Teorema Millman: Analisis Rangkaian AC & DC Langkah demi Langkah dengan Contoh Praktis

Teorema Millman untuk Rangkaian AC & DC – Contoh Soal Selesai Langkah demi Langkah

Teorema Millman

Teorema Millman digunakan dalam analisis rangkaian ketika rangkaian hanya memiliki cabang yang paralel. Oleh karena itu, teorema ini berguna untuk menghitung tegangan di akhir rangkaian. Teorema Millman hanya berlaku untuk rangkaian yang berisi jaringan paralel.

Teorema Millman adalah kombinasi dari Thevenin’s theorem dan Norton’s theorem. Kadang-kadang teorema ini juga disebut sebagai Parallel Generator Theorem. Teorema ini diajukan oleh profesor teknik elektro Jacob Millman. Dan atas namanya, teorema ini dinamakan teorema Millman.

Teorema Millman menyatakan bahwa;

Artinya, kita dapat menemukan tegangan di seluruh cabang paralel dari jaringan yang diberikan. Teorema ini mengurangi kompleksitas jaringan ketika sejumlah sumber disambungkan seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Menurut teorema Millman; tegangan di seluruh beban adalah;

• Post Terkait: Teorema Thevenin. Panduan Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal Selesai

Persamaan Matematis

Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, rangkaian memiliki sejumlah sumber tegangan (E₁, E₂, E₃, …, E_n). Dan hambatan internal dari sumber adalah R₁, R₂, R₃, …, R_n masing-masing. Menurut teorema Millman, setiap rangkaian dapat digantikan dengan jaringan di bawah ini. Gambar berikut menunjukkan rangkaian setara Millman.

Sekarang, kita perlu menemukan nilai sumber tegangan (E) dan hambatan setara (R). Rangkaian di atas mirip dengan rangkaian setara Thevenin. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa sumber tegangan (E) sama dengan tegangan setara Thevenin (V_TH) dan hambatan setara adalah hambatan setara Thevenin (R_TH).

Kita menemukan rangkaian setara Norton untuk mempermudah perhitungan. Untuk itu, kita akan melakukan transformasi sumber. Dan mengubah semua sumber tegangan menjadi sumber arus.

Kita memiliki hambatan internal yang disambungkan secara seri dengan sumber tegangan. Setelah transformasi sumber, sumber tegangan diubah menjadi sumber arus dan hambatan internal disambungkan secara paralel dengan sumber arus. Oleh karena itu, rangkaian di atas diubah seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Menurut hukum Ohm, nilai sumber arus akan E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, E_n/R_n. Sekarang, untuk menemukan arus setara Norton (I_N), kita perlu memendekkan terminal beban. Dan menemukan arus yang melewati cabang tersebut.

Pada node A₁, arus terbagi menjadi dua jalur. Satu jalus melalui hambatan R₁ dan jalur kedua dari cabang yang disingkat. Seperti yang kita ketahui, arus selalu mengalir melalui jalur hambatan rendah. Oleh karena itu, dalam kondisi ini, seluruh arus melewati cabang yang disingkat. Dan arus yang melewati hambatan adalah nol.

Hal yang sama terjadi untuk semua sumber pada node A₂, A₃, …, A_n. Dan arus yang melewati semua resistor adalah nol.

Sekarang, pada node A₂, arus yang datang dari node A₁ ditambahkan. Demikian pula, pada node A3, arus yang datang dari node A₂ ditambahkan. Oleh karena itu, pada node A_n, arus dari semua node ditambahkan. Arus total adalah jumlah semua arus dan dikenal sebagai arus Norton (I_N).

Jadi, kita telah menemukan arus setara Norton. Sekarang, kita perlu menemukan hambatan setara Norton. Dan untuk itu, kita perlu menghapus semua sumber energi yang ada dalam rangkaian dengan membuka sirkuit sumber arus dan memendekkan sirkuit sumber tegangan.

