Penguasai Eigenvalue & Eigenvektor di MATLAB: Panduan Praktis

Eigenvalue dan eigenvektor adalah konsep dasar dalam aljabar linear yang banyak digunakan di berbagai bidang, termasuk fisika, teknik, dan analisis data. Di MATLAB, konsep ini dapat dieksplorasi dan dihitung dengan mudah.

Apa itu Eigenvalue?

Eigenvalue adalah skalar, yang ditandai dengan (lambda), yang terkait dengan transformasi linear dari ruang vektor. Nilai ini mewakili faktor yang digunakan untuk menskalakan eigenvektor yang sesuai selama transformasi.

Apa itu Eigenvektor?

Eigenvektor adalah vektor non-nol yang hanya berubah dengan faktor skalar ketika transformasi linear diterapkan padanya. Dengan kata lain, jika A adalah matriks, v adalah eigenvektor dari A yang sesuai dengan eigenvalue jika −

Av = v

Di sini, A adalah matriks persegi, v adalah eigenvektor, dan lambda adalah eigenvalue.

Fungsi MATLAB

Menyediakan fungsi bawaan untuk menghitung eigenvalue dan eigenvektor.

Menggunakan eig

Fungsi ini menghitung eigenvalue dan eigenvektor dari sebuah matriks.

Sintaks

e = eig(A)
[V,D] = eig(A)
[V,D,W] = eig(A)
e = eig(A,B)
[V,D] = eig(A,B)
[V,D,W] = eig(A,B)
[___] = eig(A,balanceOption)
[___] = eig(A,B,algorithm)
[___] = eig(___,outputForm)

Penjelasan Sintaks

e = eig(A) mengembalikan vektor kolom yang berisi eigenvalue dari matriks persegi A.

[V,D] = eig(A) mengembalikan matriks diagonal D yang berisi eigenvalue dari A dan matriks V yang kolomnya adalah eigenvektor yang sesuai. Ini berarti perkalian A dengan V sama dengan perkalian V dengan D.

[V,D,W] = eig(A) juga mengembalikan matriks penuh W yang kolomnya adalah eigenvektor kiri yang sesuai. Ini berarti perkalian transpose W dengan A sama dengan perkalian D dengan transpose W.

Masalah eigenvalue adalah tentang mencari solusi untuk persamaan Av = λv, di mana A adalah matriks persegi, v adalah vektor kolom, dan λ adalah skalar. Nilai yang memenuhi persamaan ini adalah eigenvalue, dan nilai v yang memenuhinya adalah eigenvektor kanan. Eigenvektor kiri, w, memenuhi persamaan w'A = λw'.

e = eig(A,B) mengembalikan vektor kolom dengan eigenvalue umum dari matriks persegi A dan B.

[V,D] = eig(A,B) mengembalikan matriks diagonal D dengan eigenvalue umum dan matriks penuh V yang kolomnya adalah eigenvektor kanan yang sesuai. Ini berarti perkalian A dengan V sama dengan perkalian B, V, dan D bersama.

[V,D,W] = eig(A,B) juga mengembalikan matriks penuh W yang kolomnya adalah eigenvektor kiri yang sesuai. Ini berarti perkalian transpose W dengan A sama dengan perkalian D, transpose W, dan B.

Masalah eigenvalue umum adalah tentang mencari solusi untuk persamaan Av = Bv, di mana A dan B adalah matriks persegi, v adalah vektor kolom, dan λ adalah skalar. Nilai yang memenuhi persamaan ini adalah eigenvalue umum, dan nilai v adalah eigenvektor kanan yang sesuai. Eigenvektor kiri, w, memenuhi persamaan w'A = λw'B.

[___] = eig(A, balanceOption), di mana balanceOption adalah "nobalance", mematikan langkah penyeimbangan awal dalam algoritma. Secara default, balanceOption adalah "balance", yang mengaktifkan penyeimbangan. Fungsi eig dapat mengembalikan salah satu argumen output yang disebutkan dalam contoh-contoh sebelumnya.

[___] = eig(A,B,algorithm), di mana algorithm adalah "chol", menggunakan faktorisasi Cholesky dari B untuk menghitung eigenvalue umum. Algoritma default tergantung pada properti A dan B, tetapi adalah "qz" (algoritma QZ) ketika A atau B tidak simetris.

[___] = eig(___,outputForm) mengembalikan eigenvalue dalam format yang ditentukan oleh outputForm, menggunakan salah satu argumen input atau output yang disebutkan sebelumnya. Setel outputForm ke "vector" untuk mendapatkan eigenvalue dalam vektor kolom, atau "matrix" untuk mendapatkannya dalam matriks diagonal.

Contoh Fungsi eig() Matlab

Berikut beberapa contoh untuk mengilustrasikan cara menggunakannya −

Contoh 1: Menghitung eigenvalue menggunakan e = eig(A)

Di MATLAB, Anda dapat menemukan eigenvalue matriks A menggunakan fungsi eig. Pertimbangkan kode berikut −

% Definisikan matriks A
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % Hitung eigenvalue
e = eig(A)

Dalam contoh di atas −

• Matriks A didefinisikan sebagai matriks 3x3 dengan entri seperti yang ditunjukkan.
• Fungsi eig(A) menghitung eigenvalue matriks A.
• Hasil eig(A) disimpan dalam variabel e, yang merupakan vektor kolom yang berisi eigenvalue dari A.

Ketika kode dihitung, output yang didapat adalah sebagai berikut −

>> % Definisikan matriks A
A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]; % Hitung eigenvalue
e = eig(A)
e = 16.1168 -1.1168 -0.0000

Contoh 2: Mendapatkan Eigenvalue dan Eigenvektor menggunakan [V,D] = eig(A)

Di MATLAB, Anda dapat menemukan eigenvalue dan eigenvektor matriks A menggunakan fungsi eig.

Pertimbangkan kode berikut −

% Definisikan matriks A
A = [2, -1; 4, 3]; % Hitung eigenvalue dan eigenvektor
[V, D] = eig(A); % Tampilkan eigenvalue
disp('Eigenvalues:'); disp(D); % Tampilkan eigenvektor
disp('Eigenvectors:'); disp(V);

Dalam kode di atas kami memiliki −

• Matriks A didefinisikan sebagai matriks 2x2 dengan entri seperti yang ditunjukkan.
• Fungsi [V, D] = eig(A) menghitung baik eigenvalue (D) maupun eigenvektor yang sesuai (V) dari matriks A.
• D adalah matriks diagonal yang berisi eigenvalue dari A.
• V adalah matriks yang kolomnya adalah eigenvektor yang sesuai.

Ketika kode dieksekusi, output yang didapat adalah sebagai berikut −

>> % Definisikan matriks A
A = [2, -1; 4, 3]; % Hitung eigenvalue dan eigenvektor
[V, D] = eig(A); % Tampilkan eigenvalue
disp('Eigenvalues:'); disp(D); % Tampilkan eigenvektor
disp('Eigenvectors:'); disp(V);
Eigenvalues: 2.5000 + 1.9365i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 2.5000 - 1.9365i
Eigenvectors: -0.1118 + 0.4330i -0.1118 - 0.4330i 0.8944 + 0.0000i 0.8944 + 0.0000i