Kontrol Polarisasi Terahertz Lengkap dengan Bandwidth yang Diperluas melalui Metasurfaces Dielektrik
Abstrak
Kami mendemonstrasikan metasurfaces dielektrik terahertz dengan multipol anisotropik dalam kerangka prinsip Huygens yang digeneralisasi, di mana interferensi di antara multikutub ini mencapai pergeseran fase raksasa dengan bandwidth yang diperluas dan koefisien transmisi yang tinggi. Lebih penting lagi, karena desain anisotropik, berbagai penundaan fase antara π /2 dan 3π /2 diperoleh, yang mengubah gelombang terahertz terpolarisasi linier menjadi cahaya terpolarisasi sirkular kanan/kiri, cahaya terpolarisasi elips, dan cahaya terpolarisasi silang. Baik simulasi maupun hasil eksperimen memverifikasi kontrol polarisasi terahertz yang lengkap dengan elips mulai dari 1 hingga 1, yang membuka jalan bagi aplikasi perangkat meta terahertz yang terkait dengan polarisasi.
Pengantar
Polarisasi merupakan salah satu parameter kunci yang mengukur keadaan gelombang elektromagnetik [1]. Khususnya, kontrol polarisasi di wilayah terahertz telah menarik minat penelitian yang besar karena aplikasi potensial dalam teknologi terahertz [2, 3]. Namun, gelombang terahertz yang dihasilkan dari sebagian besar sumber terahertz terpolarisasi linier [4], yang tidak dapat memenuhi persyaratan dalam sistem terahertz polarimetri yang kompleks. Pendekatan konvensional untuk memanipulasi polarisasi gelombang terahertz melibatkan bahan birefringen, yang secara inheren menderita banyak kerugian, termasuk ukuran besar dan operasi pita sempit. Kelemahan tersebut menghalangi perangkat ini untuk diintegrasikan ke dalam sistem fotonik terahertz kompak dan broadband modern.
Dalam beberapa tahun terakhir, metasurfaces, yang merupakan susunan antena yang direkayasa secara artifisial, memungkinkan pendekatan yang efisien untuk membentuk polarisasi gelombang terahertz [5, 6]. Berbagai metasurfaces logam telah diusulkan untuk mewujudkan kontrol polarisasi. Desain yang diusulkan biasanya didasarkan pada metasurfaces anisotropik [7], metasurfaces kiral [8] dan metasurfaces multilayer [9, 10]. Media aktif, seperti bahan perubahan fasa [11], semikonduktor [8], bahan dua dimensi [12, 13], kristal cair [14] dan superkonduktor [15], telah diintegrasikan ke dalam metasurfaces untuk memperluas fungsionalitas. Metasurfaces logam multilayer dan aktif dapat lebih meningkatkan kinerja kontrol polarisasi dengan pengorbanan kerugian tinggi dan proses fabrikasi yang kompleks. Baru-baru ini, metasurfaces dielektrik, disusun oleh antena dielektrik, memberikan pendekatan baru untuk mengontrol gelombang elektromagnetik [16]. Dibantu oleh interferensi antara resonansi Mie listrik dan magnetik, metasurface dielektrik mampu mewujudkan 2π kontrol fase dengan efisiensi tinggi [17]. Upaya besar telah dilakukan untuk meningkatkan kinerja metasurfaces dielektrik untuk kontrol polarisasi terahertz [18, 19]. Namun, sebagian besar pekerjaan yang dilaporkan sebelumnya didasarkan pada resonansi dipol listrik dan magnet, yang menyadari kinerja terbatas, seperti rentang kontrol penundaan fase terbatas dan pada prinsipnya operasi frekuensi tunggal [17], dan dengan demikian menghambat manipulasi lengkap polarisasi gelombang terahertz. dengan kinerja tinggi.