Pada gambar di atas, kita hanya memiliki satu sumber arus. Kita akan menghapus sumber arus ini dengan membuka sirkuit. Dan kita perlu menghapus beban untuk menghitung hambatan setara. Oleh karena itu, rangkaian yang tersisa terlihat seperti gambar di bawah ini.

Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, kita dapat melihat bahwa semua resistor disambungkan secara paralel. Dan kombinasi paralel ini sama dengan hambatan setara.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

Sekarang, masukkan nilai-nilai ini dalam rangkaian setara Norton seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Jika kita mengubah rangkaian setara Norton ini menjadi rangkaian setara Thevenin, kita dapat menghitung nilai E dan R dari arus Norton I_N dan hambatan Norton R_N.

Menurut hukum Ohm;

E = I_N x R_N

Mari kita buat persamaan di atas dalam bentuk umum untuk n-sejumlah cabang.

Jadi, kita memiliki nilai sumber tegangan. Dan nilai hambatan setara sama dengan hambatan setara Norton. Oleh karena itu, kita dapat mendapatkan rangkaian setara Millman (fig-2).

• Post Terkait: Teorema Norton. Panduan Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal Selesai

Langkah yang Diikuti untuk Teorema Millman

Langkah-1 Teorema Millman hanya berlaku untuk jaringan atau rangkaian yang memiliki sejumlah cabang paralel yang lebih banyak. Jadi, kita asumsikan bahwa kita perlu menyelesaikan rangkaian yang memiliki sejumlah cabang paralel yang berisi sumber tegangan yang disambungkan secara seri dengan hambatan internal.

Langkah-2 Buat daftar hambatan internal atau hambatan yang disambungkan secara seri dan sumber tegangan.

Langkah-3 Temukan hambatan setara (R) di seluruh terminal beban dengan memendekkan sumber tegangan.

Langkah-4 Terapkan teorema Millman dan temukan nilai tegangan (E) di seluruh terminal beban. Untuk itu gunakan persamaan-1. Tegangan ini adalah tegangan di seluruh beban.

Langkah-5 Masukkan nilai R dan E dalam rangkaian setara Millman (fig-2).

Langkah-6 Terapkan KVL pada lingkaran untuk menemukan arus yang melewati beban.

• Post Terkait: Teorema Superposisi – Analisis Rangkaian dengan Contoh Soal Selesai

Menganalisis Rangkaian DC Menggunakan Teorema Millman

Contoh #1

Temukan arus dan tegangan di seluruh terminal beban menggunakan teorema Millman.

Langkah-1 Dengan mengamati gambar di atas, kita dapat mengatakan bahwa semua empat cabang disambungkan secara paralel. Dan kita dapat menerapkan teorema Millman.

Langkah-2 Tiga cabang kecuali cabang beban. Jadi, ada tiga tegangan dan tiga hambatan seperti tercantum di bawah ini.

E₁ = 12V dan R₁ = 2Ω

E₂ = 0V dan R₁ = 4Ω

E₃ = 16V dan R₁ = 4Ω

Langkah-3 Untuk menemukan hambatan setara, kita perlu menghapus sumber tegangan dengan memendekkannya dan membuka terminal beban. Oleh karena itu, gambar yang tersisa ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

R_eq = 1Ω

Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas, semua hambatan disambungkan secara paralel. Jadi, hambatan setara adalah;

Langkah-4 Sekarang, terapkan teorema Millman.

Dalam contoh ini, kita memiliki 3 cabang. Oleh karena itu, kita gunakan n=3.

Masukkan nilai-nilai yang tercantum di atas dalam persamaan ini.

E = 10V

Ini adalah tegangan di seluruh terminal beban.

Langkah-5 Masukkan nilai-nilai ini dalam rangkaian setara Millman.

Langkah-6 Menurut hukum Ohm,

I_L = 1A

Maka, tegangan di seluruh beban adalah 10 V dan arus yang melewati beban adalah 1 A.

