Fasa geometri merupakan evolusi fasa ekstra dalam fungsi gelombang getaran yang berpotensi diterapkan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi. Karakteristik fase geometris dalam keadaan terjepit untuk resonator kawat nano berbasis karbon-nanotube telah diselidiki melalui metode operator invarian. Pengenalan operator invarian linier, yang berguna untuk menangani sistem Hamiltonian bergantung waktu yang rumit, memungkinkan kami untuk memperoleh rumus analitik fase geometrik. Dengan memanfaatkan ini, kami telah menganalisis perilaku waktu dari fase geometris berdasarkan ilustrasi yang relevan. Pengaruh parameter pemerasan pada evolusi fase geometris telah diselidiki. Fase geometris, dalam jumlah besar, berosilasi, dan selubung osilasi tersebut meningkat seiring waktu. Laju kenaikan fase geometrik besar ketika parameter, seperti amplitudo klasik osilasi, faktor redaman, dan amplitudo gaya penggerak, besar. Kami telah mengkonfirmasi peningkatan yang sangat tajam dari fase geometris dari waktu ke waktu dalam kasus frekuensi sudut sistem mencapai dekat frekuensi sudut resonansi. Pengembangan kami mengenai karakteristik fase geometris sangat penting untuk memahami fitur topologi dalam osilasi kawat nano.
Getaran mekanis dari resonator terkecil, seperti kawat nano berbasis karbon-nanotube (berbasis CNT) [1–3], kawat nano semikonduktor [4], graphenes [5], dan partikel levitasi [6], telah menjadi subjek penelitian utama. dalam komunitas nanosains selama lebih dari satu dekade. Penelitian aktif mengenai osilasi elektromekanis dari resonator kawat nano yang digerakkan oleh gaya periodik eksternal telah dilakukan di bidang teoretis dan eksperimental. Secara khusus, resonator kawat nano berbasis CNT telah menarik minat yang cukup besar sebagai perangkat mekanis skala nano karena sensitivitasnya yang luar biasa dengan faktor berkualitas tinggi terhadap gangguan kecil dari lingkungan. Resonator kawat nano berbasis CNT yang ditangguhkan adalah kandidat yang menjanjikan untuk peralatan yang mengukur berbagai besaran fisik, seperti gelombang EM [2], gaya kecil [7], massa [8], suhu [9], dan kebisingan [10].
Analisis evolusi fase kuantal dalam osilasi kawat nano diperlukan untuk menjelaskan fitur yang mendasari sistem secara teoritis. Mengenai keadaan vibrasi kuantum dari resonator kawat nano berbasis CNT [11], fase geometris [12] serta fase dinamis biasa muncul sebagai evolusi tambahan dari fase. Fase geometris [12] adalah anholonomik dari keadaan kuantum yang dapat diterapkan di berbagai bidang fisika. Analisis fase geometris berpotensi diadopsi dalam mengkarakterisasi sifat nano kawat nano, seperti profil resonansi [13, 14], getaran kuantum kuat [15, 16], mekanisme relaksasi regangan [17, 18], munculnya magnetoplasmon Dirac [19], dan topologi osilasi Aharonov-Bohm [20].
Studi fase geometris yang terkait dengan dinamika nonadiabatik dapat memberikan wawasan untuk sistem nanomekanik, yang diperlukan untuk kemajuan teknik simulasi yang akurat [21]. Persiapan, manipulasi, dan deteksi keadaan kuantum adalah faktor penting dalam teknologi kuantum. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menjelaskan perilaku waktu dari fase geometris yang terjadi dalam keadaan kuantum osilasi kawat nano. Untuk memahami mekanisme getaran kawat nano berbasis CNT, kami akan menyelidiki evolusi waktu dari fase geometris dalam keadaan terjepit yang merupakan keadaan kuantum seperti klasik seperti keadaan koheren. Kelebihan keadaan terjepit adalah bahwa ketidakpastian kuadratur dalam keadaan tersebut dapat dikurangi secara substansial dengan mengorbankan peningkatan ketidakpastian kuadratur lainnya, sementara modulasi ketidakpastian seperti itu tidak mungkin dalam keadaan koheren. Secara khusus, kami akan menganalisis efek resonansi pada fase geometris. Karena energi resonansi secara signifikan berbeda dari energi keadaan non-resonansi [22, 23], perilaku topologi dari fungsi gelombang adalah nontrivial dan mungkin jauh menyimpang dari satu dalam situasi normal. Pengaruh perubahan parameter fisik dan parameter pemerasan pada evolusi fase geometris juga akan dianalisis secara ketat. Fase geometri ada di mana-mana dalam sistem dinamis [24] dan dapat diterapkan ke berbagai teknologi modern, seperti komputasi kuantum [25], interferometri intensitas [26], multitasking fotonik [27], protokol penginderaan kuantum [28], dan gelombang -pengukuran stabilitas [29].
