Hamburan sudut kecil (neutron, sinar-x, atau cahaya; SAS) dianggap menggambarkan karakteristik struktural fraktal lemak skala nano deterministik. Kami menunjukkan bahwa dalam kasus sistem fraktal polidispersi, dengan probabilitas yang sama untuk orientasi apa pun, seseorang memperoleh dimensi fraktal dan faktor penskalaan pada setiap tingkat struktural. Ini sesuai dengan hasil umum yang disimpulkan dalam konteks analisis hamburan sudut kecil dari sistem yang berorientasi acak, tidak berinteraksi, nano-/mikro-fraktal. Kami menerapkan hasil kami ke fraktal mirip Cantor lemak dua dimensi, menghitung ekspresi analitik untuk intensitas hamburan dan faktor struktur. Kami menjelaskan bagaimana sifat struktural dapat dihitung dari data eksperimen dan menunjukkan korelasinya dengan variasi faktor penskalaan dengan nomor iterasi. Model tersebut dapat digunakan untuk menginterpretasikan data SAS eksperimental yang direkam dalam kerangka fraktal lemak dan dapat mengungkapkan sifat struktural bahan yang dicirikan oleh hukum reguler perubahan dimensi fraktal. Ini dapat menggambarkan suksesi peluruhan hukum-kekuatan, dengan nilai penurunan sewenang-wenang dari eksponen hamburan, dan diselingi oleh daerah dengan intensitas konstan.
Banyak struktur hierarki yang dihasilkan pada skala nano dan mikro memiliki karakteristik geometris yang tidak berubah di bawah pelebaran skala, menampilkan kesamaan diri, dan dengan demikian memiliki sifat fraktal [1, 2]. Meskipun kemajuan terbaru dalam ilmu material dan nanoteknologi memungkinkan persiapan berbagai fraktal deterministik skala nano/mikro buatan, dengan kemiripan diri yang tepat [3-7], sebagian besar proses alam menghasilkan fraktal acak yang serupa secara statistik. Pendekatan yang baik dalam studi struktural formasi fraktal alami dapat dilakukan dengan menggunakan model fraktal deterministik, dengan dimensi fraktal yang sama dengan yang acak. Pendekatan ini berhasil digunakan untuk menunjukkan bahwa transfer melintasi permukaan fraktal acak sangat dekat dengan respons geometri model deterministik [8]. Dengan memperkenalkan polidispersitas dalam algoritme konstruksi fraktal deterministik, intensitas hamburan sudut kecil (SAS) yang serupa dengan yang terkait dengan fraktal acak dapat diperoleh [9]. Selain itu, pendekatan "deterministik" secara komputasi lebih efisien, memungkinkan deskripsi analitik dari berbagai properti, seperti bentuk fraktal, faktor struktur, dan radius girasi.
Salah satu metode yang paling dapat diandalkan untuk menentukan sifat struktural fraktal deterministik dan acak [10, 11] adalah menggunakan difraksi gelombang dalam konteks hamburan sudut kecil pada bahan berstruktur nano atau mikro, menggunakan neutron atau gelombang elektromagnetik (x -ray, cahaya, dll) [12]. Inilah sebabnya, salah satu tugas mendasar dalam deskripsi teoretis terkait dengan penentuan eksperimental di area penelitian ini adalah untuk mengungkapkan hubungan antara struktur fraktal dan spektrum difraksi yang sesuai atau distribusi intensitas hamburan vs vektor gelombang hamburan. Banyak studi eksperimental dan teoritis dilakukan ke arah ini [13–21].
Menggunakan perhitungan teoritis standar dan interpolasi, parameter yang ditentukan dari jenis pengukuran eksperimental ini adalah dimensi fraktal massa D m (lihat Lampiran 1), dengan D m
Banyak intensitas difraksi eksperimental dari berbagai sistem biologis dan sintesa kimia yang dicirikan, pada skala logaritmik ganda, dengan suksesi peluruhan hukum-daya, diselingi oleh daerah dengan intensitas konstan. Perilaku ini dapat diidentifikasi untuk beberapa gel polimer [24], hidrolase glikosida untuk substrat selobiosa [25], koaservat kompleks polielektrolit [26], atau karbon nanopori [27]. Meskipun model Beaucage klasik [28] dapat memberikan informasi struktural dasar tentang sistem ini (yaitu, massa atau dimensi fraktal permukaan dan ukuran keseluruhan setiap tingkat struktural), karakterisasi yang lebih lengkap diperlukan karena banyaknya konfigurasi yang sesuai dengan nilai tetap dari dimensi fraktal. Masalah ini baru-baru ini sebagian ditangani oleh Cherny et al. [29] dalam konteks model hamburan sudut kecil (SAS). Ditunjukkan bahwa, untuk fraktal massa deterministik dengan skala tunggal, informasi tambahan dapat diperoleh, seperti jumlah iterasi fraktal, jumlah unit penyusun dasar, dan faktor penskalaan. Pendekatan ini selanjutnya berhasil digunakan untuk mengembangkan model baru untuk fraktal lemak, jika suksesi peluruhan hukum daya hadir dalam distribusi hamburan. Ini dapat diterapkan pada struktur di mana ukuran keseluruhan unit komponen dasar memiliki urutan yang sama dengan jarak di antara mereka [30, 31].
