Menjelajahi Efek Fase Geometrik pada Resonator Nanowire Nanotub Karbon

Abstrak

Fase geometrik adalah evolusi fase tambahan dalam fungsi gelombang getaran yang potentiel berlaku dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi. Karakteristik fase geometrik dalam keadaan tecetan untuk resonator nanowire berbasis nanotub karbon telah diselidiki menggunakan metode operator invariant. Pengenalan operator invariant linier, yang berguna untuk menangani sistem Hamiltonian waktu-dependen yang kompleks, memungkinkan kami untuk merumuskan rumus analitis fase geometrik. Dengan memanfaatkan ini, kami telah menganalisis perilaku waktu fase geometrik berdasarkan ilustrasi yang relevan. Pengaruh parameter tecetan terhadap evolusi fase geometrik telah diselidiki. Fase geometrik, secara besar, osilasi, dan envelop osilasi tersebut meningkat seiring waktu. Tingkat peningkatan fase geometrik besar saat parameter, seperti amplitudo klasik osilasi, faktor redaman, dan amplitudo gaya penggerak, besar. Kami telah mengonfirmasi peningkatan yang sangat tajam fase geometrik seiring waktu dalam kasus frekuensi sudut sistem mendekati frekuensi sudut resonansi. Pengembangan kami mengenai karakteristik fase geometrik sangat penting untuk memahami fitur topologis dalam osilasi nanowire.

Pendahuluan

Getaran mekanis resonator terkecil, seperti nanowire berbasis nanotub karbon (CNT) [1–3], nanowire semikonduktor [4], grafen [5], dan partikel terlepas [6], telah menjadi subjek penelitian utama dalam komunitas nanosains selama lebih dari satu dekade. Penelitian aktif mengenai osilasi elektromekanis resonator nanowire yang didorong oleh gaya periodik eksternal telah dilakukan baik dalam bidang teoretis maupun eksperimental. Khususnya, resonator nanowire berbasis CNT telah menarik minat besar sebagai perangkat mekanis skala nano karena sensitivitas luar biasa dengan faktor kualitas tinggi terhadap gangguan kecil dari lingkungan. Resonator nanowire berbasis CNT yang digantung adalah calon yang menjanjikan untuk aparatur pengukuran berbagai kuantitas fisik, seperti gelombang EM [2], gaya kecil [7], massa [8], suhu [9], dan kebisingan [10].

Analisis evolusi fase kuantum dalam osilasi nanowire diperlukan untuk menguraikan fitur underlying sistem secara teoretis. Mengenai keadaan getaran kuantum resonator nanowire berbasis CNT [11], fase geometrik [12] serta fase dinamis biasa muncul sebagai evolusi fase tambahan. Fase geometrik [12] adalah anholonomi dari keadaan kuantum yang dapat diterapkan dalam berbagai bidang fisika. Analisis fase geometrik dapat diadopsi potensial dalam karakterisasi properti nano nanowire, seperti profil resonansi [13, 14], getaran kuantum kuat [15, 16], mekanisme relaksasi regangan [17, 18], kemunculan magnetoplasmon Dirac [19], dan topologi osilasi Aharonov-Bohm [20].