Hamiltonian sistem melibatkan fungsi waktu yang terkait dengan redaman sistem dan gaya penggerak eksternal. Oleh karena itu, sistem ini adalah jenis sistem Hamiltonian bergantung waktu (TDHSs) yang masalah mekanika kuantumnya dipelajari secara ekstensif hingga saat ini. Fungsi waktu dalam Hamiltonian dari TDHS tidak dapat dipisahkan dari fungsi variabel kanonik dalam banyak kasus, sehingga metode pemisahan variabel konvensional untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger tidak tersedia. Metode alternatif yang kuat dikembangkan untuk mengatasi kesulitan ini adalah metode operator invarian yang telah diperkenalkan oleh Lewis dan Riesenfeld [30, 31]. Metode ini adalah alat matematika yang sangat berguna ketika kita menurunkan solusi kuantum dari TDHS. Banyak masalah mekanika kuantum yang dijelaskan oleh TDHS diselidiki berdasarkan metode ini. Misalnya, mereka termasuk hamburan partikel kacau [32], propagasi cahaya dalam media yang bervariasi waktu [33], kontrol elektron yang didorong terperangkap [34], dan nonklasik dari sirkuit nanoelektronik kuantum [35]. Ada berbagai metode lain untuk perawatan mekanika kuantum TDHS, yang meliputi metode transformasi kesatuan [36], metode aljabar Lie [37], dan metode estimasi Hamiltonian [38].
Sehubungan dengan bahwa sistem tersebut adalah TDHS, kami menggunakan metode operator invarian untuk mendapatkan solusi kuantum dari sistem tersebut. Sebuah operator invarian linier yang diwakili dalam hal operator pemusnahan akan diperkenalkan. Sementara operator pemusnahan dan penciptaan direpresentasikan dalam bentuk waktu karena ketergantungan waktu dari sistem, baik keadaan koheren dan terjepit dapat diperoleh dengan menggunakan operator tangga ini. Fasa geometris sistem akan dievaluasi secara analitik dengan memanfaatkan fungsi gelombang dalam keadaan terjepit. Evolusi waktu fase geometri akan dianalisis secara rinci berdasarkan ilustrasi yang digambarkan dengan beragam pilihan parameter.
Untuk menyelidiki fase geometris, pertama-tama kita perlu mengatur persamaan klasik gerak ujung kawat nano. Karena fase geometris muncul dalam evolusi gelombang kuantum TDHS, maka perlu untuk menurunkan fungsi gelombang dalam keadaan kuantum tertentu yang kami kelola. Kami akan mempertimbangkan keadaan terjepit seperti yang disebutkan di bagian pengantar. Fungsi gelombang dalam berbagai keadaan kuantum TDHS, termasuk keadaan terjepit, dapat diperoleh dari metode operator invarian.
