Menguasai Nilai Eigen &Vektor Eigen di MATLAB:Panduan Praktis

Nilai eigen dan vektor eigen merupakan konsep dasar dalam aljabar linier, yang banyak digunakan di berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, dan analisis data. Di MATLAB, konsep-konsep ini dapat dieksplorasi dan dihitung dengan mudah.

Apa itu Nilai Eigen?

Nilai eigen adalah skalar, dilambangkan sebagai (lambda), terkait dengan transformasi linier ruang vektor. Ini mewakili faktor yang digunakan untuk menskalakan vektor eigen terkait selama transformasi.

Apa itu EigenVektor?

Vektor eigen adalah vektor bukan nol yang hanya berubah sebesar faktor skalar jika diterapkan transformasi linier. Dengan kata lain, jika A adalah sebuah matriks, v adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen jika −

Av=v

Di sini, A adalah matriks persegi, v adalah vektor eigen, dan nilai eigen.

Fungsi MATLAB

MATLAB menyediakan fungsi bawaan untuk menghitung nilai eigen dan vektor eigen.

Menggunakan eig

Fungsi ini menghitung nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.

Sintaks

e = eig(A)
[V,D] = eig(A)
[V,D,W] = eig(A)
e = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B)
[V,D,W] = eig(A,B)
[___] = eig(A,balanceOption)
[___] = eig(A,B,algorithm)
[___] = eig(___,outputForm)

Penjelasan Sintaks

e =eig(A) mengembalikan vektor kolom dengan nilai eigen matriks persegi A.

[V,D] =eig(A) mengembalikan matriks diagonal D dengan nilai eigen A dan matriks V yang kolomnya merupakan vektor eigen yang sesuai. Artinya mengalikan A dengan V sama dengan mengalikan V dengan D.

[V,D,W] =eig(A) juga mengembalikan matriks lengkap W yang kolomnya merupakan vektor eigen kiri yang bersesuaian. Artinya mengalikan transpos W dengan A sama dengan mengalikan D dengan transpos W.

Permasalahan nilai eigen adalah mencari solusi persamaan Av =v, dimana A adalah matriks persegi, v adalah vektor kolom, dan merupakan skalar. Nilai yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen, dan nilai v yang memenuhi persamaan tersebut adalah vektor eigen kanan. Vektor eigen kiri, w, memenuhi persamaan w'A =w'.

e =eig(A,B) mengembalikan vektor kolom dengan nilai eigen umum dari matriks persegi A dan B.

[V,D] =eig(A,B) mengembalikan matriks diagonal D dengan nilai eigen umum dan matriks penuh V yang kolomnya merupakan vektor eigen kanan yang bersesuaian. Artinya mengalikan A dengan V sama dengan mengalikan B, V, dan D.

[V,D,W] =eig(A,B) juga mengembalikan matriks lengkap W yang kolomnya merupakan vektor eigen kiri yang bersesuaian. Artinya mengalikan transpos W dengan A sama dengan mengalikan D, transpos W, dan B.

Masalah nilai eigen umum adalah mencari solusi persamaan Av =Bv, dimana A dan B adalah matriks persegi, v adalah vektor kolom, dan merupakan skalar. Nilai yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen umum, dan nilai v adalah vektor eigen kanan yang bersesuaian. Vektor eigen kiri, w, memenuhi persamaan w'A =w'B.

[___] =eig(A, balanceOption), dengan balanceOption adalah "nobalance", mematikan langkah penyeimbangan awal dalam algoritme. Secara default, balanceOption adalah "saldo", yang mengaktifkan penyeimbangan. Fungsi eig dapat mengembalikan argumen keluaran apa pun yang disebutkan dalam contoh sebelumnya.

[___] =eig(A,B,algorithm), dengan algoritma "chol", menggunakan faktorisasi Cholesky dari B untuk menghitung nilai eigen umum. Algoritme default bergantung pada properti A dan B, tetapi akan menjadi "qz" (algoritme QZ) jika A atau B tidak simetris.

[___] =eig(___,outputForm) mengembalikan nilai eigen dalam format yang ditentukan oleh outputForm, menggunakan salah satu argumen input atau output yang disebutkan sebelumnya. Tetapkan outputForm ke "vektor" untuk mendapatkan nilai eigen dalam vektor kolom, atau "matriks" untuk mendapatkan nilai eigen dalam matriks diagonal.

Contoh Fungsi Matlab eig()

Berikut beberapa contoh untuk mengilustrasikan cara menggunakannya −

Contoh 1:Untuk menghitung nilai eigen menggunakan e =eig(A)

Di MATLAB, Anda dapat mencari nilai eigen matriks A menggunakan fungsi eig. Perhatikan kode berikut −

% Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)

Dalam contoh di atas −

• Matriks A didefinisikan sebagai matriks 3x3 dengan entri seperti pada gambar.
• Fungsi eig(A) menghitung nilai eigen matriks A.
• Hasil dari eig(A) disimpan dalam variabel e yang merupakan vektor kolom yang berisi nilai eigen dari A.

Ketika kode dihitung, output yang kita peroleh adalah sebagai berikut −

>> % Define the matrix A
A = [1, 2, 3;
 4, 5, 6;
 7, 8, 9];
% Compute the eigenvalues
e = eig(A)
e =
 16.1168
 -1.1168
 -0.0000

Contoh 2:Untuk mendapatkan eigenValues dan eigenVectors menggunakan [V,D] =eig(A)

Di MATLAB, Anda dapat mencari nilai eigen dan vektor eigen matriks A menggunakan fungsi eig.

Pertimbangkan kode berikut −

% Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);

Dalam kode di atas kita memiliki −

• Matriks A didefinisikan sebagai matriks 2x2 dengan entri seperti pada gambar.
• Fungsi [V, D] =eig(A) menghitung nilai eigen (D) dan vektor eigen (V) yang bersesuaian dari matriks A.
• D adalah matriks diagonal yang memuat nilai eigen A.
• V adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang bersesuaian.

Ketika kode dijalankan, output yang kita dapatkan adalah sebagai berikut −

>> % Define the matrix A
A = [2, -1;
 4, 3];
% Compute the eigenvalues and eigenvectors
[V, D] = eig(A);
% Display the eigenvalues
disp('Eigenvalues:');
disp(D);
% Display the eigenvectors
disp('Eigenvectors:');
disp(V);
Eigenvalues:
 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i
 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i
Eigenvectors:
 -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i
 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i