Studi fase geometrik yang terkait dengan dinamika nonadiabatik dapat memberikan wawasan untuk sistem mekanika nano, yang diperlukan untuk kemajuan teknik simulasi yang akurat [21]. Persiapan, manipulasi, dan deteksi keadaan kuantum adalah faktor penting dalam teknologi kuantum. Tujuan penelitian saat ini adalah untuk menyoroti perilaku waktu fase geometrik yang terjadi dalam keadaan kuantum osilasi nanowire. Untuk memahami mekanisme getaran nanowire berbasis CNT, kami akan menyelidiki evolusi waktu fase geometrik dalam keadaan tecetan yang merupakan keadaan kuantum serupa klasik seperti keadaan koherensi. Keuntungan keadaan tecetan adalah ketidakpastian kuadran dalam keadaan tersebut dapat dikurangi secara substansial dengan mengorbankan peningkatan ketidakpastian kuadran lainnya, sementara modulasi ketidakpastian seperti ini tidak mungkin dalam keadaan koherensi. Khususnya, kami akan menganalisis efek resonansi pada fase geometrik. Karena energi resonansi secara signifikan berbeda dari energi keadaan non-resonansi [22, 23], perilaku topologis fungsi gelombang non-trivial dan mungkin sangat menyimpang dari situasi normal. Pengaruh perubahan parameter fisik dan parameter tecetan terhadap evolusi fase geometrik juga akan dianalisis secara ketat. Fase geometrik umum dalam sistem dinamis [24] dan dapat diterapkan pada berbagai teknologi modern, seperti komputasi kuantum [25], interferometri intensitas [26], multitasking fotonik [27], protokol penginderaan kuantum [28], dan pengukuran stabilitas gelombang [29].

Hamiltonian sistem melibatkan fungsi waktu yang terkait dengan redaman sistem dan gaya penggerak eksternal. Oleh karena itu, sistem adalah jenis sistem Hamiltonian waktu-dependen (TDHS) yang masalah mekanika kuantumnya telah dipelajari secara luas hingga akhir-akhir ini. Fungsi waktu dalam Hamiltonian TDHS tidak dapat dipisahkan dari fungsi variabel kanonikal dalam sebagian besar kasus, yang membuat metode pemisahan variabel konvensional untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger tidak tersedia. Metode alternatif yang kuat yang dikembangkan untuk mengatasi kesulitan ini adalah metode operator invariant yang diperkenalkan oleh Lewis dan Riesenfeld [30, 31]. Metode ini adalah alat matematika yang sangat berguna ketika kita mendapatkan solusi kuantum dari TDHS. Banyak masalah mekanika kuantum yang dijelaskan oleh TDHS diselidiki berdasarkan metode ini. Misalnya, mereka mencakup pencitraan partikel kaotik [32], propagasi cahaya dalam medium bervariasi waktu [33], kontrol elektron terpacu yang ditangkap [34], dan nonklasikalitas sirkuit nanoelektronik kuantum [35]. Ada berbagai metode lain untuk perawatan mekanika kuantum TDHS, yang mencakup metode transformasi unitari [36], metode aljabar Lie [37], dan metode estimasi Hamiltonian [38].

Mengingat sistem adalah TDHS, kami menggunakan metode operator invariant untuk mendapatkan solusi kuantum sistem. Operator invariant linier yang diwakili dalam istilah operator penghancur akan diperkenalkan. Sementara operator penghancur dan pencipta diwakili dalam istilah waktu karena ketergantungan waktu sistem, baik keadaan koherensi maupun tecetan dapat diperoleh menggunakan operator tangga ini. Fase geometrik sistem akan dievaluasi secara analitis dengan memanfaatkan fungsi gelombang dalam keadaan tecetan. Evolusi waktu fase geometrik akan dianalisis secara rinci berdasarkan ilustrasinya yang digambarkan dengan berbagai pilihan parameter.

Metode

Untuk menyelidiki fase geometrik, pertama kami perlu menyiapkan persamaan gerak klasik ujung nanowire. Karena fase geometrik muncul dalam evolusi fungsi gelombang kuantum TDHS, perlu untuk menurunkan fungsi gelombang dalam keadaan kuantum tertentu yang kita kelola. Kami akan mempertimbangkan keadaan tecetan seperti yang disebutkan di bagian pendahuluan. Fungsi gelombang dalam berbagai keadaan kuantum TDHS, termasuk keadaan tecetan, dapat diperoleh dari metode operator invariant.

