Metode dan Analisis Mesh Saat Ini

Metode Mesh-Saat Ini , juga dikenal sebagai Metode Arus Loop , sangat mirip dengan metode Arus Cabang karena menggunakan persamaan simultan, Hukum Tegangan Kirchhoff, dan Hukum Ohm untuk menentukan arus yang tidak diketahui dalam jaringan. Ini berbeda dari metode Branch Current karena tidak gunakan Hukum Arus Kirchhoff, dan biasanya dapat menyelesaikan rangkaian dengan variabel yang lebih sedikit dan persamaan yang kurang simultan, yang sangat bagus jika Anda terpaksa menyelesaikannya tanpa kalkulator.

Mesh Current, metode konvensional

Mari kita lihat bagaimana metode ini bekerja pada contoh masalah yang sama:

Identifikasi Loop

Langkah pertama dalam metode Arus Jala adalah mengidentifikasi "loop" di dalam sirkuit yang mencakup semua komponen. Dalam rangkaian contoh kami, loop yang dibentuk oleh B₁ , R₁ , dan R₂ akan menjadi yang pertama saat loop dibentuk oleh B₂ , R₂ , dan R₃ akan menjadi yang kedua. Bagian paling aneh dari metode Arus Jala adalah membayangkan arus yang bersirkulasi di setiap loop. Sebenarnya, metode ini mendapatkan namanya dari ide arus yang menyatu di antara loop seperti set roda gigi yang berputar:

Pilihan arah masing-masing arus sepenuhnya arbitrer, seperti pada metode Arus Cabang, tetapi persamaan yang dihasilkan lebih mudah diselesaikan jika arus mengalir ke arah yang sama melalui komponen yang berpotongan (perhatikan bagaimana arus I₁ dan saya₂ keduanya akan "naik" melalui resistor R₂ , di mana mereka "bertautan", atau berpotongan). Jika asumsi arah arus mesh salah, jawaban untuk arus tersebut akan bernilai negatif.

Beri label pada Polaritas Penurunan Tegangan

Langkah selanjutnya adalah memberi label semua polaritas penurunan tegangan pada resistor sesuai dengan arah arus mesh yang diasumsikan. Ingatlah bahwa ujung "hulu" resistor akan selalu negatif, dan ujung "hilir" resistor positif terhadap satu sama lain, karena elektron bermuatan negatif. Polaritas baterai, tentu saja, ditentukan oleh orientasi simbolnya dalam diagram, dan mungkin atau mungkin tidak "setuju" dengan polaritas resistor (asumsi arah arus):

Menggunakan Hukum Tegangan Kirchhoff, sekarang kita dapat melangkah di sekitar setiap loop ini, menghasilkan persamaan yang mewakili penurunan tegangan dan polaritas komponen. Seperti metode Arus Cabang, kita akan menunjukkan penurunan tegangan resistor sebagai produk dari resistansi (dalam ohm) dan arus mesh masing-masing (jumlah itu tidak diketahui pada saat ini). Di mana dua arus menyatu, kita akan menulis istilah itu dalam persamaan dengan arus resistor menjadi jumlah dari dua arus meshing.

Menelusuri Loop Kiri Sirkuit dengan Persamaan

Menelusuri loop kiri sirkuit, mulai dari sudut kiri atas dan bergerak berlawanan arah jarum jam (pilihan titik awal dan arah pada akhirnya tidak relevan), menghitung polaritas seolah-olah kita memiliki voltmeter di tangan, timah merah di titik di depan dan timah hitam pada titik di belakang, kita mendapatkan persamaan ini:

Perhatikan bahwa suku tengah persamaan menggunakan jumlah arus mesh I₁ dan saya₂ sebagai arus yang melalui resistor R₂ . Ini karena arus mesh I₁ dan saya₂ menuju arah yang sama melalui R₂ , dan dengan demikian saling melengkapi. Mendistribusikan koefisien 2 ke I₁ dan saya₂ istilah, dan kemudian menggabungkan I₁ suku dalam persamaan, kita dapat menyederhanakannya sebagai berikut:

Saat ini kita memiliki satu persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Untuk dapat menyelesaikan dua arus mesh yang tidak diketahui, kita harus memiliki dua persamaan. Jika kita menelusuri loop lain dari rangkaian, kita dapat memperoleh persamaan KVL lain dan memiliki data yang cukup untuk menyelesaikan dua arus. Makhluk kebiasaan saya, saya akan mulai di sudut kiri atas lingkaran kanan dan melacak berlawanan arah jarum jam:

Menyederhanakan persamaan seperti sebelumnya, kita mendapatkan:

Memecahkan Masalah yang Tidak Diketahui

Sekarang, dengan dua persamaan, kita dapat menggunakan salah satu dari beberapa metode untuk menyelesaikan secara matematis arus yang tidak diketahui I₁ dan saya₂ :

Gambar Ulang Sirkuit

Mengetahui bahwa solusi ini adalah nilai untuk mesh arus, bukan cabang arus, kita harus kembali ke diagram kita untuk melihat bagaimana mereka cocok bersama untuk memberikan arus melalui semua komponen:

Solusi -1 amp untuk I₂ berarti bahwa kami awalnya menganggap arah arus salah. Sebenarnya, saya₂ mengalir berlawanan arah jarum jam pada nilai (positif) 1 amp:

Perubahan arah arus dari yang pertama kali diasumsikan akan mengubah polaritas penurunan tegangan pada R₂ dan R₃ karena saat ini I₂ . Dari sini, kita dapat mengatakan bahwa arus melalui R₁ adalah 5 amp, dengan penurunan tegangan pada R₁ menjadi produk dari arus dan hambatan (E=IR), 20 volt (positif di kiri dan negatif di kanan).

