Pengantar Bilangan Kompleks

Jika saya perlu menjelaskan jarak antara dua kota, saya dapat memberikan jawaban yang terdiri dari satu angka dalam mil, kilometer, atau unit pengukuran linier lainnya.

Namun, jika saya ingin menjelaskan bagaimana melakukan perjalanan dari satu kota ke kota lain, saya harus memberikan lebih banyak informasi daripada hanya jarak antara dua kota itu; Saya juga harus memberikan informasi tentang arah untuk bepergian juga.

Jenis informasi yang mengekspresikan satu dimensi, seperti jarak linier, disebut skalar kuantitas dalam matematika. Bilangan skalar adalah jenis bilangan yang telah Anda gunakan di hampir semua aplikasi matematika Anda sejauh ini.

Tegangan yang dihasilkan oleh baterai, misalnya, adalah besaran skalar. Begitu juga hambatan seutas kawat (ohm), atau arus yang melaluinya (amp).

Namun, ketika kita mulai menganalisis rangkaian AC, kita menemukan kuantitas tegangan, arus, dan bahkan resistansi (disebut impedansi dalam AC) bukanlah besaran satu dimensi yang biasa kita ukur di sirkuit DC.

Sebaliknya, besaran-besaran ini, karena bersifat dinamis (bergantian arah dan amplitudo), memiliki dimensi lain yang harus diperhitungkan. Pergeseran frekuensi dan fase adalah dua dimensi yang ikut berperan.

Bahkan dengan sirkuit AC yang relatif sederhana, di mana kita hanya berurusan dengan satu frekuensi, kita masih memiliki dimensi pergeseran fasa yang harus dihadapi selain amplitudo.

Agar berhasil menganalisis rangkaian AC, kita perlu bekerja dengan objek dan teknik matematika yang mampu merepresentasikan besaran multidimensi ini.

Di sinilah kita perlu meninggalkan bilangan skalar untuk sesuatu yang lebih cocok:bilangan kompleks . Sama seperti contoh pemberian arah dari satu kota ke kota lain, besaran AC dalam rangkaian frekuensi tunggal memiliki amplitudo (analogi:jarak) dan pergeseran fasa (analogi:arah).

Bilangan kompleks adalah besaran matematis tunggal yang dapat menyatakan dua dimensi amplitudo dan pergeseran fasa ini sekaligus.

Representasi Grafis Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks lebih mudah dipahami ketika direpresentasikan secara grafis. Jika saya menggambar garis dengan panjang (besar) dan sudut (arah) tertentu, saya memiliki representasi grafis dari bilangan kompleks yang umumnya dikenal dalam fisika sebagai vektor :(Gambar di bawah)

Seperti jarak dan arah pada peta, harus ada beberapa kerangka acuan umum agar figur sudut memiliki arti. Dalam hal ini, langsung kanan dianggap 0 ^o , dan sudut dihitung dalam arah positif berlawanan arah jarum jam:(Gambar di bawah)

Ide merepresentasikan angka dalam bentuk grafik bukanlah hal baru. Kita semua mempelajari ini di sekolah dasar dengan “garis bilangan:” (Gambar di bawah)

Kami bahkan mempelajari cara kerja penjumlahan dan pengurangan dengan melihat bagaimana panjang (besar) ditumpuk untuk memberikan jawaban akhir:(Gambar di bawah)

Kemudian, kami mengetahui bahwa ada cara untuk menentukan nilai antara seluruh angka yang ditandai pada garis. Ini adalah jumlah pecahan atau desimal:(Gambar di bawah)

Bidang angka ini (bulat, bilangan bulat, rasional, irasional, nyata, dll.) yang dipelajari di sekolah dasar memiliki sifat yang sama:semuanya satu dimensi . Kelurusan garis bilangan menggambarkan hal ini secara grafis.

Anda dapat bergerak ke atas atau ke bawah garis bilangan, tetapi semua "gerakan" di sepanjang garis itu dibatasi pada satu sumbu (horizontal).

Bilangan skalar satu dimensi sangat memadai untuk menghitung manik-manik, mewakili berat, atau mengukur tegangan baterai DC, tetapi mereka tidak mampu mewakili sesuatu yang lebih kompleks seperti jarak dan arah antara dua kota, atau amplitudo dan fase bentuk gelombang AC.

Untuk merepresentasikan besaran-besaran semacam ini, kita membutuhkan representasi multidimensi. Dengan kata lain, kita membutuhkan garis bilangan yang dapat menunjuk ke arah yang berbeda, dan itulah sebenarnya vektor.

TINJAUAN:

• Sebuah skalar bilangan adalah jenis objek matematika yang biasa digunakan orang dalam kehidupan sehari-hari:besaran satu dimensi seperti suhu, panjang, berat, dll.
• Sebuah bilangan kompleks adalah besaran matematis yang mewakili dua dimensi besaran dan arah.
• Sebuah vektor adalah representasi grafis dari bilangan kompleks. Itu terlihat seperti anak panah, dengan titik awal, ujung, panjang tertentu, dan arah tertentu. Terkadang kata fasor digunakan dalam aplikasi listrik di mana sudut vektor mewakili pergeseran fasa antara bentuk gelombang.

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja fase AC