Persamaan gerak untuk amplitudo bergantung waktu x untuk mode lentur tabung nano karbon tersuspensi dengan massa efektif m diberikan oleh [1]
$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{ 2}+\beta x^{2}\kanan) x =f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)dimana ω 0 adalah frekuensi sudut resonansi, Q faktor kualitas, f d kekuatan pendorong elektrostatik dibagi dengan m , η koefisien redaman nonlinier, dan β parameter Duffing. Mari kita asumsikan untuk kenyamanan bahwa perpindahan ujung cukup kecil relatif terhadap panjang kawat CNT. Kemudian, kita dapat mengabaikan istilah nonlinier dalam Persamaan. (1), mengarah ke [2]
$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x =f_{\mathrm{d}}\cos (\omega T). $$ (2)Hamiltonian dari sistem yang menghasilkan Persamaan. (2) diberikan oleh
$$ \hat{H}=e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}saya^{\gamma t} \left [\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)dimana γ =ω 0 /T . Solusi klasik dari Persamaan. (2) terdiri dari fungsi pelengkap X c (t ) dan solusi tertentu X p (t ), yang diberikan oleh
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} &&X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi) , \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} &&X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \ delta), \end{array} $$ (5)dimana X c ,0 adalah konstanta, \(\Omega =\sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}\), φ adalah fase arbitrer, dan
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^ {2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array} {@{}rcl@{}} \delta &=&\tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{array} $$ (7)Solusi klasik dalam ruang momentum diberikan dengan cara yang sama, di mana fungsi komplementernya adalah \(P_{c} (t) =me^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)\) dan solusi khususnya adalah \(P_{p} (t) =me^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)\). Untuk menyelidiki fase geometris sistem, pertama-tama kita perlu menurunkan solusi kuantum. Perhatikan bahwa Hamiltonian dari sistem yang diberikan dalam Persamaan. (3) secara eksplisit bergantung pada waktu. Untuk memperoleh solusi kuantum dari sistem, kami menggunakan metode operator invarian [30, 31], yang merupakan metode yang berguna ketika kami memperlakukan sistem yang berubah-waktu seperti itu. Operator invarian \(\hat {I}\) dari sistem dapat diturunkan dari persamaan Liouville-von Neumann, yang diberikan oleh \({d \hat {I}}/{dt} ={\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) =0\). Oleh karena itu, dari evaluasi yang ketat setelah memasukkan Persamaan. (3) ke dalam persamaan ini, kita memiliki operator invarian linier [34] dalam bentuk
$$ \hat{I} =\hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)di mana \(\hat {A}\) adalah operator pemusnahan yang diberikan oleh
$$ \begin{aligned} \hat{A} =&\left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{ 2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ &\left.+ie^{-\gamma t /2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \kanan)}}\kanan]. \end{selaras} $$ (9)Adjoint hermitian dari Persamaan. (9), \(\hat {A}^{\dagger }\), adalah operator pembuatan.
Kita dapat menyatakan persamaan nilai eigen dari \(\hat {A}\) sebagai
$$ \hat{A} |A \rangle =A |A \rangle. $$ (10)Dengan mengevaluasi persamaan di atas, kami memiliki ekspresi nilai eigen sedemikian rupa sehingga
$$ A(t) =A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)dimana A (0)=A 0 e −i φ dengan
$$ A_{0} =\left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)Sedangkan keadaan koheren |A adalah keadaan eigen dari \(\hat {A}\), keadaan terjepit adalah keadaan eigen dari operator \(\hat {B}\) yang diberikan oleh
$$ \hat{B} =\mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)dimana μ dan ν adalah variabel kompleks yang menghasilkan persamaan
$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)Jika kita tulis persamaan nilai eigen dari \(\hat {B}\) dalam bentuk
$$ \hat{B} |B \rangle =B |B \rangle, $$ (15)|B adalah keadaan terjepit. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam ruang konfigurasi, kita mendapatkan
$$ {\begin{aligned} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\ pi(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left [\frac{1}{2} saya^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right. \\ &\left. +\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{ p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\kanan)^{1/2} \\ &\left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} saya^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \Baik\}. \end{selaras}} $$ (16)Dengan demikian, fungsi gelombang dalam keadaan terjepit telah diturunkan seperti yang diberikan dalam Persamaan. (16). Fitur kuantum dari sistem dapat diklarifikasi berdasarkan deskripsi analitis seperti fungsi gelombang. Untuk μ =1 dan ν =0, Persamaan. (16) direduksi menjadi fungsi gelombang dalam keadaan koheren, yang merupakan keadaan eigen dari Persamaan. (10) di ruang konfigurasi. Fungsi gelombang, Persamaan. (16), akan digunakan di bagian berikutnya untuk menurunkan fase geometris dalam keadaan terjepit.
Telah diketahui dengan baik bahwa fase dalam evolusi gelombang kuantum melibatkan fase geometris dan juga fase dinamis. Fase geometris pertama kali ditemukan oleh Berry pada tahun 1984 [12] untuk sistem yang berevolusi secara siklis dengan perubahan adiabatik. Menurut teorema adiabatik dalam mekanika kuantum, keadaan eigen sesaat dari keadaan kuantum dalam evolusi siklik di ruang parameter akan tetap pada keadaan yang sama nantinya, sementara ada akumulasi tambahan dari fase kuantum yang merupakan fase Berry. Generalisasi fase Berry dengan cara yang mencakup evolusi nonadiabatik, nonsiklik, dan/atau non-kesatuan dari sistem kuantum adalah fase geometris.