Model teoritis yang disajikan dalam artikel ini menggabungkan model sebelumnya untuk memperluas penerapannya. Ini menggambarkan suksesi peluruhan hukum kekuasaan, dengan penurunan nilai eksponen hamburan secara sewenang-wenang, dan diselingi oleh daerah intensitas konstan. Model kami juga mampu memberikan informasi yang lebih rinci tentang setiap tingkat struktural di nano-/mikro-fraktal. Untuk tujuan ini, kami mempertimbangkan fraktal gemuk, yang diwakili oleh fraktal massa deterministik dua dimensi dengan faktor skala yang bergantung pada jumlah iterasi, tetapi dengan luas permukaan yang tidak hilang dalam batas sejumlah besar iterasi, sehingga dengan positif ukuran Lebesgue. Kami memperoleh ekspresi analitik dari faktor bentuk dan struktur fraktal, dan kami menunjukkan cara menentukan dimensi fraktal dan faktor penskalaan pada setiap tingkat struktural.
Mempertimbangkan sebuah array dari lubang difraksi yang berorientasi sama dan identik, dilambangkan di sini dengan Σ , berisi N daerah transparan, diberi label dengan j , penjumlahan atas amplitudo yang diperoleh dari setiap bukaan harus diperhitungkan. Jadi, distribusi frekuensi amplitudo difraksi yang terkenal dari bukaan tunggal (Persamaan (37) dalam Lampiran 2) dapat ditulis ulang sebagai [32]:
$$ A(p,s) =\sum\limits_{j=1}^{N} \iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} T(x,y) e^{- 2 i \pi \left(p(x+x_{j}) + s(y+y_{j})\right)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (1)Koordinat titik dalam kerangka lokal j bukaannya adalah (x j ,y j ), dan T (x,y ) mewakili fungsi transmisi individual yang sesuai dengan setiap wilayah transparan. Satu dapat menukar penjumlahan dengan integrasi karena, dalam kasus kami, lubang dijelaskan oleh fungsi distribusi individu yang sama, sehingga Persamaan. (1) dapat ditulis ulang menjadi:
$$ A(p,s) =\iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi (px + sy)}\mathrm{ d}x\,\mathrm{d}y \times \sum\limits_{j=1}^{N}e^{ipx_{j}}e^{isy_{j}}. $$ (2)Faktor integral dari persamaan sebelumnya mewakili transformasi Fourier dari fungsi distribusi masing-masing bukaan identik, seperti disebutkan di atas. Amplitudo ini dimodulasi oleh faktor yang memuat penjumlahan, yang mewakili transformasi Fourier dari distribusi Dirac-delta dalam bentuk \(A_{\delta }~=~\sum _{j~=~1}^{N}(x~ -~x_{j})(y~-~y_{j})\). Oleh karena itu, distribusi spasial lubang di dalam larik juga diperhitungkan. Jadi, Persamaan. (2) dapat ditulis ulang dalam bentuk yang dikenal sebagai teorema array [32]:
$$ A(p,s)~=~\mathcal{F}\left\{T(x,y)\right\} \mathcal{F}\left\{A_{\delta}\right\}. $$ (3)Distribusi intensitas bayangan terdifraksi pada bidang Fourier menjadi:
$$ I(p,s) \equiv \left| A(p,s) \right|^{2} =\left|\mathcal{F}\left\{T(x,y)\right\}\right|^{2} \big|\mathcal{F }\left\{A_{\delta}\right\}\big|^{2}. $$ (4)Seperti yang diharapkan, faktor pertama dalam produk sesuai dengan intensitas hamburan satu lubang, sedangkan yang kedua mengungkapkan cara lubang ini didistribusikan dalam bukaan difraksi Σ . Besaran ini juga dikenal sebagai faktor bentuk F (p,q ) dan, masing-masing, faktor struktur S (p,q ). Inilah sebabnya, hasil yang diperoleh di seluruh kertas akan dinyatakan menggunakan bentuk intensitas hamburan berikut:
$$ I(p,q) \equiv F(p,s) S(p,s). $$ (5)Prosedur rinci untuk membangun fraktal Cantor tipis (reguler) sudah diketahui [33]. Hanya prosedur konstruksi utama yang dirangkum di sini. Pendekatan dari atas ke bawah diadopsi. Dimulai dengan persegi awal (atau bentuk Euclidean lainnya) dari tepi l 0 (di m =0), yang pusatnya berimpit dengan titik asal sistem koordinat Cartesian dan sisi-sisinya sejajar dengan sumbu sistem koordinat, setiap titik dalam bujur sangkar memenuhi kondisi l 0 /2≤x l 0 /2 dan l 0 /2≤y l 0 /2. Pada iterasi pertama (m =1), persegi tersebut dibagi menjadi empat persegi lainnya, dengan panjang rusuk \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}l_{0}\). Kami dilambangkan dengan \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)} \equiv (1-\gamma _{1})/2\), dengan \(0 <\beta _{\mathrm { s}}^{(1)} <1/2\), faktor penskalaan iterasi pertama, dan dengan γ 1 fraksi dari panjang yang dihilangkan pada titik ini, seperti dapat dilihat pada Gambar 1 a, b) untuk m =1. Angka yang ditempatkan di antara (⋯), muncul sebagai indeks atas, mengkuantifikasi nomor iterasi. Itu tidak boleh ditafsirkan sebagai eksponen dari fungsi daya. Dalam hal faktor skala, posisi keempat kuadrat diberikan oleh vektor \(\boldsymbol {a}_{j}~=~\left \{ \pm \beta _{\mathrm {t}}^{ (1)}l_{0}, \pm \beta _{\mathrm {t}}^{(1)}l_{0}\right \}\) dengan semua kemungkinan kombinasi tanda, di mana \(\beta _{ \mathrm {t}}^{(1)}~=~\left (1-\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\right)/2\) digunakan untuk lebih menyederhanakan formulasi. Persegi dipilih sebagai bentuk awal, karena kesederhanaan perhitungan numerik. Bentuk geometris lainnya, misalnya lingkaran, dapat dipertimbangkan. Efek memilih bentuk lain hanya diamati di wilayah Porod dari faktor bentuk, yang berada di luar cakupan makalah ini.
