensi dasar, “3ω ” mewakili harmonik ke-3, “5ω” mewakili harmonik ke-5, dan seterusnya:(Gambar di bawah)

“Y-Y”Sumber/beban tiga kali lipat:Arus harmonik menambahkan konduktor netral.

Dalam upaya untuk mengurangi arus triplen aditif ini, orang mungkin tergoda untuk melepas kabel netral seluruhnya. Jika tidak ada kabel netral di mana arus tiga kali lipat dapat mengalir bersama, maka tidak akan terjadi, bukan?

Unfortunately, doing so just causes a different problem:the load’s “Y” center-point will no longer be at the same potential as the source’s, meaning that each phase of the load will receive a different voltage than what is produced by the source.

We’ll re-run the last SPICE simulation without the 1 Ω R_neutral resistor and see what happens:

Y-Y source/load (no neutral) with harmonics * * phase1 voltage source and r (120 v / 0 deg) vsource1 1 0 sin(0 120 60 0 0) rsource1 1 2 1 * * phase2 voltage source and r (120 v / 120 deg) vsource2 3 0 sin(0 120 60 5.55555m 0) rsource2 3 4 1 * * phase3 voltage source and r (120 v / 240 deg) vsource3 5 0 sin(0 120 60 11.1111m 0) rsource3 5 6 1 * * line resistances rline1 2 8 1 rline2 4 9 1 rline3 6 10 1 * * phase 1 of load rload1 8 7 1k i3har1 8 7 sin(0 50m 180 0 0) i5har1 8 7 sin(0 50m 300 0 0) i7har1 8 7 sin(0 50m 420 0 0) i9har1 8 7 sin(0 50m 540 0 0) * * phase 2 of load rload2 9 7 1k i3har2 9 7 sin(0 50m 180 5.55555m 0) i5har2 9 7 sin(0 50m 300 5.55555m 0) i7har2 9 7 sin(0 50m 420 5.55555m 0) i9har2 9 7 sin(0 50m 540 5.55555m 0) * * phase 3 of load rload3 10 7 1k i3har3 10 7 sin(0 50m 180 11.1111m 0) i5har3 10 7 sin(0 50m 300 11.1111m 0) i7har3 10 7 sin(0 50m 420 11.1111m 0) i9har3 10 7 sin(0 50m 540 11.1111m 0) * * analysis stuff .options itl5=0 .tran 0.5m 100m 12m 1u .plot tran v(2,8) .four 60 v(2,8) .plot tran v(0,7) .four 60 v(0,7) .plot tran v(8,7) .four 60 v(8,7) .akhir 

Fourier analysis of line current:

Fourier components of transient response v(2,8) dc component =5.423E-11 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.198E-01 1.000000 0.000 0.000 2 1.200E+02 2.388E-10 0.000000 158.016 158.016 3 1.800E+02 3.136E-07 0.000003 -90.009 -90.009 4 2.400E+02 5.963E-11 0.000000 -111.510 -111.510 5 3.000E+02 4.990E-02 0.416665 0.000 0.000 6 3.600E+02 8.606E-11 0.000000 -124.565 -124.565 7 4.200E+02 4.990E-02 0.416668 0.000 0.000 8 4.800E+02 8.126E-11 0.000000 -159.638 -159.638 9 5.400E+02 9.406E-07 0.000008 -90.005 -90.005 total harmonic distortion =58.925539 percent 

Fourier analysis of voltage between the two “Y” center-points:

Fourier components of transient response v(0,7) dc component =6.093E-08 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.453E-04 1.000000 60.018 0.000 2 1.200E+02 6.263E-08 0.000431 91.206 31.188 3 1.800E+02 5.000E+01 344147.7879 -180.000 -240.018 4 2.400E+02 4.210E-07 0.002898 -21.103 -81.121 5 3.000E+02 3.023E-04 2.080596 119.981 59.963 6 3.600E+02 1.138E-07 0.000783 15.882 -44.136 7 4.200E+02 4.234E-04 2.913955 59.993 -0.025 8 4.800E+02 2.001E-07 0.001378 35.584 -24.434 9 5.400E+02 5.000E+01 344147.4728 -179.999 -240.017 total harmonic distortion =************ percent 