Fase geometris dalam keadaan terjepit diberikan oleh
$$ \gamma_{G}(t) =\int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)Diferensiasi fungsi gelombang terhadap waktu dalam ruang konfigurasi menjadi
$$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}( t)\kanan]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\kanan]\,+\,f_{3}( t) \benar\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)dimana
$$ f_{1}(t) =- \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \ frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{aligned} f_{2}(t) &=\frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -waktu^{\gamma t} \right.\\ &\quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\ omega t)\kanan](\mu-\nu) +\kiri(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\kanan)^{1/2} \\ &\quad \left.\times\ kiri(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \ kanan) \right], \\ \end{aligned}} $$ (20) $$ {\begin{aligned} f_{3}(t) &\!=\frac{\gamma}{4}-\frac {1}{\hbar me^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^ {\gamma t}\right)^{1/2} \right.\\ &\quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left( 2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\ mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\kanan)}. \end{selaras}} $$ (21)Evaluasi lebih lanjut setelah memasukkan Persamaan. (18) ke dalam Persamaan. (17) memberikan
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) =&\int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{ 2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\ kiri(\Omega t'+\varphi\kanan)\kanan] \kanan) \kanan.\\ &\kiri.-A_{0}\kiri[ g_{3}(t') \sin\kiri(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac {\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (22)dimana
$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &=\frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\ mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &=\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2 }- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*} \right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &=\left(\frac{2\Omega}{m \hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{aligned} g_{4}( t) =\frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{me^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2 \sqrt{saya^{\gamma t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\ kanan), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &=\frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar me ^{\gamma t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\ nu^{*}\right) +1\right] \\ &\quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{* }\kanan)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\kanan)-|\nu|^{2}\lef t(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ &\quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\ nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{selaras}} $$ (27)Istilah terakhir di g 5 yang berisi (μ μ ∗ )(ν ν ∗ ) tidak memadai sebagai fase karena ini adalah bilangan imajiner murni. Oleh karena itu, sekarang kami menghapus istilah ini dengan memilih setidaknya satu dari μ dan ν sebagai nilai nyata. Obat ini selalu dapat dilakukan tanpa kehilangan keumuman, karena hanya fase relatif antara μ dan ν memiliki makna fisik daripada fase absolutnya.
Dari eksekusi integrasi dalam Persamaan. (22), kami memiliki
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) &=A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega \right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos (\Omega t+2\varphi) \right.\\ &\quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}} \right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_ {3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{ 4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (28)di mana \(\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)\) diberikan oleh
$$ \bar{g}_{i}(t) =G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)dengan
$$ {\begin{aligned} G_{3}(\tau) &=e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\ gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ &\quad\left.+\ gamma \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \ { 2(\Omega-\omega) \\ &\quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\ !+\gamma \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\ omega)^{2}+\gamma^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &=e^{\gamma \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin( \omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta )+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ &\left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{aligned }} $$ ( 31) $$ {\begin{aligned} G_{5}(\tau) &=\frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e ^{\gamma \tau}}{\gamma \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ &\quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega \tau -\delta )] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega }\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ &\quad+\frac{i \gamma \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu ^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ &\quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{selaras}} $$ (32)Jadi, kami telah mengevaluasi fase geometris penuh dalam keadaan terjepit, yang diberikan oleh Persamaan. (28) dengan Persamaan. (23), (24), dan (29)–(32).
Evolusi waktu dari fase geometris telah diilustrasikan pada Gambar. 1, 2, 3, dan 4. Dari Gambar 1, kita melihat bahwa fase geometris berosilasi dan selubung osilasi tersebut meningkat seiring waktu. Peningkatan amplop lebih besar ketika A 0 besar. Pola osilasi menjadi tidak teratur secara bertahap sebagai nilai μ dan ν meningkat. Selain itu, amplitudo osilasi menjadi besar seiring berjalannya waktu.