(Warna online) Perbandingan antara fraktal reguler dan fraktal lemak untuk dua iterasi pertama, di mana bentuk dasarnya di m =0 adalah piringan berdiameter l 0 dan ukuran fraktalnya adalah l di :a l 0 =l di; b l 0 =l di /f , dengan f =2. Dalam kedua kasus, di m =1 struktur bertepatan karena faktor skala yang sama \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\). Dimulai dengan m =2, fraktal lemak memiliki faktor skala yang lebih besar \(\left (\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}> \beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\ kanan)\), dan dengan demikian, disk memiliki diameter yang lebih besar (cakram hitam ) daripada dalam kasus fraktal biasa (disk merah ); a j adalah vektor posisi dan γ i adalah pecahan dari panjang yang dihilangkan di i iterasi
Dua langkah pertama yang dijelaskan di atas juga diterapkan dalam konstruksi versi klasik fraktal gemuk, untuk iterasi m =0 dan m =1. Oleh karena itu, hingga saat ini kedua struktur tersebut berhimpitan. Untuk mendapatkan fraktal lemak, modifikasi algoritma digunakan pada iterasi m =1 harus dilakukan, dengan memilih faktor penskalaan lain di m =2, \(\beta _{\mathrm {s}}^{(2)} \equiv (1 - \gamma _{2})/2\). Menerapkan seluruh algoritma dalam batas jumlah iterasi yang tinggi [34, 35], seseorang memperoleh kembali versi klasik dari fraktal gemuk. Jelas dari konstruksi bahwa versi reguler fraktal diperoleh kembali ketika faktor penskalaan, pada setiap iterasi, dipilih sama \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}~=~ \beta _{\mathrm {s}}^{(2)}~=~\cdots =\beta _{\mathrm {s}}^{(m)}\).
Untuk mendapatkan dataran konstan antara dua peluruhan hukum daya dalam perilaku intensitas SAS, kita harus memperhitungkan bahwa jarak antara unit hamburan jauh lebih besar daripada ukuran keseluruhannya. Pendekatan seperti itu pertama kali digunakan dalam konteks model fraktal permukaan [36, 37]. Mempertimbangkan rasio f dari jarak keseluruhan antara unit hamburan l di dan ukuran keseluruhannya l 0 , seseorang memiliki:
$$ f~\equiv~ l_{\text{in}}/l_{0}. $$ (6)Untuk eksperimen hamburan yang menampilkan dataran tinggi dengan intensitas konstan antara dua wilayah fraktal, nilai f 1 harus dipilih. Dalam kasus fraktal permukaan, peningkatan nilai f mengarah ke kesepakatan yang lebih baik antara intensitas SAS total, di satu sisi, dan perkiraan unit hamburan independen, di sisi lain [36, 37].
Dengan menggunakan pertimbangan di atas, seseorang dapat menggambarkan perbedaan antara fraktal biasa dan fraktal lemak. Pengaruh faktor f , yang diperkenalkan di atas, juga dapat divisualisasikan. Inilah sebabnya, pada Gambar 1, kami secara grafis mencontohkan perbandingan menggunakan disk dengan radius r 0 l 0 /2=l di /(2f ) sebagai bentuk dasar kita. Hasil dari dua iterasi pertama, ditampilkan di setiap baris Gambar 1, mewakili struktur yang diperoleh untuk fraktal biasa (ditandai dengan cakram merah) dan fraktal gemuk (diwakili sebagai cakram hitam), yang juga dapat dilapis total ( ditandai sebagai disk oranye). Pada baris berlabel Gambar 1 a, faktor f dianggap sama dengan satuan sehingga diperoleh konstruksi klasik dan bentuk fraktal. Baris kedua dari gambar, dilambangkan dengan Gambar 1 b, menunjukkan pengaruh faktor yang disajikan di atas. Dalam perhitungan ini, kami memilih nilai arbitrer dari f =2. Seseorang mengamati bahwa pada iterasi m =0 dan m =1, baik dalam kasus a dan b, struktur yang diperoleh dari himpunan Cantor reguler dan gemuk adalah identik dan dilapis seluruhnya. Hal ini diharapkan karena faktor penskalaan umum. Namun, seperti yang dapat dilihat pada pasangan gambar terakhir dari Gambar 1, dimulai dengan m =2, jari-jari cakram fraktal lemak lebih besar karena faktor penskalaannya \(\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}\) lebih besar, menurut definisi, daripada faktor penskalaan biasa. Pada gambar terakhir dari Gambar 2 b, ukuran disk jauh lebih kecil daripada rekan dari Gambar 2 a karena nilai non-kesatuan dari faktor f .
