Sinyal Gelombang Persegi
Telah ditemukan bahwa apa saja berulang, bentuk gelombang non-sinusoidal dapat disamakan dengan kombinasi tegangan DC, gelombang sinus, dan/atau gelombang kosinus (gelombang sinus dengan pergeseran fasa 90 derajat) pada berbagai amplitudo dan frekuensi.
Ini benar tidak peduli seberapa aneh atau berbelit-belit bentuk gelombang yang dimaksud. Selama ia berulang secara teratur dari waktu ke waktu, ia dapat direduksi menjadi rangkaian gelombang sinusoidal ini.
Secara khusus, telah ditemukan bahwa gelombang persegi secara matematis setara dengan jumlah gelombang sinus pada frekuensi yang sama, ditambah deret tak terbatas dari gelombang sinus frekuensi ganjil-ganda pada amplitudo yang semakin berkurang:
Kebenaran tentang bentuk gelombang ini pada awalnya mungkin tampak terlalu aneh untuk dipercaya. Namun, jika gelombang persegi sebenarnya adalah rangkaian tak hingga dari harmonik gelombang sinus yang ditambahkan bersama-sama, masuk akal bahwa kita harus dapat membuktikannya dengan menambahkan beberapa harmonik gelombang sinus bersama untuk menghasilkan perkiraan yang dekat dari gelombang persegi.
Alasan ini tidak hanya masuk akal, tetapi juga mudah ditunjukkan dengan SPICE.
Rangkaian yang akan kita simulasikan tidak lebih dari beberapa sumber tegangan AC gelombang sinus dengan amplitudo dan frekuensi yang tepat yang dihubungkan bersama secara seri. Kami akan menggunakan SPICE untuk memplot bentuk gelombang tegangan di seluruh penambahan sumber tegangan secara berurutan, seperti ini:
Gelombang persegi didekati dengan jumlah harmonik.
Dalam simulasi SPICE khusus ini, saya telah menjumlahkan sumber tegangan harmonik ke-1, ke-3, ke-5, ke-7, dan ke-9 secara seri untuk total lima sumber tegangan AC. Frekuensi dasarnya adalah 50 Hz dan setiap harmonik tentu saja merupakan kelipatan bilangan bulat dari frekuensi tersebut.
Angka amplitudo (tegangan) bukan angka acak; melainkan, mereka telah diperoleh melalui persamaan yang ditunjukkan dalam deret frekuensi (fraksi 4/π dikalikan dengan 1, 1/3, 1/5, 1/7, dll. untuk setiap harmonik ganjil yang meningkat).
membangun gelombang persegi v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) Harmonik pertama (50 Hz) v3 2 1 dosa (0 424.413m 150 0 0) Harmonik ke-3 v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) Harmonik ke-5 v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) Harmonik ke-7 v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) Harmonik ke-9 r1 5 0 10k .trans 1m 20m .plot tran v(1,0) Plot 1st harmonik .plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics .plot tran v(3,0) Plot 1 + 3 + 5 harmonik .plot tran v(4,0) Plot 1 + 3 + 5 + 7 harmonik .plot tran v(5,0) Plot 1 + . . . + harmonik ke-9 .akhir
Saya akan menceritakan analisis langkah demi langkah dari sini, menjelaskan apa yang sedang kita lihat. Dalam plot pertama ini, kita melihat gelombang sinus frekuensi dasar 50 Hz dengan sendirinya. Ini tidak lain adalah bentuk sinus murni, tanpa konten harmonik tambahan. Ini adalah jenis bentuk gelombang yang dihasilkan oleh sumber daya AC yang ideal:
Sinewave murni 50 Hz.
Selanjutnya, kita melihat apa yang terjadi ketika bentuk gelombang yang bersih dan sederhana ini digabungkan dengan harmonik ketiga (tiga kali 50 Hz, atau 150 Hz). Tiba-tiba, itu tidak lagi terlihat seperti gelombang sinus bersih:
Jumlah harmonik ke-1 (50 Hz) dan ke-3 (150 Hz) mendekati gelombang persegi 50 Hz.
