Menguasai Persamaan Simultane: Panduan Langkah demi Langkah Metode Substitusi dan Penjumlahan

Apa itu Persamaan Simultane dan Sistem Persamaan?

Istilah persamaan simultane dan sistem persamaan merujuk pada kondisi di mana dua atau lebih variabel tak dikenal saling terkait melalui jumlah persamaan yang setara.

Contoh:

Untuk kumpulan persamaan ini, hanya ada satu kombinasi nilai untuk x dan y yang akan memenuhi keduanya.

Setiap persamaan, jika dipandang terpisah, memiliki tak hingga solusi (x,y) yang valid, namun bersama-sama hanya ada satu. Demplot pada grafik, kondisi ini menjadi jelas:

Setiap garis sebenarnya adalah himpunan titik yang mewakili pasangan solusi x dan y yang mungkin untuk setiap persamaan.

Setiap persamaan, secara terpisah, memiliki tak hingga pasangan terurut solusi (x,y). Hanya ada satu titik di mana dua fungsi linear x + y = 24 dan 2x - y = -6 bersinggungan (di mana salah satu dari banyak solusi independen mereka berhasil untuk kedua persamaan), dan itu adalah di mana x sama dengan nilai 6 dan y sama dengan nilai 18.

Biasanya, meskipun, penggrafik bukanlah cara yang sangat efisien untuk menentukan himpunan solusi simultane untuk dua atau lebih persamaan. Ini sangat tidak praktis untuk sistem dengan tiga variabel atau lebih.

Dalam sistem tiga variabel, misalnya, solusi akan ditemukan melalui titik persinggungan tiga bidang dalam ruang koordinat tiga dimensi—skenario yang tidak mudah divisualisasikan.

Menyelesaikan Persamaan Simultane Menggunakan Metode Substitusi

Beberapa teknik aljabar tersedia untuk menyelesaikan persamaan simultane.

Mungkin yang paling mudah dipahami adalah metode substitusi.

Ambil, misalnya, masalah contoh dua variabel kita:

Dalam metode substitusi, kita memanipulasi salah satu persamaan sehingga satu variabel didefinisikan dalam hal variabel lainnya:

Kemudian, kita mengambil definisi baru dari satu variabel dan menggantikan (substitusi) untuk variabel yang sama dalam persamaan lainnya.

Dalam kasus ini, kita mengambil definisi y, yaitu 24 - x dan menggantikan ini untuk suku y yang ditemukan dalam persamaan lain:

Sekarang setelah kita memiliki persamaan dengan hanya satu variabel (x), kita dapat menyelesaikannya menggunakan teknik aljabar “normal”:

Sekarang setelah x diketahui, kita dapat memasukkan nilai ini ke dalam salah satu persamaan asli dan mendapatkan nilai untuk y.

Atau, untuk menghemat pekerjaan, kita dapat memasukkan nilai ini (6) ke dalam persamaan yang baru saja kita buat untuk mendefinisikan y dalam hal x, karena sudah dalam bentuk untuk menyelesaikan y:

Menerapkan metode substitusi pada sistem dengan tiga variabel atau lebih melibatkan pola yang sama, hanya dengan lebih banyak pekerjaan.

Ini umumnya benar untuk setiap metode penyelesaian: jumlah langkah yang diperlukan untuk mendapatkan solusi meningkat dengan cepat dengan setiap variabel tambahan dalam sistem.

Untuk menyelesaikan tiga variabel tak dikenal, kita butuh setidaknya tiga persamaan. Pertimbangkan contoh ini:

Karena persamaan pertama memiliki koefisien paling sederhana (1, -1, dan 1, untuk x, y, dan z, masing-masing), rasional untuk menggunakannya untuk mengembangkan definisi satu variabel dalam hal dua variabel lainnya.

Selesaikan x dalam hal y dan z:

Sekarang, kita dapat mengganti definisi x ini di tempat x muncul dalam dua persamaan lainnya:

Mengurangi kedua persamaan ini ke bentuk sederhana:

Sampai saat ini, upaya kita telah mengurangi sistem dari tiga variabel dalam tiga persamaan menjadi dua variabel dalam dua persamaan.

Sekarang, kita dapat menerapkan teknik substitusi lagi pada dua persamaan 4y - z = 4 dan -3y + 4z = 36 untuk menyelesaikan y atau z. Pertama, saya akan memanipulasi persamaan pertama untuk mendefinisikan z dalam hal y:

Selanjutnya, kita akan mengganti definisi z dalam hal y di tempat kita melihat z dalam persamaan lainnya:

Sekarang setelah y adalah nilai yang diketahui, kita dapat memasukkannya ke dalam persamaan yang mendefinisikan z dalam hal y dan mendapatkan angka untuk z:

Sekarang, dengan nilai untuk y dan z yang diketahui, kita dapat memasukkannya ke dalam persamaan tempat kita mendefinisikan x dalam hal y dan z, untuk mendapatkan nilai untuk x:

Untuk menutup, kita telah menemukan nilai untuk x, y, dan z sebesar 2, 4, dan 12, masing-masing, yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.

Menyelesaikan Persamaan Simultane Menggunakan Metode Penjumlahan

Sementara metode substitusi mungkin paling mudah dipahami secara konseptual, ada metode penyelesaian lain yang tersedia bagi kita.

Salah satunya adalah metode yang disebut penjumlahan, di mana persamaan ditambahkan satu sama lain untuk tujuan membatalkan suku variabel.

Mari kita ambil sistem dua variabel kita yang digunakan untuk menunjukkan metode substitusi:

Salah satu aturan aljabar yang paling banyak digunakan adalah bahwa Anda dapat melakukan operasi aritmatika apa pun pada persamaan selama Anda melakukannya secara sama pada kedua sisi.