(Warna online) Perbandingan antara intensitas hamburan yang diberikan oleh Persamaan. (22) (kurva hitam ) dan faktor struktur yang diberikan oleh Persamaan. (24) (kurva merah ) di m =6 dan dirata-ratakan atas orientasi menurut Persamaan. (25). Ini, h =3 (yaitu, faktor penskalaan dijaga konstan selama tiga iterasi berturut-turut), sedangkan bentuk dasar dalam menghitung intensitas hamburan adalah kuadrat ukuran tepi l 0 :a l 0 =l di; b l 0 =l di /f (dengan f =10). Kapan f 1, dataran tinggi dengan intensitas konstan muncul di antara dua peluruhan hukum daya umum (Gbr. 2 b). Garis horizontal menyatakan asimtot dari faktor struktur 1/N m , sedangkan posisi minimum diperkirakan menurut Persamaan. (26)
Untuk mendapatkan hukum-kekuatan itu sendiri, kita perlu lebih menggeneralisasi model fraktal lemak klasik. Hal ini dilakukan dengan mempertimbangkan bahwa perubahan faktor penskalaan tidak dilakukan dengan setiap iterasi tunggal, tetapi setiap detik, ketiga, , atau, secara umum, setiap h iterasi. Fraksi dari panjang yang dihilangkan pada m iterasinya adalah:
$$ \gamma_{m}~=~c^{p_{m}}, $$ (7)dengan 0<c <1. Fungsi p m didefinisikan sebagai:
$$ p_{m} \equiv \left\lfloor 1+\frac{m-1}{h} \right\rfloor, $$ (8)untuk setiap nilai bilangan bulat positif m , dengan h =1,⋯,m , di mana fungsi lantai digunakan. Jadi, faktor penskalaan yang sesuai dengan m iterasi diberikan oleh:
$$ \beta_{\mathrm{s}}^{(m)}~=~\frac{1-\gamma_{m}}{2}. $$ (9)Jelas sekarang bahwa tujuan dari fungsi p m adalah menjaga faktor penskalaan konstan untuk h iterasi (h <m ).
Komponen vektor posisi setiap persegi dapat ditulis sebagai:
$$ \beta_{\mathrm{t}}^{(m)} =\frac{\beta_{\mathrm{s}}^{(m)}}{2} + \frac{\gamma_{m}} {2}, $$ (10)sedangkan panjang rusuk setiap persegi diberikan oleh:
$$ l_{m}=\frac{l_{0}}{2^{m}}\prod_{i=1}^{m}(1-\gamma_{i}). $$ (11)Faktor f akan digunakan dalam rumus panjang l 0 untuk memperhitungkan bahwa untuk iterasi antara (h +1 dan m th, ukuran kotak berkurang sehubungan dengan jarak di antara mereka:
$$ l_{0} =\left\{\begin{array}{ll} l_{\text{in}}, &\mathrm{for~~iterasi~~} \leq h \\ l_{\text{in }}/f, &\mathrm{for~~iterasi~~}> h, \end{array}\right. $$ (12)dimana h m . Jumlah kotak pada setiap iterasi adalah:
$$ N_{m}~=~4^{m}. $$ (13)Jadi, pada setiap skala, dianggap sebagai iterasi dengan faktor penskalaan konstan, satu memiliki dimensi fraktal yang berbeda yang diberikan oleh [29, 38, 39]:
$$ D_{\mathrm{m}}~=~-\frac{2 \ln 2}{\ln \beta_{\mathrm{s}}^{(m)}}. $$ (14)Dalam batas sejumlah besar iterasi, dimensi fraktal dari himpunan fraktal yang dibangun adalah [34]:
$$ D \equiv \lim\limits_{m \rightarrow \infty}{\frac{\ln N_{m}}{\ln (l_{0}/l_{m})}} =2, $$ (15 )yang merupakan nilai yang diharapkan untuk fraktal lemak dua dimensi. Akhirnya, jika a i adalah area relatif yang dihapus di i iterasi, maka \(\prod _{i=1}^{m}(1-a_{i})> 0\) jika \(\sum _{i=1}^{\infty } a_{i} <\infty \), dan dengan demikian, model memenuhi definisi dan karakteristik fraktal lemak [35].
Menurut prinsip Babinet, kita dapat menyimpulkan bahwa pada m iterasi, lubang di kisi adalah kotak yang tersisa di fraktal, sedangkan bagian yang dihilangkan menjadi buram terhadap radiasi.