Waktu naik dan turun antara siklus positif dan negatif jauh lebih curam sekarang, dan puncak gelombang lebih dekat menjadi datar seperti gelombang persegi. Perhatikan apa yang terjadi saat kita menambahkan frekuensi harmonik ganjil berikutnya:
Jumlah harmonik ke-1, ke-3, dan ke-5 mendekati gelombang persegi.
Perubahan yang paling mencolok di sini adalah bagaimana puncak gelombang semakin mendatar. Ada lebih banyak kemiringan dan puncak di setiap ujung gelombang, tetapi kemiringan dan puncak itu amplitudonya lebih kecil daripada sebelumnya. Tonton lagi saat kami menambahkan bentuk gelombang harmonik aneh berikutnya ke dalam campuran:
Jumlah harmonik ke-1, ke-3, ke-5, dan ke-7 mendekati gelombang persegi.
Di sini kita bisa melihat gelombang semakin mendatar di setiap puncaknya. Akhirnya, menambahkan harmonik ke-9, sumber tegangan gelombang sinus kelima di sirkuit kami, kami memperoleh hasil ini:
Jumlah harmonik ke-1, ke-3, ke-5, ke-7 dan ke-9 mendekati gelombang persegi.
Hasil akhir dari penambahan lima bentuk gelombang harmonik ganjil pertama bersama-sama (semua pada amplitudo yang tepat, tentu saja) adalah pendekatan yang dekat dari gelombang persegi. Inti dari melakukan ini adalah untuk mengilustrasikan bagaimana kita dapat membangun gelombang persegi dari beberapa gelombang sinus pada frekuensi yang berbeda, untuk membuktikan bahwa gelombang persegi murni sebenarnya setara dengan deret gelombang sinus.
Ketika tegangan AC gelombang persegi diterapkan ke sirkuit dengan komponen reaktif (kapasitor dan induktor), komponen tersebut bereaksi seolah-olah mereka terkena beberapa tegangan gelombang sinus dari frekuensi yang berbeda, yang sebenarnya.
Fakta bahwa pengulangan, gelombang non-sinusoidal setara dengan rangkaian pasti tegangan DC tambahan, gelombang sinus, dan/atau gelombang kosinus adalah konsekuensi dari cara kerja gelombang:sifat dasar dari semua fenomena yang berhubungan dengan gelombang, listrik atau lainnya.
Proses matematis untuk mereduksi gelombang non-sinusoidal menjadi frekuensi-frekuensi penyusun ini disebut Analisis Fourier , yang rinciannya jauh di luar cakupan teks ini. Namun, algoritme komputer telah dibuat untuk melakukan analisis ini pada kecepatan tinggi pada bentuk gelombang nyata, dan penerapannya dalam kualitas daya AC dan analisis sinyal tersebar luas.
SPICE memiliki kemampuan untuk mengambil sampel bentuk gelombang dan mereduksinya menjadi harmonik gelombang sinus penyusunnya melalui Transformasi Fourier algoritma, mengeluarkan analisis frekuensi sebagai tabel angka. Mari kita coba ini pada gelombang persegi, yang sudah kita ketahui terdiri dari gelombang sinus harmonik ganjil:
netlist analisis gelombang persegi v1 1 0 pulsa (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .trans 1m 40m .plot tran v(1,0) .empat 50 v(1,0) .akhir
denyut nadi opsi di baris netlist yang menjelaskan sumber tegangan v1 menginstruksikan SPICE untuk mensimulasikan bentuk gelombang "pulsa" berbentuk persegi, dalam hal ini gelombang yang simetris (waktu yang sama untuk setiap setengah siklus) dan memiliki amplitudo puncak 1 volt. Pertama kita akan memplot gelombang persegi untuk dianalisis:
Gelombang persegi untuk analisis SPICE Fourier
Selanjutnya, kami akan mencetak analisis Fourier yang dihasilkan oleh SPICE untuk gelombang persegi ini:
empat komponen respon transien v(1) komponen dc =-2.439E-02 frekuensi harmonik fourier fase dinormalisasi dinormalisasi tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 5.000E+01 1.274E+00 1.000.000 -2.195 0.000 2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195 3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390 4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585 5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780 6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976 7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171 8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366 9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561 distorsi harmonik total =43,805747 persen
Plot hasil analisis Fourier.