Persamaan gerak untuk amplitudo waktu-dependen x untuk mode lentur nanotub karbon yang digantung dengan massa efektif m diberikan oleh [1]

$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{2}+\beta x^{2}\right) x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)

di mana ω₀ adalah frekuensi sudut resonansi, Q faktor kualitas, f_d gaya penggerak elektrostatis dibagi dengan m, η koefisien redaman nonlinier, dan β parameter Duffing. Biarlah kami asumsikan untuk kenyamanan bahwa perpindahan ujung cukup kecil dibandingkan panjang nanotub. Kemudian, kami dapat mengabaikan istilah nonlinier dalam Eq. (1), yang mengarah ke [2]

$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t). $$ (2)

Hamiltonian sistem yang menghasilkan Eq. (2) diberikan oleh

$$ \hat{H}= e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left[\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)

di mana γ=ω₀/Q. Solusi klasik Eq. (2) terdiri dari fungsi komplementer X_c(t) dan solusi khusus X_p(t), yang diberikan oleh

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi), \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \delta), \end{array} $$ (5)

di mana X_c,0 adalah konstanta, \(\Omega = \sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}\), φ adalah fase sembarang, dan

$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \delta &=& \tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{array} $$ (7)

Solusi klasik dalam ruang momentum diberikan dengan cara serupa, di mana fungsi komplementer adalah \(P_{c} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)\) dan solusi khusus adalah \(P_{p} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)\). Untuk menyelidiki fase geometrik sistem, pertama kami perlu menurunkan solusi kuantum. Perhatikan bahwa Hamiltonian sistem yang diberikan dalam Eq. (3) secara eksplisit bergantung pada waktu. Untuk mendapatkan solusi kuantum sistem, kami menggunakan metode operator invariant [30, 31], yang merupakan metode yang berguna ketika kita menangani sistem yang bervariasi waktu. Operator invariant \(\hat {I}\) sistem dapat diturunkan dari persamaan Liouville-von Neumann, yang diberikan oleh \({d \hat {I}}/{d t} = {\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) = 0\). Oleh karena itu, dari evaluasi yang ketat setelah memasukkan Eq. (3) ke dalam persamaan ini, kami memiliki operator invariant linier [34] berbentuk

$$ \hat{I} = \hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)

di mana \(\hat {A}\) adalah operator penghancur yang diberikan oleh

$$ \begin{aligned} \hat{A} =& \left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ & \left.+ie^{-\gamma t/2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right)}}\right]. \end{aligned} $$ (9)

Adjung Hermitian dari Eq. (9), \(\hat {A}^{\dagger }\), adalah operator pencipta.

Kami dapat menyatakan persamaan nilai eigen dari \(\hat {A}\) sebagai

$$ \hat{A} |A \rangle = A |A \rangle. $$ (10)

Dengan mengevaluasi persamaan di atas, kami memiliki ekspresi nilai eigen sehingga

$$ A(t) = A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)

di mana A(0)=A₀e^−iφ dengan

$$ A_{0} = \left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)

Sementara keadaan koherensi |A〉 adalah eigenstate dari \(\hat {A}\), keadaan tecetan adalah eigenstate dari operator \(\hat {B}\) yang diberikan oleh

$$ \hat{B} = \mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)

di mana μ dan ν adalah variabel kompleks yang menghasilkan persamaan

$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)

Jika kami menulis persamaan nilai eigen dari \(\hat {B}\) dalam bentuk

$$ \hat{B} |B \rangle = B |B \rangle, $$ (15)

|B〉 adalah keadaan tecetan. Dengan menyelesaikan persamaan ini dalam ruang konfigurasi, kami memiliki

$$ {\begin{aligned} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\pi(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left[\frac{1}{2} m e^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right.\\ & \left. +\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} m e^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \right\}. \end{aligned}} $$ (16)

Jadi, fungsi gelombang dalam keadaan tecetan telah diturunkan seperti yang diberikan dalam Eq. (16). Fitur kuantum sistem dapat diuraikan berdasarkan deskripsi analitis fungsi gelombang ini. Untuk μ=1 dan ν=0, Eq. (16) mengurangi ke fungsi gelombang dalam keadaan koherensi, yang merupakan eigenstate dari Eq. (10) dalam ruang konfigurasi. Fungsi gelombang, Eq. (16), akan digunakan di bagian selanjutnya untuk menurunkan fase geometrik dalam keadaan tecetan.