Untuk mendapatkan ekspresi analitik dari intensitas hamburan untuk fraktal Cantor lemak, kita mulai dengan menulis hubungan pengulangan dari transmisi kisi untuk iterasi sewenang-wenang yang sesuai dengan 1D kasus. Di m =0, kita memiliki
$$ T_{0}(l_{0}, x) \equiv \text{rect}(l_{0}, x) =\left\{\begin{array}{ll} 1, &|x|dimana δ (x a ) adalah distribusi Dirac-delta satu dimensi di x =a . Simbol mewakili operator konvolusi. Oleh karena itu, di m iterasi, kita dapat menulis:
$$ \begin{aligned} T_{m}(l_{m}, x) =T_{m-1}(l_{m}, x) \ast \delta\left(\frac{x-u_{m} }{l_{m}} \kanan) + \\ T_{m-1}(l_{m}, x, y) \ast \delta\left(\frac{x+u_{m}}{l_{m }} \kanan),~~~~~~~~~~~~ \end{aligned} $$ (18)di mana \(u_{m}~=~l_{0}\beta _{\mathrm {t}}^{(m)}\prod _{j=1}^{m-1}\beta _{\mathrm {s}}^{(j)}\). Melakukan transformasi Fourier pada Persamaan. (18), orang menemukan bahwa amplitudo yang tersebar di m iterasinya adalah:
$$ A_{m}(p)=2^{m}\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\prod\limits_{i=1}^{ m}\cos(2\pi p u_{i}). $$ (19)Sejak 2D model fraktal lemak adalah produk langsung dari dua fraktal lemak satu dimensi, transformasi Fouriernya dapat ditulis sebagai produk dari dua transformasi Fourier satu dimensi. Oleh karena itu, amplitudo hamburan dua dimensi dapat ditulis sebagai:
$$ A_{m}(p,s)\equiv A_{m}(p) A_{m}(s), $$ (20)dan dengan demikian,
$$ \begin{aligned} A_{m}(p, s) =N_{m}\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\frac{\sin (\pi s l_{m})}{\pi s l_{m}} \times \\ \prod\limits_{i=1}^{m}\cos(2\pi p u_{i})\cos (2\pi s u_{i}), \end{aligned} $$ (21)sehingga intensitas hamburan menjadi:
$$ \begin{aligned} I_{m}(p, s) =\left(\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\frac{\sin( \pi s l_{m})}{\pi s l_{m}} \kanan)^{2} \times \\ N_{m}^{2} \left(\prod\limits_{i=1}^ {m}\cos(2\pi p u_{i})\cos(2\pi s u_{i}) \kanan)^{2}. \end{selaras} $$ (22)Faktor pertama dalam persamaan sebelumnya, mewakili intensitas difraksi karena faktor bentuk, seperti yang dinyatakan dalam Persamaan. (5):
$$ F_{m}(p, s) =\left(\frac{\sin(\pi p l_{m})}{\pi p l_{m}}\frac{\sin(\pi s l_{ m})}{\pi s l_{m}} \kanan)^{2}, $$ (23)sesuai dengan intensitas hamburan yang diperoleh dari satu persegi tepi l m . Faktor kedua, mewakili intensitas difraksi akibat faktor struktur, seperti yang dinyatakan dalam Persamaan. (5):
$$ S_{m}(p, s) =N_{m}^{2}\left(\prod\limits_{i=1}^{m}\cos(2\pi p u_{i})\cos (2\pi s u_{i}) \kanan)^{2}, $$ (24)menggambarkan cara di mana kotak didistribusikan. Intensitas radiasi hamburan total adalah produk dari F m (p,s ) dan S m (p,s ).
Peluruhan hukum daya dari intensitas, seperti yang dirumuskan dalam Persamaan. (22), diperoleh setelah melakukan rata-rata atas semua orientasi [29]. Mempertimbangkan probabilitas yang sama untuk orientasi apa pun, rata-rata dapat dihitung dalam kasus fraktal dua dimensi dengan mengintegrasikan ke semua arah vektor hamburan q =(p,s ):
$$ \langle f(p, s) \rangle =\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi}f(q,\phi)\mathrm{d}\phi, $ $ (25)dimana p =q karenaϕ dan s =q dosaϕ . Jadi, intensitas hamburan I (q ) diperoleh sebagai fungsi dari modulus perpindahan momentum q |q |.
Karena, dari definisi faktor struktur, diperoleh \(S_{m}(0)~=~N_{m}^{2}\), di mana N m adalah jumlah kotak, seperti yang didefinisikan dalam Persamaan. (13), prosedur standar normalisasi S m (0) =1 dapat diadopsi, seperti yang dijelaskan dalam [11, 29].
Hasil yang dihitung untuk intensitas hamburan monodispersi I m (q ) dan faktor struktur S m (q ), dengan m =6, ditampilkan pada Gambar. 2 untuk fraktal lemak klasik (f =1 pada Gambar. 2 a) dan, untuk model fraktal lemak yang diperluas yang dikembangkan dalam karya ini (f =10 pada Gambar 2 b). Untuk mendapatkan Gambar. 2 b, kami mempertimbangkan h =3 sehingga faktor penskalaan \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\) dari tiga iterasi pertama dijaga konstan, kemudian memiliki nilai konstan lainnya \(\beta _{\ mathrm {s}}^{(2)}\) untuk tiga iterasi berikutnya. Seperti yang diharapkan, dalam kedua kasus (untuk f =1 dan f =10), perbedaan antara intensitas hamburan di satu sisi, dan faktor struktur di sisi lain, dapat diamati ketika \(q \gtrsim 1/l_{m}\). Di wilayah ini, intensitas hamburan memiliki peluruhan hukum-kekuatan I (q )∝q −3 . Faktor struktur memiliki nilai asimtotik yang cenderung 1/N m , diwakili oleh garis horizontal pada Gambar 2 a atau garis horizontal bawah pada Gambar 2 b [29, 33].