Juga, kita dapat dengan aman mengatakan bahwa arus melalui R₃ adalah 1 amp, dengan drop tegangan 1 volt (E =IR), positif di sebelah kiri dan negatif di sebelah kanan. Tapi apa yang terjadi di R₂ ?

Arus jala I₁ akan "turun" melalui R₂ , sedangkan arus mesh I₂ akan "naik" melalui R₂ . Untuk menentukan arus aktual melalui R₂ , kita harus melihat bagaimana arus mesh I₁ dan saya₂ berinteraksi (dalam hal ini mereka bertentangan), dan secara aljabar menambahkan mereka untuk sampai pada nilai akhir. Sejak saya₁ akan "turun" pada 5 amp, dan saya₂ akan "naik" pada 1 amp, nyata arus melalui R₂ harus bernilai 4 amp, akan "turun":

Arus 4 amp melalui R₂ Resistansi 2 memberikan kita penurunan tegangan sebesar 8 volt (E=IR), positif di bagian atas dan negatif di bagian bawah.

Keuntungan Analisis Arus Mesh

Keuntungan utama dari analisis Mesh Current adalah bahwa hal itu secara umum memungkinkan untuk solusi jaringan besar dengan nilai yang tidak diketahui lebih sedikit dan persamaan simultan yang lebih sedikit. Contoh soal kita mengambil tiga persamaan untuk menyelesaikan metode Arus Cabang dan hanya dua persamaan yang menggunakan metode Arus Jala. Keuntungan ini jauh lebih besar dengan meningkatnya kompleksitas jaringan:

Untuk menyelesaikan jaringan ini menggunakan Arus Cabang, kita harus menetapkan lima variabel untuk memperhitungkan setiap arus unik dalam rangkaian (I₁ melalui I₅ ). Ini akan membutuhkan lima persamaan untuk solusinya, dalam bentuk dua persamaan KCL dan tiga persamaan KVL (dua persamaan untuk KCL di node, dan tiga persamaan untuk KVL di setiap loop):

Saya kira jika Anda tidak memiliki hal yang lebih baik untuk dilakukan dengan waktu Anda selain memecahkan lima variabel yang tidak diketahui dengan lima persamaan, Anda mungkin tidak keberatan menggunakan metode analisis Arus Cabang untuk rangkaian ini. Bagi kita yang memiliki hal yang lebih baik untuk dilakukan dengan waktu kita, metode Arus Jala jauh lebih mudah, hanya membutuhkan tiga yang tidak diketahui dan tiga persamaan untuk dipecahkan:

Lebih sedikit persamaan untuk dikerjakan adalah keuntungan yang pasti, terutama saat melakukan solusi persamaan simultan dengan tangan (tanpa kalkulator).

Jembatan Wheatstone Tidak Seimbang

Jenis sirkuit lain yang cocok untuk Arus Mesh adalah Jembatan Wheatstone yang tidak seimbang. Ambil sirkuit ini, misalnya:

Karena rasio R₁ /R₄ dan R₂ /R₅ tidak sama, kita tahu bahwa akan ada tegangan melintasi resistor R₃ , dan sejumlah arus yang melaluinya. Seperti yang dibahas di awal bab ini, jenis rangkaian ini tidak dapat direduksi dengan analisis seri-paralel normal, dan hanya dapat dianalisis dengan beberapa metode lain.

Kita bisa menerapkan metode Arus Cabang ke sirkuit ini, tetapi itu akan membutuhkan enam arus (I₁ melalui I₆ ), yang mengarah ke serangkaian persamaan simultan yang sangat besar untuk dipecahkan. Namun, dengan menggunakan metode Arus Jala, kita dapat menyelesaikan semua arus dan tegangan dengan variabel yang jauh lebih sedikit.

Gambar Jala

Langkah pertama dalam metode Arus Jala adalah menggambar arus jala yang cukup untuk memperhitungkan semua komponen dalam rangkaian. Melihat rangkaian jembatan kita, seharusnya jelas di mana menempatkan dua arus ini:

Arah arus mesh ini, tentu saja, sewenang-wenang. Namun, dua arus jala tidak cukup di sirkuit ini, karena saya₁ atau saya₂ melewati baterai. Jadi, kita harus menambahkan arus mesh ketiga, I₃ :

Di sini, saya telah memilih I₃ untuk mengulang dari sisi bawah baterai, melalui R₄ , melalui R₁ , dan kembali ke sisi atas baterai. Ini bukan satu-satunya jalan yang bisa saya pilih untuk I₃ , tetapi tampaknya yang paling sederhana.

