Aritmetika Boolean: Penjumlahan, Perkalian, dan Komplemen dalam Logika Digital

Mari kita mulai eksplorasi Aljabar Boolean dengan menambahkan angka:

 

 

Tiga jumlah pertama masuk akal bagi siapa pun yang familiar dengan penjumlahan dasar. Namun, jumlah terakhir sering menjadi sumber kebingungan dalam elektronika digital karena tampaknya bertentangan dengan aturan aritmetika biasa.

Ia bertentangan dengan aturan penjumlahan bilangan real, tetapi tidak untuk nilai Boolean. Dalam Aljabar Boolean setiap kuantitas hanya dapat 0 atau 1; tidak ada "2". Jadi, ketika kita mengevaluasi 1 + 1, hasilnya tidak dapat 0, jadi harus 1.

Baik kita menambahkan dua istilah atau banyak, pola tetap sama:

 

 

Gerbang OR

Perhatikan bahwa jumlah dua istilah dalam himpunan pertama persamaan cocok dengan tabel kebenaran gerbang OR. Penjumlahan Boolean oleh karena itu sesuai dengan operasi logis OR, yang juga direpresentasikan oleh kontak saklar paralel:

 

 

Tidak ada pengurangan dalam matematika Boolean karena pengurangan memerlukan bilangan negatif, yang tidak ada dalam domain ini. Demikian pula, pembagian dikecualikan karena itu pada dasarnya pengurangan yang berulang.

 

Gerbang AND

Perkalian Boolean mengikuti aturan yang sama seperti perkalian bilangan real: setiap nilai dikalikan 0 adalah 0, dan setiap nilai dikalikan 1 tetap tidak berubah:

 

 

Himpunan persamaan ini mencerminkan tabel kebenaran gerbang AND. Oleh karena itu, perkalian Boolean memetakan langsung ke operasi logis AND, yang juga diilustrasikan oleh kontak saklar seri:

 

 

Seperti aljabar konvensional, Aljabar Boolean menggunakan huruf untuk mewakili variabel, tetapi selalu huruf besar. Karena variabel Boolean hanya dapat 0 atau 1, ia memiliki komplemen—nilai yang berlawanan. Contohnya, jika A = 0, maka komplemen A adalah 1.

Komplemenasi ditunjukkan oleh garis di atas variabel, seperti di bawah ini:

 

Gerbang NOT

Dalam notasi, komplemen dari A ditulis sebagai Aʹ atau A̅. Simbol garis lebih umum daripada simbol prime, yang juga muncul dalam kalkulus.

Komplemenasi direpresentasikan dalam sirkuit oleh gerbang NOT atau kontak relay normally-closed:

 

 

Definisi ini mendasari aturan dasar Aritmetika Boolean: penjumlahan adalah OR, perkalian adalah AND, dan komplemenasi adalah NOT. Pengurangan dan pembagian tidak didefinisikan.

Kami akan mengeksplorasi identitas Boolean dalam bagian selanjutnya.

 

REVIEW:

• Penjumlahan Boolean ⇔ logika OR, kontak saklar paralel.
• Perkalian Boolean ⇔ logika AND, kontak saklar seri.
• Komplemenasi Boolean ⇔ logika NOT, kontak relay normally-closed.

 

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Aljabar Boolean