Sebuah suksesi dari dua peluruhan hukum daya umum, yang dapat diidentifikasi sebagai superposisi dari maxima dan minima, di atas peluruhan hukum daya yang sederhana, dapat dilihat pada Gambar. 2 a. Tetapi pada Gambar 2 b, daerah dengan intensitas yang mendekati konstan, dalam domain 20≲ql 0 100, dapat dibedakan dengan jelas, dicakup oleh dua peluruhan hukum daya umum yang berurutan. Hal ini disebabkan oleh penurunan ukuran kotak sebesar satu urutan besarnya (f =10) dibandingkan dengan jarak antara mereka. Wilayah ini, dapat diamati di sekitar garis horizontal atas pada Gambar. 2 b memiliki asimtot 1/N 3 , sama dengan salah satu faktor struktur fraktal lemak klasik, menampilkan perilaku yang mirip dengan kasus yang hanya mempertimbangkan tiga iterasi pertama.
Selain itu, dapat dilihat pada Gambar 2 bahwa jumlah minimum pada setiap skala bertepatan dengan jumlah iterasi faktor penskalaan konstan. Minimum ini terjadi ketika radiasi melewati kotak yang berbeda di dalam fraktal mengganggu dan berada dalam fase oposisi, dan dengan demikian, jarak yang paling sering ditemui antara pusat kotak (2u m ) sama dengan π /q . Inilah sebabnya, perkiraan posisi minimum diperoleh dari relasi:
$$ q_{i} \simeq \frac{\pi}{2 u_{i}},~~~~i=1, \cdots, m $$ (26)ditunjukkan pada Gambar. 2 dengan garis vertikal. Untuk enam iterasi pertama, seseorang mengamati kesepakatan yang cukup baik antara posisi yang dihitung menggunakan Persamaan. (26), dan yang ditemukan dalam intensitas hamburan, atau faktor struktur. Perkiraan ini bisa jadi kurang akurat untuk iterasi yang lebih tinggi, setelah jumlah iterasi meningkat di atas nilai tertentu karena dalam kasus ini, semakin banyak jarak yang sebanding dengan yang paling sering ditemui. Namun demikian, pendekatan ini akan bekerja dengan cukup baik dalam praktiknya, di mana orang hampir tidak dapat berharap untuk membedakan lebih dari empat atau lima minimum seperti itu.
Untuk setiap skala individu, dalam rentang tertentu 1/(2u i )≲q 1/(2u i +1 ), pola difraksi dihasilkan oleh interferensi hanya i iterasi fraktal. Ini dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa, dalam interval ini, fungsi I m (q )q D dan S m (q )q D adalah log-periodik [29], di mana D adalah dimensi fraktal yang sesuai dengan skala tertentu. Secara khusus, untuk hasil yang ditunjukkan pada Gambar. 2 dan 3, fungsi I m (q )q −1.1 dan S m (q )q −1.1 adalah log-periodik dengan periode \(1/\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\) untuk tiga iterasi pertama, sedangkan I m (q )q −1.51 dan S m (q )q −1.51 adalah log-periodik dengan \(1/\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}\) untuk grup kedua dari tiga iterasi.
(Warna online) Perbandingan antara sistem monodispersi dan polidispersi:a intensitas hamburan (Persamaan (22)); b faktor struktur (Persamaan (24)), rata-rata atas semua orientasi fraktal, menurut Persamaan. (25). Di sini, f =1, m =6, h =3 (yaitu, faktor penskalaan dijaga konstan selama tiga iterasi berturut-turut), dan bentuk dasarnya adalah kuadrat dengan panjang tepi awal l 0 =l di . Untuk kedua kasus, polidispersitas menghilangkan kurva hamburan monodispersi, dan dimensi fraktal dapat diperoleh kembali pada setiap tingkat struktural
Dengan cara yang mirip dengan fraktal massa deterministik, Persamaan. (26) dapat digunakan untuk mendapatkan beberapa parameter struktural yang mencirikan fraktal lemak. Pertama, jumlah total minimum bertepatan dengan jumlah total iterasi fraktal. Gambar 2 menunjukkan bahwa fraktal terdiri dari tiga iterasi dengan faktor penskalaan \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\) dan tiga iterasi dengan faktor penskalaan \(\beta _{\mathrm {s} }^{(2)}\). Kedua, dari periodisitas minima ini (atau dari periodisitas I m (q )q D dan S m (q )q D ), faktor penskalaan dapat dipulihkan. Pada Gambar 2 b, faktor skala \(\beta _{\mathrm {s}}^{(1)}\) dapat diperoleh dari periodisitas minimum di ql 0 7,25, dan 90, sedangkan faktor skala \(\beta _{\mathrm {s}}^{(2)}\) dapat diperoleh dari periodisitas minima di ql 0 400.1000 dan 2500. Selain itu, panjang dataran menengah antara daerah fraktal dapat digunakan sebagai indikasi rasio (f ) jarak antara unit hamburan, dan ukuran keseluruhannya. Pada Gambar. 2 b, kisaran ini sesuai dengan 13≲ql 0 130.