Label Polaritas Penurunan Tegangan Resistor

Sekarang, kita harus memberi label pada polaritas penurunan tegangan resistor, mengikuti setiap arah arus yang diasumsikan:

Perhatikan sesuatu yang sangat penting di sini:di resistor R₄ , polaritas untuk arus mesh masing-masing tidak sesuai. Ini karena arus jala tersebut (I₂ dan saya₃ ) melalui R₄ dalam arah yang berbeda. Ini tidak menghalangi penggunaan metode analisis Mesh Current, tetapi ini sedikit memperumitnya. Meskipun nanti, kami akan menunjukkan cara menghindari R₄ bentrokan saat ini. (Lihat Contoh di bawah)

Menggunakan KVL

Menghasilkan persamaan KVL untuk loop atas jembatan, mulai dari node atas dan menelusuri searah jarum jam:

Dalam persamaan ini, kami mewakili arah umum arus dengan jumlah melalui resistor umum. Misalnya, resistor R₃ , dengan nilai 100 , tegangan jatuh direpresentasikan dalam persamaan KVL di atas dengan ekspresi 100(I₁ + I₂ ), karena kedua arus I₁ dan saya₂ melalui R₃ dari kanan ke kiri. Hal yang sama dapat dikatakan untuk resistor R₁ , dengan ekspresi jatuh tegangan ditunjukkan sebagai 150(I₁ + I₃ ), karena keduanya saya₁ dan saya₃ pergi dari bawah ke atas melalui resistor itu, dan dengan demikian bekerja bersama untuk menghasilkan penurunan tegangan.

Menghasilkan persamaan KVL untuk loop bawah jembatan tidak akan mudah karena kita memiliki dua arus yang melawan satu sama lain melalui resistor R₄ . Inilah cara saya melakukannya (mulai dari simpul kanan, dan menelusuri berlawanan arah jarum jam):

Perhatikan bagaimana suku kedua dalam bentuk asli persamaan memiliki resistor R₄ nilai 300 dikalikan dengan selisih antara I₂ dan saya₃ (Saya₂ - Saya₃ ). Ini adalah bagaimana kami mewakili efek gabungan dari dua arus jala yang berlawanan arah melalui komponen yang sama. Memilih tanda matematika yang tepat sangat penting di sini:300(I₂ - Saya₃ ) tidak berarti sama dengan 300(I₃ - Saya₂ ). Saya memilih untuk menulis 300(I₂ - Saya₃ ) karena saya pertama-tama memikirkan I₂ efek (menciptakan penurunan tegangan positif, mengukur dengan voltmeter imajiner melintasi R₄ , timah merah di bawah dan timah hitam di atas), dan yang kedua dari I₃ efek (menciptakan penurunan tegangan negatif, timah merah di bagian bawah dan timah hitam di bagian atas). Jika saya berpikir dalam hal I₃ efek pertama dan saya₂ efek kedua, memegang kabel voltmeter imajiner saya di posisi yang sama (merah di bagian bawah dan hitam di atas), ekspresinya adalah -300(I₃ - Saya₂ ). Perhatikan bahwa ungkapan ini adalah secara matematis setara dengan yang pertama:+300(I₂ - Saya₃ ).

Nah, itu menangani dua persamaan, tapi saya masih membutuhkan persamaan ketiga untuk menyelesaikan kumpulan persamaan simultan saya yang terdiri dari tiga variabel, tiga persamaan. Persamaan ketiga ini juga harus mencakup tegangan baterai, yang hingga saat ini tidak muncul di kedua persamaan KVL sebelumnya. Untuk menghasilkan persamaan ini, saya akan menelusuri loop lagi dengan voltmeter imajiner saya mulai dari terminal bawah (negatif) baterai, melangkah searah jarum jam (sekali lagi, arah langkah saya sewenang-wenang, dan tidak perlu sama dengan arah dari arus mesh dalam loop itu):

Memecahkan Arus

Memecahkan untuk I₁ , saya₂ , dan saya₃ menggunakan metode persamaan simultan apa pun yang kami sukai:

Contoh: Gunakan Oktaf untuk menemukan solusi untuk I₁ , saya₂ , dan saya₃ dari bentuk persamaan yang disederhanakan di atas.

Solusi: Di Octave, klon Matlab® open-source, masukkan koefisien ke dalam matriks A antara tanda kurung siku dengan elemen kolom dipisahkan koma, dan baris dipisahkan titik koma. Masukkan tegangan ke dalam vektor kolom:b. Arus yang tidak diketahui:I₁ , ₂ , dan saya₃ dihitung dengan perintah:x=A\b. Ini terkandung dalam vektor kolom x.

jembatan batu gandum yang tidak seimbang v1 1 0 r1 1 2 150 r2 1 3 50 r3 2 3 100 r4 2 0 300 r5 3 0 250 .dc v1 24 24 1 .cetak dc v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2,0) v(3,0) .akhir v1 v(1,2) v(1,3) v(3,2) v(2) v(3) 2.400E+01 6.345E+00 4.690E+00 1.655E+00 1.766E+01 1.931E+01