Di sini, kami mengusulkan metasurfaces dielektrik dengan multipol, yang sangat meningkatkan dispersi fase dengan pergeseran fase hingga 4π dan mewujudkan penundaan fase raksasa, bandwidth yang diperluas dan efisiensi tinggi, memungkinkan kontrol polarisasi terahertz lengkap. Disusun oleh susunan pilar silikon elips, permukaan meta yang diusulkan mampu mendukung multikutub listrik dan magnet yang berbeda. Dengan tumpang tindih multipol ini, transmisi hampir sempurna dalam bandwidth yang diperluas dan hingga 4π pergeseran fasa dapat dicapai dengan memanfaatkan prinsip Huygens umum [20, 21]. Karena anisotropi pilar silikon, superposisi multikutub dapat diubah secara independen sepanjang sumbu pendek dan panjang pilar elips. Dengan demikian, penundaan fase raksasa dalam broadband dapat dicapai dalam metasurface dielektrik seperti itu, yang menunjukkan kinerja yang unggul dibandingkan dengan desain logam dan dielektrik lainnya (lihat File tambahan 1:Gbr. S1). Karena desain yang kami usulkan dapat mencapai kontrol polarisasi lengkap dalam kerangka desain sederhana, meta-atom dapat diatur secara artifisial untuk memvariasikan tingkat polarisasi secara spasial dan menghasilkan berkas terahertz yang kompleks, seperti bidang vektor varian elips [22].
Desain dan Simulasi
Gelombang elektromagnetik yang dihamburkan dari antena dielektrik dapat diuraikan menjadi multipol dengan simetri yang berbeda [23]. Ketika antena dielektrik diatur ke dalam array di metasurfaces, medan tersebar \(\overline{E}\) dapat dinyatakan sebagai jumlah dari komponen simetris \(\overline{E}_{s}\) dan anti- komponen simetris \(\overline{E}_{as}\). Dengan demikian, transmisi dan refleksi metasurfaces sepanjang arah perambatan gelombang \(\hat{z}\) secara umum dapat diturunkan sebagai [21, 24, 25]:
di mana amplitudo gelombang datang didefinisikan sebagai 1. Untuk mewujudkan transmisi tinggi dan refleksi yang dapat diabaikan, \(\overline{E}_{s} ( - \hat{z})\) dan \(\overline{E }_{as} ( - \hat{z})\) dalam arah mundur harus memiliki amplitudo yang sama tetapi fase yang berlawanan. Khususnya, ketika antena dielektrik mendukung dua multipol, seperti resonansi simetris (misalnya dipol listrik) dan resonansi anti-simetris (misalnya dipol magnet), superposisinya dapat memenuhi persyaratan interferensi destruktif. Interferensi destruktif menyebabkan refleksi nol ketika dua mode dipol ini memiliki frekuensi resonansi yang sama dengan amplitudo dan faktor kualitas yang sama, yang telah diusulkan dalam metasurfaces Huygens [17]. Namun, interferensi destruktif seperti itu hanya terjadi pada pita sempit, yang pada dasarnya memberlakukan pembatasan pada realisasi perangkat pita lebar. Untuk memperluas bandwidth operasi, bidang yang tersebar \(\overline{E}_{s}\) dan \(\overline{E}_{as}\) harus menyertakan kontribusi dari multipol orde tinggi lainnya, di mana transmisi yang dihasilkan adalah keseimbangan interferensi multipolar di antara multipol ini. Skenario ini menyerupai konsep kondisi Kerker umum dengan interferensi multipolar [26,27,28].
Untuk sepenuhnya mencakup semua keadaan polarisasi, termasuk polarisasi sirkular kanan/kiri, polarisasi elips dan polarisasi linier, penundaan fase harus mencakup dari 90 ° hingga 270 °, yang sesuai dengan eliptisitas mulai dari 1 hingga − 1. Dengan demikian, kami mengusulkan metasurfaces dielektrik anisotropik disusun oleh array pilar silikon elips, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 1a. Di wilayah terahertz, silikon intrinsik diadopsi untuk menghilangkan kehilangan penyerapan. Seperti ditunjukkan pada Gambar 1a, cahaya datang terpolarisasi linier dapat diubah menjadi cahaya terpolarisasi sirkular, cahaya terpolarisasi elips, dan cahaya terpolarisasi silang, ketika interferensi multipolar mempertahankan kombinasi yang berbeda sehubungan dengan ukuran geometri yang berbeda. Gambar 1b menunjukkan parameter sel satuan. Panjang sumbu pendek dan panjang pilar elips adalah a dan b , masing-masing. Ketinggian pilar adalah h . Periodisitas sel satuan sepanjang sumbu pendek dan panjang adalah Px dan Py , masing-masing. Gambar 1c menunjukkan gambar mikroskop elektron pemindaian (SEM) dari susunan pilar silikon tipikal, yang akan dibahas di bagian metode.