Hasil dan Pembahasan

Diketahui bahwa fase dalam evolusi fungsi gelombang kuantum melibatkan fase geometrik serta fase dinamis. Fase geometrik pertama kali ditemukan oleh Berry pada tahun 1984 [12] untuk sistem yang berevolusi secara siklus dengan perubahan adiabatik. Menurut teorema adiabatik dalam mekanika kuantum, eigenstate instan dari keadaan kuantum dalam evolusi siklus dalam ruang parameter akan tetap pada keadaan yang sama nantinya, sementara ada akumulasi tambahan dari fase kuantum yang merupakan fase Berry. Generalisasi fase Berry dengan cara yang mencakup evolusi nonadiabatik, non-siklus, dan/atau non-unitari dari sistem kuantum adalah fase geometrik.

Fase geometrik dalam keadaan tecetan diberikan oleh

$$ \gamma_{G}(t) = \int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)

Diferensiasi fungsi gelombang terhadap waktu dalam ruang konfigurasi menjadi

$$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}(t)\right]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\right]\,+\,f_{3}(t) \right\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)

di mana

$$ f_{1}(t) = - \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{aligned} f_{2}(t) &= \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -i m e^{\gamma t} \right.\\ & \quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right](\mu-\nu) +\left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \quad \left.\times\left(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \right) \right], \\ \end{aligned}} $$ (20) $$ {\begin{aligned} f_{3}(t) &\!= \frac{\gamma}{4}-\frac{1}{\hbar m e^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \right.\\ & \quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}. \end{aligned}} $$ (21)

Evaluasi lebih lanjut setelah memasukkan Eq. (18) ke dalam Eq. (17) memberikan

$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) =& \int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] \right) \right.\\ &\left.-A_{0}\left[ g_{3}(t') \sin\left(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (22)

di mana

$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &= \frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &= \frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2}- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &= \left(\frac{2\Omega}{m\hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{aligned} g_{4}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{m e^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2\sqrt{m e^{\gamma t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\right), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &= \frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar m e^{\gamma t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right) +1\right] \\ & \quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{aligned}} $$ (27)

Istilah terakhir dalam g₅ yang berisi (μ−μ^∗)(ν−ν^∗) tidak memadai sebagai fase karena ini adalah angka imajiner semata. Oleh karena itu, kami sekarang menghapus istilah ini dengan memilih setidaknya salah satu dari μ dan ν sebagai nilai nyata. Tindakan ini selalu dapat dilakukan tanpa kehilangan generalitas, karena hanya fase relatif antara μ dan ν yang memiliki arti fisik, bukan fase absolut mereka.

Dari eksekusi integrasi dalam Eq. (22), kami memiliki

$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) &= A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos(\Omega t+2\varphi) \right.\\ & \quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_{3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (28)

di mana \(\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)\) diberikan oleh

$$ \bar{g}_{i}(t) = G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)

dengan

$$ {\begin{aligned} G_{3}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ & \quad\left.+\gamma \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \{ 2(\Omega-\omega) \\ & \quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\!+\gamma \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin(\omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta)+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ & \left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{aligned}} $$ (31) $$ {\begin{aligned} G_{5}(\tau) &= \frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e^{\gamma \tau}}{\gamma \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ & \quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega \tau -\delta)] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad+\frac{i\gamma \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{aligned}} $$ (32)

Jadi, kami telah mengevaluasi fase geometrik lengkap dalam keadaan tecetan, yang diberikan oleh Eq. (28) dengan Eqs. (23), (24), dan (29)–(32).