Di sini, (Gambar di atas) SPICE telah memecah bentuk gelombang menjadi spektrum frekuensi sinusoidal hingga harmonik kesembilan, ditambah tegangan DC kecil berlabel komponen DC .
Saya harus memberi tahu SPICE tentang frekuensi dasar (untuk gelombang persegi dengan periode 20 milidetik, frekuensi ini adalah 50 Hz), jadi ia tahu cara mengklasifikasikan harmonik. Perhatikan betapa kecilnya angka untuk semua harmonik genap (2, 4, 6, 8), dan bagaimana amplitudo harmonik ganjil berkurang (1 terbesar, 9 terkecil).
Teknik "Transformasi Fourier" yang sama ini sering digunakan dalam instrumentasi daya terkomputerisasi, mengambil sampel bentuk gelombang AC dan menentukan konten harmoniknya. Algoritma komputer yang umum (urutan langkah program untuk melakukan tugas) untuk ini adalah Transformasi Fourier Cepat atau FFT fungsi.
Anda tidak perlu khawatir dengan cara kerja rutin komputer ini, tetapi waspadai keberadaan dan penerapannya.
Teknik matematika yang sama yang digunakan dalam SPICE untuk menganalisis konten harmonik gelombang dapat diterapkan pada analisis teknis musik:memecah suara tertentu menjadi frekuensi gelombang sinus penyusunnya.
Bahkan, Anda mungkin pernah melihat perangkat yang dirancang untuk melakukan hal itu tanpa menyadari apa itu! Equalizer grafis adalah peralatan stereo dengan ketelitian tinggi yang mengontrol (dan terkadang menampilkan) sifat konten harmonik musik.
Dilengkapi dengan beberapa tombol atau tuas geser, equalizer mampu secara selektif melemahkan (mengurangi) amplitudo frekuensi tertentu yang ada dalam musik, untuk “menyesuaikan” suara demi keuntungan pendengar. Biasanya, akan ada tampilan "grafik batang" di sebelah setiap tuas kontrol, yang menampilkan amplitudo setiap frekuensi tertentu.
Equalizer grafis audio Hi-Fi.
Perangkat yang dibuat khusus untuk menampilkan—bukan mengontrol—amplitudo setiap rentang frekuensi untuk sinyal frekuensi campuran biasanya disebut penganalisis spektrum .
Desain penganalisis spektrum mungkin sesederhana satu set sirkuit "filter" (lihat bab berikutnya untuk detailnya) yang dirancang untuk memisahkan frekuensi yang berbeda satu sama lain, atau serumit komputer digital tujuan khusus yang menjalankan algoritme FFT untuk membagi sinyal secara matematis menjadi komponen harmoniknya.
Penganalisis spektrum sering dirancang untuk menganalisis sinyal frekuensi sangat tinggi, seperti yang dihasilkan oleh pemancar radio dan perangkat keras jaringan komputer. Dalam bentuk itu, mereka sering memiliki penampilan seperti osiloskop:
Spectrum analyzer menunjukkan amplitudo sebagai fungsi frekuensi.
Seperti osiloskop, penganalisis spektrum menggunakan CRT (atau tampilan komputer yang meniru CRT) untuk menampilkan plot sinyal.
Tidak seperti osiloskop, plot ini adalah amplitudo atas frekuensi daripada amplitudo selama waktu . Intinya, penganalisis frekuensi memberi operator plot sinyal Bode:sesuatu yang mungkin disebut oleh seorang insinyur sebagai domain-frekuensi daripada domain waktu analisis.
Istilah "domain" adalah matematika:kata canggih untuk menggambarkan sumbu horizontal grafik. Dengan demikian, plot amplitudo (vertikal) osiloskop dari waktu ke waktu (horizontal) adalah analisis "domain waktu", sedangkan plot amplitudo (vertikal) atas frekuensi (horizontal) penganalisis spektrum adalah analisis "domain frekuensi".