Evolusi waktu fase geometri untuk beberapa nilai A . yang berbeda 0 . Nilai dari (μ , ν ) yang digunakan dalam grafik adalah (1, 0) untuk a , (\(\sqrt {2}\), 1) untuk b , dan (\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {2}\)) untuk c . Kami telah menggunakan m =1, ω 0 =1, ω =5, γ =0,35, f d =1, \(\hbar =1\), φ =0, dan γ G (0)=0. Fasa dan semua parameter dianggap tak berdimensi untuk kemudahan, dan konvensi ini juga akan diterapkan pada gambar-gambar berikutnya. Karena A 0 diberikan dalam amplitudo klasik X c ,0 dari fungsi komplementer [lihat Persamaan. (12)], kita dapat mengkonfirmasi dari grafik bahwa fase geometris besar ketika amplitudo osilasi tinggi. Kami juga melihat bahwa fluktuasi γ G (t ) menjadi besar jika nilainya μ dan ν meningkat di bawah kondisi yang diberikan dalam Persamaan. (14)
Evolusi waktu fase geometri untuk beberapa nilai γ . yang berbeda . Nilai ω digunakan dalam grafik adalah 0,3 untuk a , 0,99 untuk b , dan 5 untuk c . Parameter pemerasan yang dipilih di sini adalah \(\mu =\sqrt {2}\) dan ν =1; pilihan ini memberikan q -status terjepit pada saat awal. Kuantitas lain yang kami gunakan adalah m =1, ω 0 =1, A 0 =1, f d =1, \(\hbar =1\), φ =0, dan γ G (0)=0. Kami mengkonfirmasi bahwa fase geometris besar ketika faktor redaman γ besar dalam banyak kasus, tetapi tidak semua. Frekuensi kasus b dekat dengan frekuensi resonansi, sedangkan a dan c jauh dari resonansi. Fase geometrik untuk kasus resonansi (b ) meningkat sangat cepat dari waktu ke waktu
a –c Grafik ini sama dengan Gambar 2, tetapi untuk kasus parameter pemerasan yang dipilih adalah \(\mu =\sqrt {2}\) dan ν =−1 yang memberikan p -status terjepit pada saat awal. Dari fakta bahwa grafik keseluruhan dalam kasus ini tidak jauh berbeda dari grafik yang sesuai pada Gambar. 2, kita dapat memastikan bahwa evolusi γ G (t ) hampir tidak relevan dengan jenis pemerasan asalkan nilai absolut μ dan ν jangan berubah
Evolusi waktu fase geometri untuk beberapa nilai f . yang berbeda d . Nilai ω digunakan dalam grafik adalah 0,3 untuk a dan 5 untuk b . Kami telah menggunakan \(\mu =\sqrt {2}\), ν =1, m =1, ω 0 =1, γ =0,3, A 0 =1, \(\hbar =1\), φ =0, dan γ G (0)=0. Sebagai amplitudo (f d ) dari gaya pendorong meningkat, fase geometrik menjadi besar
Efek pemerasan dalam keadaan terjepit tergantung pada parameter pemerasan c dimana c =μ /ν telah diselidiki dalam ref. [39]. Menurut analisis yang diberikan dalam ref. [39] (lihat Gambar 1(a) dalam ref. [39]), keadaan terjepit yang diilustrasikan pada Gambar 2, yang sesuai dengan \(c=\sqrt {2}\), adalah q -status terjepit pada saat awal, sedangkan pada Gambar 3, yang sesuai dengan \(c=-\sqrt {2}\), adalah p -diperas negara dalam situasi yang sama. Dengan membandingkan Gambar. 2 dan 3 satu sama lain, kita dapat menyimpulkan bahwa fase geometrik di q -status terjepit hampir sama dengan p -status terjepit.
Efek dari γ pada evolusi fase geometris dapat dikonfirmasi dari Gambar. 2 dan 3. Fase geometri meningkat lebih cepat ketika γ besar. Dengan membandingkan Gambar. 2a dan 3a dengan Gambar. 2c dan 3c, kita dapat memastikan bahwa fase geometri berubah agak cepat ketika ω lebih besar dari frekuensi sudut resonansi.