Evolusi waktu fase geometrik telah diilustrasikan dalam Gambar 1, 2, 3, dan 4. Dari Gambar 1, kami melihat bahwa fase geometrik osilasi dan envelop osilasi tersebut meningkat seiring waktu. Peningkatan envelop lebih besar ketika A₀ besar. Pola osilasi menjadi secara bertahap tidak teratur saat nilai μ dan ν meningkat. Selain itu, amplitudo osilasi menjadi besar seiring waktu.

Evolusi waktu fase geometrik untuk beberapa nilai A₀ yang berbeda. Nilai (μ, ν) yang digunakan dalam grafik adalah (1, 0) untuk a, (\(\sqrt {2}\), 1) untuk b, dan (\(\sqrt {3}\), \(\sqrt {2}\)) untuk c. Kami telah menggunakan m=1, ω₀=1, ω=5, γ=0.35, f_d=1, \(\hbar =1\), φ=0, dan γ_G(0)=0. Fase dan semua parameter dianggap tidak memiliki dimensi untuk kenyamanan, dan konvensi ini juga akan diterapkan pada gambar berikutnya. Karena A₀ diberikan dalam istilah amplitudo klasik X_c,0 dari fungsi komplementer [lihat Eq. (12)], kami dapat mengonfirmasi dari grafik bahwa fase geometrik besar saat amplitudo osilasi tinggi. Kami juga melihat bahwa fluktuasi γ_G(t) menjadi besar saat nilai μ dan ν meningkat di bawah kondisi yang diberikan dalam Eq. (14)

Evolusi waktu fase geometrik untuk beberapa nilai γ yang berbeda. Nilai ω yang digunakan dalam grafik adalah 0,3 untuk a, 0,99 untuk b, dan 5 untuk c. Parameter tecetan yang dipilih di sini adalah \(\mu =\sqrt {2}\) dan ν=1; pilihan ini memberikan keadaan tecetan q pada waktu awal. Kuantitas lain yang kami gunakan adalah m=1, ω₀=1, A₀=1, f_d=1, \(\hbar =1\), φ=0, dan γ_G(0)=0. Kami mengonfirmasi bahwa fase geometrik besar saat faktor redaman γ besar dalam sebagian besar kasus, namun tidak semua. Frekuensi kasus b mendekati frekuensi resonansi, sedangkan kasus a dan c jauh dari frekuensi resonansi. Fase geometrik untuk kasus resonansi (b) meningkat sangat cepat seiring waktu

a–c Grafik ini sama dengan Gambar 2, namun untuk kasus parameter tecetan yang dipilih adalah \(\mu =\sqrt {2}\) dan ν=−1 yang memberikan keadaan tecetan p pada waktu awal. Dari fakta bahwa grafik keseluruhan dalam kasus ini tidak terlalu berbeda dari yang sesuai dalam Gambar 2, kami dapat mengonfirmasi bahwa evolusi γ_G(t) hampir tidak relevan dengan jenis tecetan asalkan nilai absolut μ dan ν tidak berubah

Evolusi waktu fase geometrik untuk beberapa nilai f_d yang berbeda. Nilai ω yang digunakan dalam grafik adalah 0,3 untuk a dan 5 untuk b. Kami telah menggunakan \(\mu =\sqrt {2}\), ν=1, m=1, ω₀=1, γ=0.3, A₀=1, \(\hbar =1\), φ=0, dan γ_G(0)=0. Seiring meningkatnya amplitudo (f_d) gaya penggerak, fase geometrik menjadi besar

Efek tecetan dalam keadaan tecetan tergantung pada parameter tecetan c di mana c=μ/ν telah diselidiki dalam ref. [39]. Menurut analisis yang diberikan dalam ref. [39] (lihat Gambar 1(a) dalam ref. [39]), keadaan tecetan yang diilustrasikan dalam Gambar 2, yang sesuai dengan \(c=\sqrt {2}\), adalah keadaan tecetan q pada waktu awal, sedangkan yang dalam Gambar 3, yang sesuai dengan \(c=-\sqrt {2}\), adalah keadaan tecetan p dalam situasi yang sama. Dengan membandingkan Gambar 2 dan 3 satu sama lain, kami dapat menyimpulkan bahwa fase geometrik dalam keadaan tecetan q hampir sama dengan dalam keadaan tecetan p.