Fourier analysis of load phase voltage:

Fourier components of transient response v(8,7) dc component =6.070E-08 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.198E+02 1.000000 0.000 0.000 2 1.200E+02 6.231E-08 0.000000 90.473 90.473 3 1.800E+02 5.000E+01 0.417500 -180.000 -180.000 4 2.400E+02 4.278E-07 0.000000 -19.747 -19.747 5 3.000E+02 9.995E-02 0.000835 179.850 179.850 6 3.600E+02 1.023E-07 0.000000 13.485 13.485 7 4.200E+02 9.959E-02 0.000832 179.790 179.789 8 4.800E+02 1.991E-07 0.000000 35.462 35.462 9 5.400E+02 5.000E+01 0.417499 -179.999 -179.999 total harmonic distortion =59.043467 percent 

Strange things are happening, indeed.

First, we see that the triplen harmonic currents (3rd and 9th) all but disappear in the lines connecting a load to source. The 5th and 7th harmonic currents are present at their normal levels (approximately 50 mA), but the 3rd and 9th harmonic currents are of negligible magnitude.

Second, we see that there is a substantial harmonic voltage between the two “Y” center-points, between which the neutral conductor used to connect. According to SPICE, there are 50 volts of both 3rd and 9th harmonic frequency between these two points, which is definitely not normal in a linear (no harmonics), balanced Y system.

Finally, the voltage as measured across one of the load’s phases (between nodes 8 and 7 in the SPICE analysis) likewise shows strong triplen harmonic voltages of 50 volts each.

The figure below is a graphical summary of the aforementioned effects.

Three-wire “Y-Y” (no neutral) system:Triplen voltages appear between “Y” centers. Triplen voltages appear across load phases. Non-triplen currents appear in line conductors.

In summary, removal of the neutral conductor leads to a “hot” center-point on the load “Y”, and also to harmonic load phase voltages of equal magnitude, all comprised of triplen frequencies.

In the previous simulation where we had a 4-wire, Y-connected system, the undesirable effect from harmonics was excessive neutral current , but at least each phase of the load received voltage nearly free of harmonics.

Analysis of the Effects of Triplen Harmonics in a Delta-Wye(Y) Circuit

Since removing the neutral wire didn’t seem to work in eliminating the problems caused by harmonics, perhaps switching to a Δ configuration will. Let’s try a Δ source instead of a Y, keeping the load in its present Y configuration, and see what happens.

The measured parameters will be line current (voltage across R_line , nodes 0 and 8), load phase voltage (nodes 8 and 7), and source phase current (voltage across R_source , nodes 1 and 2). (Gambar di bawah)

Delta-Y source/load with harmonics

Delta-Y source/load with harmonics * * phase1 voltage source and r (120 v /_ 0 deg) vsource1 1 0 sin(0 207.846 60 0 0) rsource1 1 2 1 * * phase2 voltage source and r (120 v /_ 120 deg) vsource2 3 2 sin(0 207.846 60 5.55555m 0) rsource2 3 4 1 * * phase3 voltage source and r (120 v /_ 240 deg) vsource3 5 4 sin(0 207.846 60 11.1111m 0) rsource3 5 0 1 * * line resistances rline1 0 8 1 rline2 2 9 1 rline3 4 10 1 * * phase 1 of load rload1 8 7 1k i3har1 8 7 sin(0 50m 180 9.72222m 0) i5har1 8 7 sin(0 50m 300 9.72222m 0) i7har1 8 7 sin(0 50m 420 9.72222m 0) i9har1 8 7 sin(0 50m 540 9.72222m 0) * * phase 2 of load rload2 9 7 1k i3har2 9 7 sin(0 50m 180 15.2777m 0) i5har2 9 7 sin(0 50m 300 15.2777m 0) i7har2 9 7 sin(0 50m 420 15.2777m 0) i9har2 9 7 sin(0 50m 540 15.2777m 0) * * phase 3 of load rload3 10 7 1k i3har3 10 7 sin(0 50m 180 4.16666m 0) i5har3 10 7 sin(0 50m 300 4.16666m 0) i7har3 10 7 sin(0 50m 420 4.16666m 0) i9har3 10 7 sin(0 50m 540 4.16666m 0) * * analysis stuff .options itl5=0 .tran 0.5m 100m 16m 1u .plot tran v(0,8) v(8,7) v(1,2) .four 60 v(0,8) v(8,7) v(1,2) .akhir 

Note:the following paragraph is for those curious readers who follow every detail of my SPICE netlists. If you just want to find out what happens in the circuit, skip this paragraph!

