Pengantar Aljabar Boolean

Aturan matematika didasarkan pada batasan yang menentukan yang kita tempatkan pada jumlah numerik tertentu yang ditangani.

Ketika kita mengatakan bahwa 1 + 1 =2 atau 3 + 4 =7, kita menyiratkan penggunaan jumlah bilangan bulat:jenis bilangan yang sama yang kita semua pelajari di pendidikan dasar.

Apa yang kebanyakan orang anggap sebagai aturan aritmatika yang terbukti dengan sendirinya—berlaku setiap saat dan untuk semua tujuan—sebenarnya bergantung pada apa yang kita definisikan sebagai angka.

Misalnya, saat menghitung besaran dalam rangkaian AC, kita menemukan bahwa besaran bilangan “nyata” yang sangat membantu kita dalam analisis rangkaian DC tidak memadai untuk tugas merepresentasikan besaran AC.

Kita tahu bahwa tegangan bertambah ketika dihubungkan secara seri, tetapi kita juga tahu bahwa adalah mungkin untuk menghubungkan sumber AC 3 volt secara seri dengan sumber AC 4 volt dan menghasilkan tegangan total 5 volt (3 + 4 =5) .

Apakah ini berarti aturan aritmatika yang tidak dapat diganggu gugat dan terbukti dengan sendirinya telah dilanggar?

Tidak, itu hanya berarti bahwa aturan bilangan "nyata" tidak berlaku untuk jenis besaran yang ditemui di sirkuit AC, di mana setiap variabel memiliki besaran dan fase.

Akibatnya, kita harus menggunakan jenis kuantitas numerik, atau objek yang berbeda, untuk rangkaian AC (kompleks angka, bukan nyata angka), dan bersama dengan sistem angka yang berbeda ini muncul seperangkat aturan berbeda yang memberi tahu kita bagaimana mereka berhubungan satu sama lain.

Ekspresi seperti “3 + 4 =5” omong kosong dalam ruang lingkup dan definisi bilangan real, tetapi cocok dengan ruang lingkup dan definisi bilangan kompleks (pikirkan segitiga siku-siku dengan sisi yang berlawanan dan berdekatan dari 3 dan 4, dengan sisi miring 5).

Karena bilangan kompleks adalah dua dimensi, bilangan kompleks dapat "dijumlahkan" satu sama lain secara trigonometri sebagai nyata satu dimensi nomor tidak bisa.

Hukum Matematika dan "Logika Fuzzy"

Logika sangat mirip dengan matematika dalam hal ini:apa yang disebut "Hukum" logika bergantung pada bagaimana kita mendefinisikan apa itu proposisi.

Filsuf Yunani Aristoteles mendirikan sistem logika berdasarkan hanya dua jenis proposisi:benar dan salah.

Definisi kebenarannya yang bivalen (dua mode) mengarah pada empat hukum dasar logika:Hukum Identitas (A adalah A); Hukum Non-kontradiksi (A bukan non-A); Hukum Tengah yang Dikecualikan (baik A atau non-A); dan Hukum Inferensi Rasional .

Apa yang disebut Hukum ini berfungsi dalam ruang lingkup logika di mana proposisi terbatas pada salah satu dari dua nilai yang mungkin, tetapi mungkin tidak berlaku dalam kasus di mana proposisi dapat memiliki nilai selain "benar" atau "salah".

Faktanya, banyak pekerjaan telah dilakukan dan terus dilakukan pada “multivalued”, atau kabur logika, di mana proposisi mungkin benar atau salah sampai tingkat tertentu .

Dalam sistem logika seperti itu, “Hukum” seperti Hukum Tengah yang Dikecualikan sama sekali tidak berlaku, karena didasarkan pada asumsi bivalensi.

Demikian juga, banyak premis yang akan melanggar Hukum Non-kontradiksi dalam logika Aristoteles memiliki validitas dalam logika “kabur”. Sekali lagi, batas yang menentukan nilai proposisional menentukan Hukum yang menjelaskan fungsi dan hubungan mereka.

Kelahiran Aljabar Boolean

Matematikawan Inggris George Boole (1815-1864) berusaha memberikan bentuk simbolis pada sistem logika Aristoteles.