Perilaku waktu fase geometri pada atau dekat keadaan resonansi sistem mungkin sangat menarik [22, 23]. Gambar 2b dan 3b menunjukkan bahwa fase geometris meningkat sangat cepat ketika ω dekat dengan frekuensi sudut resonansi. Ini berarti bahwa fungsi gelombang dalam situasi ini bervariasi secara signifikan dari waktu ke waktu, karena besarnya fase geometris terkait dengan variasi waktu dari fungsi gelombang. Faktanya, amplitudo osilasi kawat sangat meningkat pada keadaan resonansi. Omong-omong, frekuensi sudut resonansi dari resonator kawat nano berbasis CNT tidak hanya tinggi tetapi juga dapat disetel secara luas dengan faktor kualitas yang sangat tinggi [3]. Untuk alasan ini, mode getaran sistem akan disimpan untuk waktu yang lama sampai benar-benar redaman [11].
Gambar 4 menunjukkan bahwa fase geometrik juga dipengaruhi oleh amplitudo gaya penggerak f d . Sebagai f d meningkat, peningkatan fase geometris dalam waktu cepat.
Kami telah menyelidiki fase geometris dalam keadaan terjepit untuk sistem berdasarkan dinamika kuantum dengan persamaan Schrödinger. Mengenai ketergantungan waktu Hamiltonian yang menggambarkan sistem, metode operator invarian telah diperkenalkan, yang merupakan alat potensial untuk menurunkan solusi kuantum dalam kasus di mana Hamiltonian dijelaskan dalam hal waktu. Melalui metode ini, rumus analitik fase geometrik untuk osilasi kawat nano berbasis CNT telah diperoleh.
Analisis rinci tentang efek fase, yang diperlukan untuk pemahaman teoritis tentang getaran mekanis, telah dilakukan. Pengembangan fase geometris kami sepenuhnya berbasis kuantum dengan evaluasi matematis yang ketat. Fase geometris sensitif terhadap perubahan parameter mekanis dan menunjukkan osilasi dalam banyak kasus. Pengaruh parameter pemerasan pada evolusi fase geometris juga telah dianalisis. Kami telah mengkonfirmasi peningkatan yang kuat dari akumulasi fase geometris dari waktu ke waktu di dekat frekuensi sudut resonansi.
Hasil kami menggambarkan perilaku waktu fase geometris yang muncul dalam getaran kawat nano berbasis CNT. Analisis fase geometrik yang diberikan dalam karya ini penting untuk memahami tidak hanya fitur topologi sistem tetapi juga getaran dinamis dari osilator mekanik berbasis kawat nano lainnya. Secara khusus, kami telah mengembangkan sifat fase dari keadaan resonansi, yang klarifikasi diperlukan dalam penerapan sistem dalam teknologi informasi kuantum dan industri berbasis kuantum lainnya [40]. Metode dan kerangka kerja serupa yang digunakan dalam penelitian ini juga dapat diperluas ke sistem nano lainnya, seperti resonator Fabry-Perot superkonduktor [41], kantilever nano [42], dan sistem hibrid qubit-resonator-atom [43].
Tabung nano karbon
Gelombang elektromagnetik
Sistem Hamilton bergantung waktu
bahan nano
Abstrak Bahan Janus dua dimensi memiliki potensi besar untuk aplikasi dalam perangkat spintronik karena struktur khusus dan karakteristik barunya. Namun, mereka biasanya non-magnetik di alam. Di sini, kerangka kerja WSSe yang teradsorpsi logam transisi (TM:Co, Fe, Mn, Cr, dan V) yang berbeda dibang
Pengaruh Penyertaan pada Sifat Baja Baja adalah bahan serbaguna yang memiliki aplikasi yang sangat luas. Ini menarik untuk beberapa aplikasi karena beberapa keunggulannya seperti rasio kekuatan terhadap berat yang tinggi, daya tahan, keserbagunaan, dapat didaur ulang, dan yang paling penting kelay
Diagram Fasa Besi-Karbon Diagram fase adalah alat yang sangat penting dalam studi paduan untuk solusi dari banyak masalah praktis dalam metalurgi. Diagram ini menentukan daerah stabilitas fase yang dapat eksis dalam sistem paduan di bawah kondisi tekanan atmosfer yang konstan. Untuk sistem biner,
Disintesis untuk pertama kalinya pada tahun 2015, boron, lembaran boron 2D kristalin yang tipis secara anatomis telah menarik perhatian para ilmuwan secara global. Digambarkan sebagai bahan ajaib baru karena fleksibilitas anisotropik dan logamnya yang unik, berpotensi merevolusi baterai, sensor, dan