When simulating circuits having AC sources of differing frequency and differing phase, the only way to do it in SPICE is to set up the sources with a delay time or phase offset specified in seconds. Thus, the 0° source has these five specifying figures:“(0 207.846 60 0 0)”, which means 0 volts DC offset, 207.846 volts peak amplitude (120 times the square root of three, to ensure the load phase voltages remain at 120 volts each), 60 Hz, 0 time delay, and 0 damping factor.

The 120° phase-shifted source has these figures:“(0 207.846 60 5.55555m 0)”, all the same as the first except for the time delay factor of 5.55555 milliseconds, or 1/3 of the full period of 16.6667 milliseconds for a 60 Hz waveform.

The 240° source must be time-delayed twice that amount, equivalent to a fraction of 240/360 of 16.6667 milliseconds, or 11.1111 milliseconds.

This is for the Δ-connected source. The Y-connected load, on the other hand, requires a different set of time-delay figures for its harmonic current sources, because the phase voltages in a Y load are not in phase with the phase voltages of a Δ source.

If Δ source voltages VAC, VBA, and VCB are referenced at 0°, 120°, and 240°, respectively, then “Y” load voltages VA, VB, and VC will have phase angles of -30°, 90°, and 210°, respectively.

This is an intrinsic property of all Δ-Y circuits and not a quirk of SPICE. Therefore, when I specified the delay times for the harmonic sources, I had to set them at 15.2777 milliseconds (-30°, or +330°), 4.16666 milliseconds (90°), and 9.72222 milliseconds (210°).

One final note:when delaying AC sources in SPICE, they don’t “turn on” until their delay time has elapsed, which means any mathematical analysis up to that point in time will be in error. Consequently, I set the .tran transient analysis line to hold off analysis until 16 milliseconds after the start, which gives all sources in the netlist time to engage before any analysis takes place.

The result of this analysis is almost as disappointing as the last. (Figure below) Line currents remain unchanged (the only substantial harmonic content being the 5th and 7th harmonics), and load phase voltages remain unchanged as well, with a full 50 volts of triplen harmonic (3rd and 9th) frequencies across each load component.

Source phase current is a fraction of the line current, which should come as no surprise. Both 5th and 7th harmonics are represented there, with negligible triplen harmonics:

Fourier analysis of line current:

Fourier components of transient response v(8,7) dc component =1.259E-08 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.198E+02 1.000000 150.000 0.000 2 1.200E+02 1.941E-07 0.000000 49.693 -100.307 3 1.800E+02 5.000E+01 0.417222 -89.998 -239.998 4 2.400E+02 1.519E-07 0.000000 66.397 -83.603 5 3.000E+02 6.466E-02 0.000540 -151.112 -301.112 6 3.600E+02 2.433E-07 0.000000 68.162 -81.838 7 4.200E+02 6.931E-02 0.000578 148.548 -1.453 8 4.800E+02 2.398E-07 0.000000 -174.897 -324.897 9 5.400E+02 5.000E+01 0.417221 90.006 -59.995 total harmonic distortion =59.004109 percent 

Fourier components of transient response v(1,2) dc component =3.564E-11 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 6.906E-02 1.000000 -0.181 0.000 2 1.200E+02 1.525E-11 0.000000 -156.674 -156.493 3 1.800E+02 1.422E-06 0.000021 -179.996 -179.815 4 2.400E+02 2.949E-11 0.000000 -110.570 -110.390 5 3.000E+02 2.883E-02 0.417440 -179.996 -179.815 6 3.600E+02 2.324E-11 0.000000 -91.926 -91.745 7 4.200E+02 2.883E-02 0.417398 -179.994 -179.813 8 4.800E+02 4.140E-11 0.000000 -39.875 -39.694 9 5.400E+02 4.267E-06 0.000062 0.006 0.186 total harmonic distortion =59.031969 percent 