Boole menulis sebuah risalah pada subjek pada tahun 1854, berjudul Sebuah Investigasi Hukum Pemikiran, yang Ditemukan Teori Matematika Logika dan Probabilitas , yang mengkodifikasikan beberapa aturan hubungan antara kuantitas matematis yang terbatas pada salah satu dari dua nilai yang mungkin:benar atau salah, 1 atau 0.

Sistem matematikanya dikenal sebagai aljabar Boolean.

Semua operasi aritmatika yang dilakukan dengan besaran Boolean hanya memiliki satu dari dua kemungkinan hasil:1 atau 0 .

Tidak ada yang namanya “2 ” atau “-1 ” atau “1/2 ” di dunia Boolean. Ini adalah dunia di mana semua kemungkinan lain tidak valid oleh fiat.

Seperti yang bisa ditebak, ini bukan jenis matematika yang ingin Anda gunakan saat menyeimbangkan buku cek atau menghitung arus melalui resistor.

Namun, Claude Shannon dari MIT yang terkenal mengetahui bagaimana aljabar Boolean dapat diterapkan pada sirkuit hidup-mati , di mana semua sinyal ditandai sebagai “tinggi ” (1) atau “rendah ” (0).

Tesisnya tahun 1938, berjudul A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits , menggunakan karya teoretis Boole dengan cara yang tidak pernah dibayangkan Boole, memberi kami alat matematika yang hebat untuk merancang dan menganalisis sirkuit digital.

Aljabar Boolean vs. "Aljabar Normal"

Dalam bab ini, Anda akan menemukan banyak kesamaan antara aljabar Boolean dan aljabar "normal", jenis aljabar yang melibatkan apa yang disebut bilangan real.

Ingatlah bahwa sistem bilangan yang mendefinisikan aljabar Boolean sangat terbatas dalam hal ruang lingkup, dan hanya ada satu dari dua nilai yang mungkin untuk variabel Boolean apa pun:1 atau 0.

Akibatnya, "Hukum" aljabar Boolean sering berbeda dari "Hukum" aljabar bilangan real, memungkinkan pernyataan seperti 1 + 1 =1, yang biasanya dianggap tidak masuk akal.

Setelah Anda memahami premis semua kuantitas dalam aljabar Boolean yang terbatas pada dua kemungkinan 1 dan 0, dan prinsip filosofis umum Hukum tergantung pada definisi kuantitatif, "omong kosong" aljabar Boolean menghilang.

Aljabar Boolean vs. “Aljabar Normal”

Dalam bab ini, Anda akan menemukan banyak kesamaan antara aljabar Boolean dan aljabar "normal", jenis aljabar yang melibatkan apa yang disebut bilangan real.

Ingatlah bahwa sistem bilangan yang mendefinisikan aljabar Boolean sangat terbatas dalam hal cakupannya, dan bahwa hanya ada satu dari dua nilai yang mungkin untuk variabel Boolean apa pun:1 atau 0.

Akibatnya, "Hukum" aljabar Boolean sering berbeda dari "Hukum" aljabar bilangan real, memungkinkan pernyataan seperti 1 + 1 =1, yang biasanya dianggap tidak masuk akal.

Setelah Anda memahami premis semua kuantitas dalam aljabar Boolean yang terbatas pada dua kemungkinan 1 dan 0, dan prinsip filosofis umum Hukum tergantung pada definisi kuantitatif, "omong kosong" aljabar Boolean menghilang.

Bilangan Boolean vs. Bilangan Biner

Harus dipahami dengan jelas bahwa bilangan Boolean tidak sama dengan biner angka.

Bila bilangan Boolean mewakili sistem matematika yang sama sekali berbeda dari bilangan real, biner tidak lebih dari notasi alternatif untuk bilangan real.

Keduanya sering dikacaukan karena matematika Boolean dan notasi biner menggunakan dua cipher yang sama:1 dan 0.

Perbedaannya adalah bahwa besaran Boolean dibatasi pada satu bit (baik 1 atau 0), sedangkan bilangan biner dapat terdiri dari banyak bit yang dijumlahkan dalam bentuk pembobotan tempat ke nilai dengan ukuran terhingga.

Bilangan biner 10011₂ (“sembilan belas”) tidak memiliki tempat lebih di dunia Boolean selain angka desimal 2₁₀ (“dua”) atau bilangan oktal 32₈ (“dua puluh enam”).

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Aljabar Boolean
• Lembar Kerja Aljabar dan Grafik Dasar untuk Sirkuit Listrik
• Lembar Kerja Matematika Biner