Panduan MATLAB:Menghitung Derivatif Polinomial Secara Efisien

Dalam matematika, turunan menyatakan laju perubahan suatu fungsi terhadap suatu variabel. Secara sederhana, ini memberi tahu kita bagaimana suatu fungsi berubah pada suatu titik tertentu. Derivatif merupakan hal mendasar dalam kalkulus dan banyak digunakan dalam bidang seperti fisika, teknik, dan ekonomi untuk memodelkan perubahan dan gerak.

Misalnya, jika Anda memiliki fungsi yang mendeskripsikan posisi mobil terhadap waktu, turunan dari fungsi tersebut akan menghasilkan kecepatan mobil (laju perubahan posisi).

Turunan Polinomial

Polinomial adalah ekspresi matematika yang terdiri dari variabel yang dipangkatkan berbeda, dikombinasikan dengan koefisien. Misalnya polinomial P(x) =3x2 + 2x + 5 adalah polinomial derajat dua.

Turunan fungsi polinomial dapat dicari dengan menerapkan aturan sederhana:Untuk setiap suku, kalikan koefisien dengan eksponen, lalu kurangi eksponennya dengan 1. Proses ini diulangi untuk setiap suku dalam polinomial.

Misalnya, perhatikan polinomial:

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

Turunannya, P(x), dihitung sebagai −

• Untuk suku 3x3:Kalikan 3 dengan 3 (eksponen), sehingga menghasilkan 9x2.
• Untuk suku 4x2:Kalikan 4 dengan 2, sehingga menghasilkan 8x.
• Untuk suku 2x:Kalikan 2 dengan 1, sehingga menghasilkan 2.
• Konstanta suku (1) mempunyai turunan 0.

Jadi, turunannya adalah −

P(x) = 9x2 + 8x + 2

Derivatif di MATLAB

MATLAB memudahkan penghitungan turunan polinomial menggunakan fungsi bawaan. Polinomial di MATLAB diwakili oleh vektor yang berisi koefisien-koefisiennya, diurutkan berdasarkan pangkat variabel.

Untuk mencari turunan suatu polinomial, MATLAB menyediakan fungsi polider.

Sintaks

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

Penjelasan Sintaks

k =polyder(p) menghitung turunan polinomial yang diberikan oleh koefisien dalam p, sehingga menghasilkan polinomial baru k(x) yang mewakili turunan d/dx p(x).

k =polyder(a,b) menghitung turunan hasil kali dua polinomial a dan b, menghasilkan polinomial baru k(x) yang mewakili.

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$

[q, d] =polyder(a, b) menghitung turunan hasil bagi dua polinomial a dan b, menghasilkan dua polinomial:q(x) (pembilang) dan d(x) (penyebut), mewakili turunan dari a(x)/b(x).

Contoh 1:Menghitung turunan menggunakan polyder(p)

Misalkan kita mempunyai polinomial

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

Polinomial ini dapat direpresentasikan dengan vektor koefisiennya di MATLAB −

p = [4 3 2 1];

Untuk menghitung turunan polinomial ini, kami menggunakan fungsi polider di MATLAB −

k = polyder(p);

Pada eksekusi kode di jendela perintah matlab, outputnya adalah.

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)
k =
 12 6 2
>>

Untuk suku 4x3, turunannya adalah 12x2 (kalikan koefisien 4 dengan pangkat 3 dan kurangi pangkatnya dengan 1).

Untuk suku 3x2, turunannya adalah 6x.

Untuk suku 2x, turunannya adalah 2.

Untuk konstanta suku 1 mempunyai turunan 0.

Jadi, turunan polinomialnya adalah :

k(x) = 12x2 + 6x + 2

Di Matlab hasil k adalah :[12 6 2]

Contoh 2:Contoh lain untuk mencari turunan polinomial

Pertimbangkan mengikuti polinomial

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8 

Polinomial ini dapat direpresentasikan dengan vektor koefisiennya di MATLAB −

p = [5 -2 7 -3 8]

Untuk mencari turunan polinomial ini akan menggunakan fungsi polider di matlab.

k = polyder(p)

Perintah ini akan mengembalikan koefisien turunan polinomial p.

Ketika Anda mengeksekusi kode di jendela perintah matlab, outputnya adalah:

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)
k =
 20 -6 14 -3
>> 

Vektor k =[20 -6 14 -3] mewakili polinomial

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

Contoh 3:Turunan Produk Dua Polinomial Menggunakan polyder(a, b)

Mari kita pertimbangkan dua polinomial

a(x) = 2x2 + 3x + 1
b(x) = 4x + 5

Polinomial ini dapat direpresentasikan dengan vektor koefisiennya di MATLAB:

a = [2 3 1]
b = [4 5] 

Untuk menghitung turunan hasil kali kedua polinomial ini, kita menggunakan fungsi polider dengan dua argumen masukan.

k = polyder(a, b);

Ini akan mengembalikan koefisien turunan dari hasil kali a(x) dan b(x).

Saat Anda mengeksekusi kode di jendela perintah matlab, output yang kita dapatkan adalah :

>> a = [2 3 1];
b = [4 5]; 
k = polyder(a, b)
k =
 24 44 19
>>

Jadi, turunan polinomialnya adalah:k(x) =24x2 + 44x + 19

Contoh 4:Turunan dari dua polinomial tertentu

Pertimbangkan dua polinomial berbeda.

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

Polinomial ini dapat diwakili oleh vektor koefisien berikut di MATLAB.

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

Untuk menghitung turunan hasil kali kedua polinomial ini, kita menggunakan fungsi polider dengan vektor a dan b sebagai input

k = polyder(a, b);

Perintah ini akan mengembalikan koefisien turunan dari hasil kali a(x) dan b(x).

Ketika kode dieksekusi di jendela perintah matlab, outputnya adalah :

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)
k =
 15 -52 27 22 -14
>> 

Jadi, polinomial turunannya adalah −

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

Contoh 5:Turunan Hasil Bagi Dua Polinomial Menggunakan [q, d] =polyder(a, b)

Mari kita pertimbangkan dua polinomial −

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

Polinomial ini dapat direpresentasikan dengan vektor koefisiennya di Matlab.

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

Untuk menghitung turunan hasil bagi a(x) / b(x), kita menggunakan fungsi polider dengan dua argumen keluaran q dan d.

[q,d] = polyder(a,b)

Ini akan mengembalikan dua polinomial:q(x) (pembilang) dan d(x) (penyebut) dari turunan a(x) / b(x).

Ketika kode dieksekusi di jendela perintah matlab, outputnya adalah :

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)
q =
 -11 4 7
d =
 1 -4 6 -4 1
>>