Delta-Delta source/load with harmonics * * phase1 voltage source and r (120 v /_ 0 deg) vsource1 1 0 sin(0 120 60 0 0) rsource1 1 2 1 * * phase2 voltage source and r (120 v /_ 120 deg) vsource2 3 2 sin(0 120 60 5.55555m 0) rsource2 3 4 1 * * phase3 voltage source and r (120 v /_ 240 deg) vsource3 5 4 sin(0 120 60 11.1111m 0) rsource3 5 0 1 * * line resistances rline1 0 6 1 rline2 2 7 1 rline3 4 8 1 * * phase 1 of load rload1 7 6 1k i3har1 7 6 sin(0 50m 180 0 0) i5har1 7 6 sin(0 50m 300 0 0) i7har1 7 6 sin(0 50m 420 0 0) i9har1 7 6 sin(0 50m 540 0 0) * * phase 2 of load rload2 8 7 1k i3har2 8 7 sin(0 50m 180 5.55555m 0) i5har2 8 7 sin(0 50m 300 5.55555m 0) i7har2 8 7 sin(0 50m 420 5.55555m 0) i9har2 8 7 sin(0 50m 540 5.55555m 0) * * phase 3 of load rload3 6 8 1k i3har3 6 8 sin(0 50m 180 11.1111m 0) i5har3 6 8 sin(0 50m 300 11.1111m 0) i7har3 6 8 sin(0 50m 420 11.1111m 0) i9har3 6 8 sin(0 50m 540 11.1111m 0) * * analysis stuff .options itl5=0 .tran 0.5m 100m 16m 1u .plot tran v(0,6) v(7,6) v(2,1) i(3har1) .four 60 v(0,6) v(7,6) v(2,1) .akhir 

Fourier components of transient response v(0,6) dc component =-6.007E-11 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 2.070E-01 1.000000 150.000 0.000 2 1.200E+02 5.480E-11 0.000000 156.666 6.666 3 1.800E+02 6.257E-07 0.000003 89.990 -60.010 4 2.400E+02 4.911E-11 0.000000 8.187 -141.813 5 3.000E+02 8.626E-02 0.416664 -149.999 -300.000 6 3.600E+02 1.089E-10 0.000000 -31.997 -181.997 7 4.200E+02 8.626E-02 0.416669 150.001 0.001 8 4.800E+02 1.578E-10 0.000000 -63.940 -213.940 9 5.400E+02 1.877E-06 0.000009 89.987 -60.013 total harmonic distortion =58.925538 percent 

Fourier components of transient response v(7,6) dc component =-5.680E-10 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.195E+02 1.000000 0.000 0.000 2 1.200E+02 1.039E-09 0.000000 144.749 144.749 3 1.800E+02 1.251E-06 0.000000 89.974 89.974 4 2.400E+02 4.215E-10 0.000000 36.127 36.127 5 3.000E+02 1.992E-01 0.001667 -180.000 -180.000 6 3.600E+02 2.499E-09 0.000000 -4.760 -4.760 7 4.200E+02 1.992E-01 0.001667 -180.000 -180.000 8 4.800E+02 2.951E-09 0.000000 -151.385 -151.385 9 5.400E+02 3.752E-06 0.000000 89.905 89.905 total harmonic distortion =0.235702 percent 

Fourier components of transient response v(2,1) dc component =-1.923E-12 harmonic frequency Fourier normalized phase normalized tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 6.000E+01 1.194E-01 1.000000 179.940 0.000 2 1.200E+02 2.569E-11 0.000000 133.491 -46.449 3 1.800E+02 3.129E-07 0.000003 89.985 -89.955 4 2.400E+02 2.657E-11 0.000000 23.368 -156.571 5 3.000E+02 4.980E-02 0.416918 -180.000 -359.939 6 3.600E+02 4.595E-11 0.000000 -22.475 -202.415 7 4.200E+02 4.980E-02 0.416921 -180.000 -359.939 8 4.800E+02 7.385E-11 0.000000 -63.759 -243.699 9 5.400E+02 9.385E-07 0.000008 89.991 -89.949 total harmonic distortion =58.961298 percent