Sehubungan dengan penjumlahan, ini berarti kita dapat menambahkan kuantitas apa pun pada kedua sisi persamaan—asalkan itu sama kuantitasnya—tanpa mengubah kebenaran persamaan.

Opsi yang kita miliki, maka, adalah untuk menambahkan sisi yang sesuai dari persamaan bersama untuk membentuk persamaan baru.

Karena setiap persamaan adalah ekspresi kesetaraan (kuantitas yang sama di kedua sisi tanda =), menambahkan sisi kiri satu persamaan ke sisi kiri persamaan lainnya valid selama kita juga menambahkan sisi kanan kedua persamaan bersama.

Dalam kumpulan persamaan contoh kita, misalnya, kita dapat menambahkan x + y ke 2x - y, dan menambahkan 24 dan -6 bersama untuk membentuk persamaan baru.

Manfaat apa yang diberikan ini? Periksa apa yang terjadi ketika kita melakukan ini pada kumpulan persamaan contoh kita:

Karena persamaan atas terjadi mengandung suku y positif sementara persamaan bawah terjadi mengandung suku y negatif, kedua suku ini saling membatalkan dalam proses penjumlahan, sehingga tidak ada suku y dalam jumlahnya.

Yang tersisa adalah persamaan baru, tetapi satu dengan hanya satu variabel tak dikenal, x! Ini memungkinkan kita untuk dengan mudah menyelesaikan nilai x:

Setelah kita memiliki nilai yang diketahui untuk x, tentu saja, menentukan nilai y adalah masalah sederhana substitusi (mengganti x dengan angka 6) ke dalam salah satu persamaan asli.

Dalam contoh ini, teknik menambahkan persamaan bersama bekerja baik untuk menghasilkan persamaan dengan satu variabel tak dikenal.

Bagaimana dengan contoh di mana hal-hal tidak begitu sederhana? Pertimbangkan kumpulan persamaan berikut:

Kita dapat menambahkan kedua persamaan ini bersama—yang merupakan operasi aljabar yang sepenuhnya valid—tetapi ini tidak akan menguntungkan kita dalam tujuan mendapatkan nilai untuk x dan y:

Persamaan yang dihasilkan masih berisi dua variabel tak dikenal, sama seperti persamaan asli, dan jadi kita tidak lebih maju dalam mendapatkan solusi.

Namun, bagaimana jika kita dapat memanipulasi salah satu persamaan sehingga memiliki suku negatif yang akan membatalkan suku yang sama dalam persamaan lain saat ditambahkan?

Maka, sistem akan terreduksi menjadi satu persamaan dengan satu variabel tak dikenal sama seperti dengan contoh terakhir (beruntung).

Jika kita hanya dapat mengubah suku y dalam persamaan bawah menjadi suku - 2y, sehingga ketika kedua persamaan ditambahkan bersama, kedua suku y dalam persamaan akan membatalkan, sehingga hanya tersisa suku x, ini akan mendekatkan kita ke solusi.

Untungnya, ini tidak sulit dilakukan. Jika kita mengalikan setiap suku dari persamaan bawah dengan -2, ini akan menghasilkan hasil yang kita cari:

Sekarang, kita dapat menambahkan persamaan baru ini ke persamaan atas asli:

Menyelesaikan x, kita mendapatkan nilai 3:

Mengganti nilai baru ini untuk x ke dalam salah satu persamaan asli, nilai y dengan mudah ditentukan:

Menggunakan teknik penyelesaian ini pada sistem tiga variabel sedikit lebih kompleks.

Sama seperti substitusi, Anda harus menggunakan teknik ini untuk mengurangi sistem tiga persamaan tiga variabel menjadi dua persamaan dengan dua variabel, lalu menerapkannya lagi untuk mendapatkan satu persamaan dengan satu variabel tak dikenal.

Untuk mendemonstrasikan, saya akan menggunakan sistem persamaan tiga variabel dari bagian substitusi:

Karena persamaan atas memiliki nilai koefisien 1 untuk setiap variabel, ini akan menjadi persamaan yang mudah dimanipulasi dan digunakan sebagai alat pembatalan.

Misalnya, jika kita ingin membatalkan suku 3x dari persamaan tengah, yang perlu kita lakukan hanyalah mengambil persamaan atas, mengalikan setiap suku dengan -3, lalu menambahkannya ke persamaan tengah seperti ini:

Kita dapat menghilangkan suku -5x dari persamaan bawah dengan cara yang sama: ambil persamaan atas asli, kalikan setiap suku dengan 5, lalu tambahkan persamaan yang dimodifikasi ini ke persamaan bawah, sehingga menghasilkan persamaan baru dengan hanya suku y dan z:

Titik ini, kita memiliki dua persamaan dengan dua variabel tak dikenal yang sama, y dan z:

Dengan inspeksi, haruslah jelas bahwa suku -z dari persamaan atas dapat digunakan untuk membatalkan suku 4z dalam persamaan bawah jika hanya kita kalikan setiap suku dari persamaan atas dengan 4 dan tambahkan kedua persamaan bersama:

Mengambil persamaan baru 13y = 52 dan menyelesaikan y (dengan membagi kedua sisi dengan 13), kita mendapatkan nilai 4 untuk y.

Mengganti nilai 4 ini untuk y dalam salah satu dari dua persamaan variabel memungkinkan kita untuk menyelesaikan z.

Mengganti kedua nilai y dan z ke dalam salah satu dari persamaan tiga variabel asli memungkinkan kita untuk menyelesaikan x.

Hasilnya adalah x = 2, y = 4, dan z = 12.

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Persamaan Simultane untuk Analisis Rangkaian