Di bagian pekerjaan kita ini, sekarang kita dapat mempertimbangkan bahwa ukuran kisi mematuhi fungsi distribusi D N (l 0 ), didefinisikan sedemikian rupa sehingga D N (l 0 )dl 0 memberikan probabilitas ukuran kisi fraktal berada dalam interval (l 0 ,l 0 +dl 0 ). Langkah ini memperkenalkan polidispersitas dalam model fraktal lemak kami. Kami mencontohkan ini dengan memilih distribusi log-normal:
$$ D_{\mathrm{N}}(l_{0}) =\frac{1}{\sigma l_{0} (2\pi)^{1/2}}e^{-\frac{\left (\log(l_{0}/\mu)+\sigma^{2}/2\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}, $$ (27)dengan varians relatif \(\sigma _{\mathrm {r}} =\left (\left \langle l_{0}^{2} \right \rangle _{D} - \mu ^{2}\right)^ {1/2}/\mu \), mean value μ =〈l 0 〉 D , and variance \(\sigma =\left (\log \left (1+\sigma _{\mathrm {r}}^{2}\right)\right)^{1/2}\). Using Eqs. (21) and (27) one obtains the polydisperse intensity averaged over the distribution function:
di mana 
is the corresponding area at m th iteration. The structure factor is calculated in a similar manner, but without the term 
[29].
The computed results in the case of polydisperse (red curves) and monodisperse (black curves) scattering intensities (labeled by a) and structure factors (labeled by b) can be seen in Figs. 3 and 4. The difference between them is given by the value of the f factor. In Fig. 3, the classical construction of a fat fractal was used so that f =1, while taking into account the smaller sizes of the basic units leads to the choice of f =10 in Fig. 4. Polydispersity is calculated for a relative variance of σ r =0.4. It can be seen that the oscillations are smeared out, the overall amplitude decreases, so that the scattering curves become smoother [29, 40]. However, for this particular value of σ r , the positions of main minima and maxima are still observable.
(Color online) A comparison between monodisperse and polydisperse systems:a scattering intensity (Eq. (22)); b structure factor (Eq. (24)), averaged over all orientations of the fractal, according to Eq. (25). Here, f =10 (and thus, a region of constant intensity appears at about 20≲ql 0 ≲100), m =6, h =3 (i.e., the scaling factor is kept constant for three consecutive iterations), and the basic shape is a square of initial edge length l 0 =l in . For both cases, the polydispersity smears out monodisperse scattering curves, and the fractal dimensions can be recovered at each structural level
More generally, for small values of σ r (i.e., small enough that the oscillations are observable), the estimation given by Eq. (26) can be still used. Hence, the number of fractal iterations, the scaling factor at each structural level, the ratio of the distances between scattering units, and their overall size can be recovered. When σ r is increased to high enough values so that oscillations are completely smeared out, the scattering curves become simple power-law decays. Since we used a narrow bell-shaped distribution, the scattering exponent is preserved. Moreover, it gives, for each power-law decay, the fractal dimension of that particular structural level. This is in good agreement with the theoretical estimation of Eq. (14). This is also in accordance with experimental setups, where almost every scattering curve has a certain degree of polydispersity. Thus, our developed fat fractal model, with an interleaved region of constant intensity, recovers the fractal dimension at each structural level from polydisperse experimental data.
In this article, we suggest a theoretical model that generalizes the standard one for nanoscale fat fractals. It is characterized by the fact that the initial edge size of the elementary unit shape is taken to be much smaller than that of the overall size of the fractal, and thus, much smaller than the distances between the elementary units inside the fractal. Figure 1 b illustrates the basic model, when a quotient of 1/2 is considered in-between these quantities, respectively.
Based on this model, an analytical formula is calculated and presented, in Eq. (22) for the scattering intensity and in Eq. (24) for the structure factor. Averaging over all possible orientations is done according to Eq. (25). These averaged quantities are characterized, on a double logarithmic scale, by the presence of two structural levels, and thus by two power-law decays interleaved by a region of constant intensity, represented by a plateau, as seen in Figs. 2 b and 4. This plateau coincides with the asymptotic region of the structure factor of the fat fractal, as if we would have considered only the contribution from the first structural level, when the scaling factor was kept constant. The asymptotic values of the plateaus can be used to obtain the number of scattering units for each structural level. The length of the plateau is controlled by the value of f . The power-law decays encompassing the plateau are obtained by keeping constant the scaling factors for a finite number of iterations, in our case, as an example, for three out of a total of six. The slope of the second power-law decay is higher because the values of scaling factors, by definition, increase at each structural level, and this is confirmed by our numerical computations, as can be seen in Figs. 2, 3, and 4.
We also described the polydisperse case of the fat fractal model. Here, the sizes of the composing units obey, as an example, a log-normal distribution function. We obtained smoothed curves for the scattering intensities and structure factors. The monodisperse scattering curves as well as the polydisperse ones, with small enough values of the relative variance, allow to obtain the scaling factors at each structural level, while the scattering exponents in the polydisperse curve give the fractal dimensions at each structural level. The chosen value of 0.4 for the relative variance is meant to illustrate the case in which one can still observe some minima in the scattering characteristics, and the curves still retain a shape close to power-law decays.
The results obtained in the framework of the suggested model can be used to reveal structural properties of fractal materials characterized by a regular law of changing of the fractal dimensions. The proposed model is also a very versatile one because it can be extended to include other features such as different shapes of the elementary unit, more than two structural levels, or it can be adapted to work in other Euclidean dimensions. These results are useful for a detailed description of experimental diffraction data in the context of small-angle scattering obtained from various complex nano- and micro- scaled hierarchical structures.