a Skema metasurfaces dielektrik, yang mewujudkan kontrol polarisasi penuh. b Sel satuan dari metasurfaces dielektrik. c Gambar SEM dari susunan pilar silikon tipikal dalam tampilan miring dengan gambar zoom-in
Untuk mewujudkan kontrol polarisasi terahertz yang lengkap dalam metasurface dielektrik yang diusulkan, simulasi numerik dilakukan untuk mengoptimalkan dimensi metasurface dielektrik, yang secara bersamaan memenuhi persyaratan variasi penundaan fase 90° hingga 270° dengan transmisi tinggi dan bandwidth yang diperluas. Antara 90 ° dan 270 °, ukuran langkah 45 ° dipilih untuk menunjukkan skema kontrol polarisasi yang berbeda. Di sini, kami memberi nama desain yang berbeda sehubungan dengan penundaan fasenya, yang masing-masing didefinisikan sebagai P90, P135, P180, P225 dan P270. Kami melakukan simulasi numerik dalam perangkat lunak simulasi komersial CST microwave studio. Dalam simulasi, silikon diperlakukan sebagai dielektrik lossless dengan εSi = 11.7 di wilayah terahertz. Substrat dimodelkan sebagai dielektrik lossless dengan εsub =4.5. Kondisi batas periodik diterapkan di sepanjang x - dan y -sumbu. Gelombang terahertz disinari pada pilar pada arah z dengan kondisi batas ruang tambah terbuka. Di sisi belakang substrat, kondisi batas terbuka diadopsi untuk mensimulasikan substrat semi-tak terbatas. Gambar 2a menunjukkan transmisi simulasi dan penundaan fase dari lima permukaan meta yang berbeda. Parameter rinci dari semua metasurfaces disajikan dalam file tambahan 1:Tabel S1. Diamati bahwa semua metasurface memanifestasikan koefisien transmisi yang tinggi untuk keduanya x - dan y insiden terpolarisasi dari 1,2 hingga 1,3 THz, sedangkan penundaan fase bervariasi dari 90 °, 135 °, 180 °, 225 ° hingga 270 °, masing-masing. Koefisien transmisi yang sama dengan penundaan fase 90° menunjukkan bahwa cahaya datang dapat diubah menjadi cahaya terpolarisasi sirkular (LCP) tangan kiri. Demikian pula, penundaan fase 135 °, 180 °, 225 ° dan 270 ° diperoleh dengan polarisasi cahaya keluaran yang mencakup polarisasi lingkaran elips, silang dan tangan kanan. Dengan demikian, kontrol polarisasi lengkap gelombang terahertz dicapai dalam metasurfaces dielektrik yang diusulkan, yang menunjukkan kinerja yang unggul dibandingkan dengan meta-perangkat dengan bandwidth terbatas, efisiensi rendah dan cakupan terbatas penundaan fase [18, 29].
a Simulasi dan b koefisien transmisi terukur eksperimental dan penundaan fase metasurfaces dielektrik untuk desain P90, P135, P180, P225 dan P270, masing-masing
Hasil dan Diskusi
Untuk memvalidasi kinerja kontrol polarisasi, susunan pilar silikon dibuat dan dikarakterisasi dalam spektroskop domain waktu terahertz (THz-TDS). Proses fabrikasi dapat ditemukan di bagian Metode. Kaca borosilikat tipis (BF33, ketebalan 300 μm) dipilih sebagai substrat. Gambar SEM dari sampel tipikal untuk desain dengan penundaan fase 270 ° disajikan pada Gambar. 1c dalam tampilan miring dengan gambar yang diperbesar sebagai sisipan. Untuk mengkarakterisasi kinerja metasurfaces, medan listrik dari gelombang terahertz yang ditransmisikan sepanjang sumbu pendek dan panjang pilar silikon dilambangkan sebagai \(\overline{E}_{x}\) dan \(\overline{E} _{y}\). Substrat kaca telanjang diukur sebagai referensi dengan medan listrik yang ditransmisikan yang sesuai dari \(\overline{E}_{x({\rm ref})}\) dan \(\overline{E}_{y({\ rm ref})}\). Koefisien transmisi dinyatakan sebagai \(\overline{t}_{x} =\overline{E}_{x} /\overline{E}_{x({\rm ref})}\) dan \(\ overline{t}_{y} =\overline{E}_{y} /\overline{E}_{y({\rm ref})}\). Penundaan fase antara dua polarisasi ortogonal dihitung dan dilambangkan sebagai \(\varphi =\varphi_{y} - \varphi_{x} =\arg (\overline{t}_{y} ) - \arg (\overline{t }_{x} )\). Detail sistem pengukuran dapat ditemukan di bagian Metode.