Saat kami menggunakan SPICE untuk memplot amplitudo sinyal (tegangan atau amplitudo arus) pada rentang frekuensi, kami melakukan domain frekuensi analisis.
Harap perhatikan bagaimana analisis Fourier dari simulasi SPICE terakhir tidak "sempurna." Idealnya, amplitudo semua harmonik genap harus benar-benar nol, dan begitu juga komponen DC. Sekali lagi, ini bukan kekhasan SPICE karena ini adalah properti bentuk gelombang secara umum.
Bentuk gelombang dengan durasi tak terhingga (jumlah siklus tak terhingga) dapat dianalisis dengan presisi mutlak, tetapi semakin sedikit siklus yang tersedia untuk analisis komputer, semakin kurang presisi analisisnya. Hanya ketika kita memiliki persamaan yang menggambarkan bentuk gelombang secara keseluruhan, analisis Fourier dapat mereduksinya menjadi serangkaian bentuk gelombang sinusoidal tertentu.
Semakin sedikit waktu siklus gelombang, semakin tidak pasti frekuensinya. Mengambil konsep ini ke logika ekstremnya, pulsa pendek—bentuk gelombang yang bahkan tidak menyelesaikan satu siklus—sebenarnya tidak memiliki frekuensi , melainkan bertindak sebagai rentang frekuensi yang tak terbatas. Prinsip ini berlaku untuk semua fenomena berbasis gelombang, bukan hanya tegangan dan arus AC.
Cukuplah untuk mengatakan bahwa jumlah siklus dan kepastian komponen frekuensi bentuk gelombang berhubungan langsung.
Kami dapat meningkatkan ketepatan analisis kami di sini dengan membiarkan gelombang berosilasi terus menerus selama banyak siklus, dan hasilnya akan menjadi analisis spektrum yang lebih konsisten dengan ideal. Dalam analisis berikut, saya telah menghilangkan plot bentuk gelombang demi singkatnya—ini hanya gelombang persegi yang sangat panjang:
gelombang persegi v1 1 0 pulsa (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .option pincang=1001 .trans 1m 1 .plot tran v(1,0) .empat 50 v(1,0) .akhir komponen fourier dari respon transien v(1) komponen dc =9.999E-03 frekuensi harmonik fourier fase dinormalisasi dinormalisasi tidak ada (hz) komponen komponen (derajat) fase (derajat) 1 5.000E+01 1.273E+00 1.000.000 -1.800 0.000 2 1.000E+02 1.999E-02 0,015704 86,382 88,182 3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600 4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564 5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200 6 3.000E+02 1.994E-02 0,015663 79,146 80,946 7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800 8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329 9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16,199 -14,399
Analisis empat tingkat yang ditingkatkan.
Perhatikan bagaimana analisis ini (Gambar di atas) menunjukkan lebih sedikit tegangan komponen DC dan amplitudo yang lebih rendah untuk masing-masing gelombang sinus frekuensi harmonik yang genap, semua karena kita membiarkan komputer mengambil sampel lebih banyak siklus gelombang. Sekali lagi, ketidaktepatan analisis pertama bukanlah kekurangan dalam SPICE karena ini merupakan properti fundamental dari analisis gelombang dan sinyal.
TINJAUAN:
- Gelombang persegi setara dengan gelombang sinus pada frekuensi (fundamental) yang sama yang ditambahkan ke deret tak hingga harmonik gelombang sinus ganjil-ganda pada amplitudo yang menurun.
- Ada algoritma komputer yang mampu mengambil sampel bentuk gelombang dan menentukan komponen sinusoidal penyusunnya. Transformasi Empati algoritma (khususnya Transformasi Fourier Cepat , atau FFT ) biasanya digunakan dalam program simulasi sirkuit komputer seperti SPICE dan peralatan pengukuran elektronik untuk menentukan kualitas daya.
LEMBAR KERJA TERKAIT:
- Lembar Kerja Sinyal Gelombang Persegi