Mass and, respectively, surface fractal dimensions are probably the most important quantities that characterize a fractal. Actually, we will deal only with deterministic mass fractals, and we shall refer to mass fractal dimension, simply as the fractal dimension (D m ).
In general terms, the mass-radius relation can be rewritten as [2]:
$$ M(r) =A(r) r^{D_{\mathrm{m}}}, $$ (29)where the scaling law correction A (r ) tends to a constant value if r →∞ .
If it is known a priori that the structure is a fractal in the high number limit, the fractal dimension can be found straight from the first iteration. To illustrate this procedure, let us consider a fractal of size l 0 , composed of k elementary units at the first iteration, each of size β s l 0 , where β s is a scaling factor. Since the mass-radius relation, given by Eq. (29), is equivalent with the scale-invariance relation [2]:
$$ M(\beta_{\mathrm{s}}l_{0}) =\beta_{\mathrm{s}}^{D_{\mathrm{m}}}M(l_{0}), $$ (30)one can write M (l 0 )=kM (β s l 0 ). Menggunakan Persamaan. (29), one obtains a direct method to compute the fractal dimension, via:
$$ k \beta_{\mathrm{s}}^{D_{\mathrm{m}}} =1. $$ (31)Let us consider a two-dimensional diffracting aperture Σ , laid in the (x,y ) plane, illuminated in the positive z direction. In an observation plane (u,v ), parallel to Σ , the complex-valued amplitude of the obtained diffraction image, computed using the framework of scalar theory of diffraction, according to the Huygens-Fresnel principle, can be written as [41]:
$$ A(u,v) =\frac{z}{i\lambda} \iint\limits_{\Sigma} A(x,y)\frac{e^{ikr}}{r^{2}} \mathrm{d} x\,\mathrm{d} y. $$ (32)In the previous formula, \(r =\sqrt {z^{2}+(u-x)^{2}+(v-y)^{2}}\) is the distance between two arbitrarily points taken, respectively, from the plane containing Σ and from the observation plane. For the Fraunhofer diffraction model to be applicable, this distance must satisfy the condition of being much bigger than the wavelength λ .
Performing a binomial expansion of the square root in Eq. (32) and retaining only the first two terms, one obtains [41]:
$$ r \approx z\left(1 + \frac{(u-x)^{2}}{2z^{2}} + \frac{(v-y)^{2}}{2z^{2}}\right). $$ (33)This approximation leads to the Fresnel diffraction integral:
$$ \frac{A(u,v)}{P(u,v)} =\iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} \left\{A(x,y) e^{i\frac{k}{2z}(x^{2} + y^{2})}\right\} e^{-i \frac{2\pi}{\lambda z}(ux + vy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y, $$ (34)where the prefactor P (u,v ) is given by
$$ P(u,v) =\frac{e^{ikz}e^{i\frac{k}{2z}(u^{2}+v^{2})}}{i\lambda z}, $$ (35)dan k =2π /λ . Considering, in addition, that the condition z ≫k Max(x 2 +y 2 )/2 is satisfied, one has \(\text {Exp}{\left (\frac {k}{2z}(x^{2}+y^{2})\right)} \simeq 1\). Rewriting Eq. (34), the Fraunhofer approximation becomes:
$$ A(u,v) =P(u,v)\iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} A(x,y) e^{-i \frac{2\pi}{\lambda z}(ux + vy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (36)Denoting the spatial frequencies with p =u /(λ z ) and s =v /(λ z ) and ignoring the multiplicative phase factor P (u,v ) preceding the integral in Eq. (36), the amplitude becomes simply the Fourier transform of the distribution of the Σ aperture. Considering that the illumination is made using a monochromatic, unit-amplitude plane-wave, at normal incidence, and that the field distribution across the aperture is equal to its transmission function T (x,y ), one obtains the frequency distribution of the diffraction amplitude in the phase space:
$$ A(p,s) =\iint\limits_{-\infty}^{~~~+\infty} T(x,y) e^{-2 i \pi (px + sy)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y. $$ (37)bahan nano
Komponen dan persediaan Arduino UNO × 1 LED 5 mm:Merah × 2 Tentang proyek ini Video ini terinspirasi dari pertanyaan yang saya tabur secara online. tentang cara mengedipkan 2 LED dengan kecepatan berbeda. Jika kita ingin mengedipkan sebuah led setiap 1000 milis dan
Saat pabrikan beralih ke komponen aluminium untuk memenuhi permintaan pelanggan, banyak trik pengelasan lama yang bekerja dengan baja langsung keluar dari jendela. Menjadi sukses dengan aluminium berarti menggunakan teknik baru yang menjaga kualitas dan mengontrol biaya material. Jadi saya bekerja
Boneka angin dari kayu muncul di Jepang sejak abad ke-17. Ketertarikan Jepang pada robot terus berlanjut sejak saat itu. Mesin yang memakai kimono dan menyajikan teh sangat terkenal, karena dianggap sebagai salah satu robot pertama di dunia. Itu membawa semangkuk teh di atas nampan ke tamu, menunggu
Ketika seseorang memutuskan untuk membeli robot untuk pabriknya, prosesnya dapat dimulai dengan cepat, tetapi biasanya membutuhkan sedikit waktu untuk mengotorisasi dan menjadi kenyataan di tokonya. Membeli robot bukanlah proses yang rumit, tetapi karena ini bisa menjadi proses yang mahal, butuh wak