Koefisien transmisi yang diukur dan penundaan fase dari metasurfaces dielektrik ditunjukkan pada Gambar. 2b. Seperti dapat dilihat, koefisien transmisi tinggi dalam rentang frekuensi yang dirancang diperoleh untuk kasus P90, P135, P180, P225 dan P270, dengan penundaan fase yang sesuai mendekati 90°, 135°, 180°, 225, dan 270° , masing-masing. Perbedaan kecil antara hasil simulasi dan pengukuran dapat diamati, yang mungkin berasal dari fluktuasi ukuran selama proses fabrikasi. Kekasaran permukaan metasurfaces mungkin menjadi masalah lain yang membawa kerugian ekstra dan menurunkan koefisien transmisi [30]. Selain itu, perlu dicatat bahwa efek substrat, termasuk kehilangan dan pantulan, dibahas secara rinci dalam File tambahan (lihat File tambahan 1:Gbr. S2). Meski begitu, tren variasi serupa antara hasil yang diukur dan disimulasikan memvalidasi kinerja metasurfaces dielektrik untuk kontrol polarisasi.
Untuk menyelidiki sepenuhnya kinerja konversi polarisasi di metasurfaces, eliptisitas gelombang yang ditransmisikan dihitung, yang didefinisikan sebagai:
$$\chi =S_{3} /S_{0} ,$$ (3)
dimana S0 dan S3 adalah parameter Stokes yang dapat langsung dihitung berdasarkan koefisien transmisi dan penundaan fase [29]. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3, hasil simulasi menyajikan cakupan penuh eliptisitas dari 1 hingga 1. Secara umum, kinerja konversi polarisasi mendekati 1,2–1,3 THz menunjukkan tren variasi yang serupa untuk hasil simulasi dan eksperimen. Beberapa perbedaan terjadi pada sekitar 1,4 THz, yang mungkin berasal dari dua aspek. Pertama, dalam simulasi, substrat diperlakukan sebagai material lossless dengan ketebalan tak terbatas, sedangkan dalam eksperimen, substrat memiliki kehilangan yang nyata dengan ketebalan 300 m. Kerugian ini akan meredam Q . yang tinggi resonansi (MD pada 1,4 THz misalnya) dan meratakan spektrum transmisi. Kedua, parameter geometrik resonator dalam eksperimen bervariasi dibandingkan dengan yang didefinisikan dalam simulasi. Contoh tipikal adalah lebar pilar yang bervariasi secara bertahap pada ketinggian yang berbeda, yang dikaitkan dengan proses etsa ion reaktif dalam dalam fabrikasi. Variasi parameter geometris ini akan memperluas multikutub dan meningkatkan tumpang tindihnya, dan dengan demikian individu tinggi-Q resonansi memburuk karena superposisi dan interferensi. Singkatnya, efek substrat dan variasi parameter geometri dalam eksperimen secara kolektif menghasilkan perbedaan dibandingkan dengan simulasi di sekitar 1,4 THz. Perbedaan tersebut dapat diminimalkan lebih lanjut dengan memilih substrat kehilangan rendah (misalnya, kuarsa, polimida, SU8) dengan ketebalan kecil dan mengoptimalkan proses fabrikasi sehubungan dengan parameter simulasi. Juga dicatat bahwa frekuensi operasi umumnya dirancang untuk berada pada frekuensi off-resonance, oleh karena itu dipengaruhi secara lemah oleh penurunan kualitas Q tinggi. resonansi.
