Ilustrasi Penjumlahan Tegangan AC dengan Bilangan Kompleks
Dalam tutorial ini kita menjelajahi bagaimana tiga sumber tegangan arus bolak-balik (AC) bersatu ketika disambungkan secara seri, menggunakan aritmetika bilangan kompleks untuk menentukan tegangan bersih. Pendekatan ini menunjukkan bahwa semua hukum rangkaian DC yang familiar—hukum Ohm, hukum tegangan dan arus Kirchhoff, dan teknik analisis jaringan—dapat diterapkan pada analisis AC asalkan setiap kuantitas dinyatakan dalam bentuk fasor (kompleks) dan semua sumber beroperasi pada frekuensi yang sama.
Kami memulai dengan menyusun tiga sumber seperti yang ditunjukkan dalam diagram di bawah. Tanda polaritas dipilih sehingga arah fasor dapat ditambahkan secara langsung, memungkinkan kami untuk menulis tegangan total sebagai jumlah vektor sederhana:
KVL memungkinkan penjumlahan tegangan kompleks.
Meskipun pernyataan masalah tidak menentukan frekuensi secara eksplisit, asumsi implisit adalah bahwa ketiga sumber berbagi frekuensi yang sama. Ini memenuhi persyaratan bahwa hubungan fase mereka tetap konstan, sehingga memungkinkan penggunaan gaya DC.
Ekspresi aljabar untuk tegangan total adalah:
Vtotal = V1 + V2 + V3
Secara grafik, penjumlahan fasor diilustrasikan dalam gambar di bawah.
Penjumlahan grafik vektor tegangan.
Vektor yang dihasilkan berawal dari awal sumber 22 V dan berakhir di ujung sumber 15 V, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikutnya.
Hasil akhir setara dengan jumlah vektor dari tiga tegangan asli.
Untuk menghitung magnitude dan fase hasil akhir tanpa mengandalkan diagram, kami mengonversi setiap fasor polar ke bentuk persegi panjang, menambahkannya, lalu mengonversinya kembali. Perhitungan menghasilkan:
Vtotal = 36.8052 V ∠ –20.5018°
Representasi persegi panjang nyaman untuk aritmetika tetapi tidak memiliki analog empiris langsung dalam pengukuran; oleh karena itu, kami rutin mengonversi hasil akhir kembali ke bentuk polar untuk perbandingan dengan instrumen dunia nyata.
Untuk memvalidasi hasil analitis, kami menjalkan simulasi SPICE sederhana. Resistor 10 kΩ disertakan hanya untuk menghindari error rangkaian terbuka. Frekuensi yang dipilih 60 Hz adalah sembarang karena resistor menunjukkan perilaku independen frekuensi, meskipun elemen lain seperti kapasitor dan induktor akan memperkenalkan ketergantungan frekuensi.
Skematik rangkaian Spice.
v1 1 0 ac 15 0 sin v2 2 1 ac 12 35 sin v3 3 2 ac 22 -64 sin r1 3 0 10k .ac link 1 60 60 ; Saya menggunakan frekuensi 60 Hz .print ac v(3,0) vp(3,0) ; nilai default .end freq v(3) vp(3) 6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01
Simulasi mengonfirmasi hasil analisis: tegangan total 36.81 V ∠ –20.5°. Hasil yang tampaknya tidak intuitif ini—mendapat sedikit lebih dari 36 V dari sumber 15 V, 12 V, dan 22 V secara seri—mengilustrasikan bagaimana hubungan fase dapat menyebabkan interferensi konstruktif atau destruktif dalam rangkaian AC.
Selanjutnya, kita memeriksa efek membalik polaritas sumber 12 V. Membalik kabel mengubah arah vektor tetapi tidak sudut fase nominal; secara matematis ini dapat direpresentasikan dengan menambahkan 180° ke sudut (12 V ∠ 215°) atau dengan meniadakan magnitude (–12 V ∠ 35°). Kedua pendekatan menghasilkan hasil persegi panjang yang sama:
Dalam bentuk persegi panjang, jumlah baru adalah:
Vtotal = 30.4964 V ∠ –60.9368°
Kami memverifikasi ini dengan SPICE:
penjumlahan tegangan ac v1 1 0 ac 15 0 sin v2 1 2 ac 12 35 sin ; pembalikan nomor node 2 dan 1 v3 3 2 ac 22 -64 sin r1 3 0 10k .ac lin 1 60 60 .print ac v(3,0) vp(3,0) .end freq v(3) vp(3) 6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01
Tinjauan
- Semua hukum rangkaian DC berlaku untuk rangkaian AC—kecuali perhitungan daya—asalkan semua variabel dalam bentuk kompleks dan berbagi frekuensi umum.
- Membalik polaritas sumber AC dapat diekspresikan dengan menambahkan 180° ke sudut-nya atau dengan meniadakan magnitudo-nya.
- Nilai yang diukur dalam rangkaian AC sesuai dengan magnitude polar dari fasor yang dihitung; nilai persegi panjang hanya berguna untuk langkah aljabar perantara.
Lembar Kerja Terkait
- Lembar Kerja Analisis Jaringan AC
- Lembar Kerja Hukum Kirchhoff
- Lembar Kerja Hukum Ohm