Efek γ pada evolusi fase geometrik dapat dikonfirmasi dari Gambar 2 dan 3. Fase geometrik meningkat lebih cepat ketika γ besar. Dengan membandingkan Gambar 2a dan 3a dengan Gambar 2c dan 3c, kami dapat mengonfirmasi bahwa fase geometrik bervariasi cukup cepat ketika ω lebih besar dari frekuensi sudut resonansi.

Perilaku waktu fase geometrik pada atau dekat keadaan resonansi sistem dapat sangat menarik [22, 23]. Gambar 2b dan 3b menunjukkan bahwa fase geometrik meningkat sangat cepat ketika ω mendekati frekuensi sudut resonansi. Ini berarti bahwa fungsi gelombang dalam situasi ini bervariasi secara signifikan seiring waktu, karena magnitudo fase geometrik terkait dengan variasi waktu fungsi gelombang. Sebagai kenyataan, amplitudo osilasi kawat sangat ditingkatkan pada keadaan resonansi. Setelahnya, frekuensi sudut resonansi resonator nanowire berbasis CNT yang digantung tidak hanya tinggi tetapi juga dapat diubah secara luas dengan faktor kualitas sangat tinggi [3]. Untuk alasan ini, mode getaran sistem akan dipertahankan untuk waktu yang lama hingga terredam sepenuhnya [11].

Gambar 4 menunjukkan bahwa fase geometrik juga dipengaruhi oleh amplitudo gaya penggerak f_d. Seiring meningkatnya f_d, peningkatan fase geometrik dalam waktu menjadi cepat.

Kesimpulan

Kami telah menyelidiki fase geometrik dalam keadaan tecetan untuk sistem berdasarkan dinamika kuantum dengan persamaan Schrödinger. Mengenai ketergantungan waktu Hamiltonian yang menggambarkan sistem, metode operator invariant diperkenalkan, yang merupakan alat potensial untuk menurunkan solusi kuantum dalam kasus di mana Hamiltonian dijelaskan dalam istilah waktu. Dengan metode ini, rumus analitis fase geometrik untuk osilasi nanowire berbasis CNT telah diperoleh.

Analisis rinci efek fase, yang diperlukan untuk pemahaman teoretis getaran mekanis, telah dilakukan. Pengembangan fase geometrik kami sepenuhnya berbasis kuantum dengan evaluasi matematika yang ketat. Fase geometrik sensitif terhadap perubahan parameter mekanik dan menunjukkan osilasi dalam sejumlah besar kasus. Pengaruh parameter tecetan terhadap evolusi fase geometrik juga telah dianalisis. Kami telah mengonfirmasi peningkatan yang kuat dari akumulasi fase geometrik seiring waktu dekat frekuensi sudut resonansi.

Hasil kami menggambarkan perilaku waktu fase geometrik yang muncul dalam getaran nanowire berbasis CNT. Analisis fase geometrik yang diberikan dalam karya ini penting untuk memahami tidak hanya fitur topologis sistem tetapi juga getaran dinamis osilator mekanis berbasis nanowire lainnya. Khususnya, kami telah mengembangkan properti fase keadaan resonansi, yang klarifikasi diperlukan dalam aplikasi sistem dalam teknologi informasi kuantum dan industri berbasis kuantum lainnya [40]. Metode dan kerangka kerja serupa yang digunakan dalam penelitian ini juga dapat diperluas ke sistem nano lainnya, seperti resonator Fabry-Perot superkonduktor [41], kantilever nano [42], dan sistem hibrida qubit-resonator-atom [43].

Singkatan

CNT:

Nanotub karbon

EM waves:

Gelombang elektromagnetik

TDHS:

Sistem Hamiltonian waktu-dependen