a Simulasi dan b eliptisitas terukur eksperimental dari metasurfaces dielektrik yang berbeda
Untuk menggambarkan interferensi multipolar dalam metasurfaces dielektrik, penampang hamburan (SCSs) dari multipol yang berbeda dihitung dengan dekomposisi multipol bola sehubungan dengan dua arah polarisasi ortogonal [19, 24]. Rincian dekomposisi multipol dapat ditemukan di bagian Metode. Gambar 4 menunjukkan SCS yang dihitung dari metasurface dielektrik yang berbeda di bawah x - dan y - kejadian terpolarisasi Pertama untuk P90, resonansi dipol magnetik (MD) berkontribusi pada SCS keseluruhan pada 1,4 THz di bawah x -insiden terpolarisasi, sedangkan di bawah y -cahaya terpolarisasi itu terutama terjadi pada 1,18 THz. Pada wilayah frekuensi yang lebih tinggi sekitar 1,42 THz, komponen dipol listrik (ED), kuadrupol listrik (EQ) dan kuadrupol magnetik (MQ) menunjukkan kontribusi yang jelas pada SCS di bawah y -cahaya terpolarisasi Saat membandingkan SCS di bawah x - dan y - insiden terpolarisasi, di wilayah yang tumpang tindih antara 1,2 dan 1,3 THz, kondisi off-resonansi memastikan koefisien transmisi yang tinggi, sementara interferensi di antara multikutub yang berbeda mengangkat kurva dispersi fase yang berbeda untuk dua arah polarisasi ortogonal. Dengan keseimbangan yang tepat di antara perbedaan multipol, penundaan fase tertentu dengan koefisien transmisi tinggi dan bandwidth yang diperluas dapat dicapai, yang dalam kasus kami sesuai dengan penundaan fase 90°. Untuk kasus P135, P180 dan P225, kontribusi dari ED, MD, EQ dan MQ menghadirkan tren variasi yang sama seperti kasus P90 dengan perubahan halus dari frekuensi resonansi dan tumpang tindih mode, yang dengan jelas menunjukkan fungsi interferensi multipolar untuk kontrol polarisasi. Sebaliknya, untuk kasus P270, penundaan fase 270° memerlukan dispersi fase raksasa dengan transmisi tinggi dalam pita lebar, yang hampir tidak dapat direalisasikan melalui kondisi resonansi tidak aktif. Untuk mengatasi masalah ini, kami merancang kondisi resonansi untuk kasus P270. Di bawah x -terpolarisasi, mode resonansi ED, MD dan MQ menunjukkan kontribusi yang jelas pada SCS antara 1,2 dan 1,3 THz. Di bawah y - insiden terpolarisasi, resonansi MD mendominasi pada 1,39 THz. Dengan demikian, efek interferensi multipolar menyebabkan transmisi tinggi dalam pita lebar dengan penundaan fase 270 °.
Dekomposisi multikutub SCS untuk resonansi ED, MD, EQ dan MQ di bawah ax - dan by -insiden terpolarisasi
Dibandingkan dengan desain lain yang ada, desain yang kami usulkan memungkinkan platform lapisan tunggal untuk kontrol polarisasi terahertz lengkap. Lebih penting lagi, penundaan fase desain kami dapat diubah dari 90° menjadi 270 °, yang mencakup status polarisasi yang berbeda, termasuk polarisasi melingkar, polarisasi elips, dan polarisasi lintas-linier, yang sulit dicapai dalam desain lain yang ada (Tabel 1) . Sementara itu, bandwidth dan efisiensi desain kami dapat mengungguli desain single layer lain yang ada. Perlu dicatat bahwa meskipun desain multilayer menghadirkan kinerja yang lebih baik dibandingkan dengan desain kami, struktur meta multilayer ini memerlukan desain dan proses fabrikasi yang kompleks, yang membatasi aplikasinya dalam sistem optik terahertz yang ringkas. Selain itu, desain kami mewujudkan konversi polarisasi yang berbeda, sementara sebagian besar desain multilayer mencapai penundaan fase terbatas dengan fungsi konversi polarisasi tunggal.
Kesimpulan
Singkatnya, kami telah mengusulkan dan secara eksperimental menunjukkan kontrol polarisasi terahertz lengkap dengan bandwidth yang diperluas dan efisiensi tinggi melalui semua metasurfaces dielektrik. Disusun oleh susunan pilar silikon elips, metasurface yang diusulkan mewujudkan koefisien transmisi yang sama dan tinggi di sepanjang x - dan y -sumbu, sementara penundaan fasenya dapat terus disetel dari 90° hingga 270° dengan ukuran langkah 45°. Elliptisitas yang sesuai berubah dari 1 ke-1, menunjukkan cakupan penuh dari cahaya terpolarisasi yang berbeda, termasuk cahaya LCP, cahaya terpolarisasi elips, cahaya terpolarisasi silang dan cahaya RCP. Selain itu, hasil dekomposisi multikutub memverifikasi kontribusi multikutub yang berbeda untuk kontrol polarisasi. Metasurfaces dielektrik yang dibantu interferensi multipolar semacam itu menjanjikan strategi eksotis untuk menerapkan perangkat kontrol polarisasi fungsional terahertz berkinerja tinggi.