• Post Terkait: Teorema Tellegen – Contoh Soal Selesai & Simulasi MATLAB

Menganalisis Rangkaian AC Menggunakan Teorema Millman

Contoh #2

Temukan arus dan tegangan di seluruh terminal beban menggunakan teorema Millman.

Langkah-1 Seperti yang ditunjukkan pada gambar di atas empat cabang disambungkan secara paralel. Oleh karena itu, kita dapat menerapkan teorema Millman.

Langkah-2 Jika kita tidak mempertimbangkan cabang beban, ada tiga cabang. Untuk mempermudah perhitungan, kita akan mencantumkan tegangan dan impedansi. Dalam kasus rangkaian AC, kita perlu menggunakan kata impedansi alih-gaung hambatan.

Nilai sumber tegangan diberikan dalam bentuk polar. Namun, nilai impedansi diberikan dalam bentuk persegi panjang. Jadi, kita perlu mengubah nilai sumber tegangan dalam bentuk polar.

V₁ = 12∠60° = 6 + j10.392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5.196 + j3

Impedansi diberikan dalam bentuk persegi panjang. Jadi, kita mencantumkannya seperti semula.

Z₁ = 6Ω

Z₂ = j6Ω

Z₃ = –j6Ω

Langkah-3 Temukan impedansi setara. Seperti yang ditunjukkan pada contoh di atas, kita perlu menghapus semua sumber tegangan dengan memendekkannya. Dan rangkaian yang tersisa adalah seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Di sini, semua impedansi disambungkan secara paralel. Jadi, impedansi setara akan;

Z_eq = 6Ω

Langkah-4 Sekarang, terapkan teorema Millman,

Di sini, kita memiliki tiga cabang. Oleh karena itu, n sama dengan 3.

V = 6 + 1j0.392 – j9 + j5.196 – 3

V = 3 + j6.588

Sekarang, kita perlu menemukan nilai RMS.

V = 7,23V

Langkah-5 Masukkan nilai-nilai ini dalam rangkaian setara Millman.

Langkah-6 Menurut hukum Ohm,

I_L = 0,9A

• Post Terkait: Teorema Transfer Daya Maksimum untuk Rangkaian AC & DC
  

Keterbatasan Teorema Millman

Teorema Millman sangat membantu untuk menyelesaikan jaringan. Namun ada beberapa keterbatasan yang tercantum di bawah ini.

• Teorema ini tidak berlaku untuk rangkaian yang memiliki sumber tergantung antara sumber bebas.
• Untuk rangkaian yang memiliki kurang dari dua sumber bebas, teorema ini tidak berguna.
• Teorema ini tidak berlaku untuk rangkaian yang hanya memiliki elemen seri.
• Ketika ada elemen yang disambungkan antara sumber, teorema ini tidak dapat diterapkan.

Aplikasi Teorema Millman

Teorema Millman banyak digunakan dalam analisis jaringan untuk menyelesaikan rangkaian yang kompleks. Aplikasi Teorema Millman adalah sebagai tercantum di bawah ini.

• Teorema Millman paling berguna untuk menemukan tegangan dan arus beban impedansi dalam kasus terdapat sejumlah cabang paralel yang tersedia dengan sejumlah sumber tegangan.
• Perhitungan teorema ini mudah. Ini tidak memerlukan penggunaan lebih banyak persamaan.
• Teorema ini digunakan untuk menyelesaikan rangkaian kompleks yang memiliki elemen kompleks seperti Op-Amp.

Tutorial Analisis Rangkaian Listrik Terkait:

• Analisis SUPERNODE – Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal Selesai
• Analisis SUPERMESH – Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal Selesai
• Hukum Arus & Tegangan Kirchhoff (KCL & KVL) | Contoh Soal Selesai
• Kalkulator Aturan Cramer – Sistem 2 dan 3 Persamaan untuk Rangkaian Listrik
• Jembatan Wheatstone – Rangkaian, Kerja, Turunan dan Aplikasi
• Kalkulator Teknik Elektro dan Elektronika
• 5000+ Rumus & Persamaan Teknik Elektro dan Elektronika