Metode
Pembuatan metasurfaces dielektrik melibatkan fotolitografi standar dan etsa ion reaktif dalam. Pertama, wafer silikon intrinsik dengan ketebalan 500 m direkatkan pada wafer kaca (BF33, ketebalan 300 m) melalui ikatan anodik. Resistivitas wafer silikon melebihi 5.000 ·cm untuk menghilangkan kehilangan penyerapan silikon di wilayah terahertz. Wafer silikon ditipiskan hingga ketebalan 180 μm. Kemudian, wafer dibersihkan dengan aseton dan wafer deionisasi selama 30 menit. Selanjutnya, photoresist AZ4620 dilapisi spin pada wafer, diikuti dengan pemanggangan lunak pada suhu 100 °C selama 10 menit. Setelah spin-coating, susunan elips dipola pada photoresist dengan photolithography (MA6) dengan waktu pemaparan 40 s, diikuti oleh pengembangan photoresist di developer selama 3 mnt. Setelah itu, dilakukan proses hard-baking pada suhu 110°C selama 5 menit. Langkah selanjutnya adalah etsa silikon dengan etsa ion reaktif dalam selama 56 menit. Terakhir, photoresist yang tersisa dibersihkan dengan aseton, isopropanol, dan air deionisasi.
Metasurfaces dielektrik dicirikan dalam THz-TDS. Dalam sistem ini, gelombang terahertz dihasilkan dari emitor terahertz spintronic buatan sendiri, yang dipompa oleh laser pulsa 100 fs pada 800 nm dengan kecepatan pengulangan 80 MHz. Kemudian gelombang terahertz yang dipancarkan dikolimasi dan difokuskan oleh empat buah cermin parabola off-axis. Sampel yang diukur ditempatkan pada titik di mana gelombang terahertz terfokus dengan diameter berkas sekitar 3 mm. Untuk sepenuhnya mengkarakterisasi keadaan polarisasi gelombang terahertz, dua polarisasi terahertz ditempatkan sebelum dan sesudah sampel untuk mengontrol polarisasi. Terakhir, gelombang terahertz dideteksi dengan teknik pengambilan sampel elektro-optik, di mana kristal elektro-optik ZnTe (110) setebal 1 mm digunakan untuk deteksi. Laser probe berasal dari sistem laser yang sama untuk generasi terahertz dengan daya probe 20 mW. Karakterisasi dilakukan pada suhu kamar dengan lingkungan gas nitrogen untuk menghilangkan penyerapan air di wilayah terahertz.
Dekomposisi multipole dilakukan melalui kode Matlab yang dikembangkan sendiri. Pertama, distribusi medan listrik \(\overline{\user2{E}}_{{{\mathbf{inter}}}} \left( {\hat{\user2{r}}} \right)\) di dalam pilar silikon elips diekstraksi dari hasil simulasi numerik. Kemudian, rapat arus \(\overline{\user2{J}}\left( {\hat{\user2{r}}} \kanan)\) dalam pilar silikon diturunkan sebagai \(\overline{\user2{ J}}\left( {\hat{\user2{r}}} \right) =- i\omega \left[ {\overline{\varepsilon }\left( {\hat{\user2{r}}} \ kanan) - \varepsilon_{0} } \right]\overline{\user2{E}}_{{{\mathbf{inter}}}} \left( {\hat{\user2{r}}} \right) \), di mana adalah frekuensi sudut, ε0 adalah permitivitas vakum. Selanjutnya, momen multipol arus yang berbeda dapat diuraikan sebagai:
dimana l adalah urutan momen yang berbeda dan \(\overline{\user2{M}}^{\left( l \right)}\) adalah tensor pangkat l [19, 24]. Kami menghitung momen multipol arus orde pertama dan kedua, yang sesuai dengan momen dipol dan kuadrupol. Momen orde tinggi lainnya tidak diperhitungkan karena umumnya sangat lemah dan memberikan kontribusi yang dapat diabaikan pada bidang yang tersebar secara keseluruhan. Berdasarkan momen multipol arus orde pertama dan kedua, koefisien multipol \(a_{E} \left( l \right)\) dan \(a_{M} \left( l \right)\) dapat diperoleh secara langsung . Dengan demikian, hamburan penampang mode multipolar dapat dihitung menggunakan persamaan berikut,
