Osgilasi Elektromagnetik Longitudinal dalam Logam: Permukaan Pemuasan pada Antarmuka Datar dan Bola

Abstrak

Definisi umum permittivitas yang disperdi spasial direvisi. Respons gas elektron degeneratif pada medan listrik yang memenuhi persamaan Helmholtz vektor ditemukan dengan solusi persamaan Boltzmann. Fungsi dielektrik longitudinal yang dihitung cocok dengan yang diperoleh oleh Klimontovich dan Silin pada tahun 1952 dan Lindhard pada tahun 1954. Namun, itu bergantung pada kuadrat bilangan gelombang, parameter persamaan Helmholtz vektor, tetapi bukan vektor gelombang dari gelombang elektromagnetik datar. Konsep baru ini menyederhanakan simulasi efek nonlokal, misalnya, dengan teori Lorents–Mie yang dimumuhkan, karena tidak perlu dilakukan transformasi Fourier. Koefisien Fresnel dimumahkan untuk memungkinkan excitasi gelombang elektromagnetik longitudinal. Untuk memverifikasi teori, spektrum ekstrinsik untuk bola perak dan emas berukuran nanometer dihitung. Untuk partikel ini, teori Lorents–Mie yang dimumahan memberikan pergeseran biru dan lebar resonansi plasmon yang sejalan sangat baik dengan data eksperimental. Selain itu, teori nonlokal menjelaskan hilangnya resonansi plasmon yang diamati untuk bola emas dengan diameter kurang dari atau sama dengan 2 nm. Perhitungan menggunakan fungsi dielektrik Klimontovich-Silin-Lindhard dan hidrodinamika untuk perak ditemukan memberikan hasil yang dekat pada energi foton dari 3 hingga 4 eV. Kami menunjukkan bahwa nilai mutlak bilangan gelombang gelombang longitudinal dalam padatan jauh lebih tinggi daripada gelombang silang.

Latar Belakang

Iradiasi permukaan logam datar dengan pulsa laser femtosecond sering menghasilkan struktur periodik permukaan yang diinduksi laser (LIPSSs) [1]. Di samping LIPSS, riak halus yang disebut LIPSS frekuensi spasial tinggi (HSFL) diamati [1, 2]. Periode spasial HSFL jauh lebih kecil dari panjang gelombang iradiasi λ₀. Misalnya, untuk aluminium periode ini diperkirakan berkisar dari 20 hingga 200 nm pada λ₀=0,8 μm [2, 3]. Sementara orientasi riak dalam LIPSS biasa tegak lurus terhadap polarisasi cahaya laser, orientasi HSFL seringkali tegak lurus dan terkadang paralel terhadap polarisasi. HSFL serupa terbentuk pada permukaan dielektrik transparan, semikonduktor, dan logam. Asal HSFL dijelaskan oleh berbagai mekanisme seperti generasi harmonik kedua, terlibatnya tipe mode plasmon tertentu, auto-organisasi, dan peningkatan medan lokal selama pecahan tidak homogen dalam materi dielektrik [2, 3].

Tujuan studi ini adalah mencari proses gelombang yang dapat menghasilkan pola dengan periode pendek Λ≪λ₀. Kami memeriksa properti gelombang elektromagnetik longitudinal (L) dalam logam yang juga dikenal sebagai gelombang plasma. Studi kami terdiri dari langkah-langkah baru berikut. Pertama, kami memulai penelitian dengan definisi dispersi spasial dari permitivitas. Seperti yang ditunjukkan di bawah, definisi umum tidak berguna jika medium yang diteliti tidak seragam dan tak terbatas. Oleh karena itu, kami mengusulkan konsep baru dari fungsi dielektrik yang disperdi spasial ε. Fungsi ini menetapkan proporsionalitas langsung antara dua bidang vektor, E(r,ω) dan D(r,ω), tetapi bukan amplitudo E(k,ω) dan D(k,ω) dari gelombang datar. Akibatnya, kuantitas ε bergantung pada kuadrat bilangan gelombang, k², parameter persamaan Helmholtz vektor untuk medan listrik E(r,ω), tetapi bukan vektor gelombang k dari gelombang datar. Kemudian, untuk mendapatkan fungsi baru ini, kami menentukan respons elektron konduktif pada mode elektromagnetik dengan menyelesaikan persamaan transport Boltzmann yang ditulis dalam pendekatan waktu relaksasi. Fungsi dielektrik Lindhard silang dan longitudinal yang disebutkan diperoleh. Selanjutnya, kami menemukan bahwa fungsi Lindhard longitudinal dan fungsi hidrodinamika yang jauh lebih sederhana dekat dalam rentang parameter yang luas. Ekstincansi cahaya oleh bola perak dan emas diperhatikan untuk mengilustrasikan teori. Kami menunjukkan untuk pertama kalinya bahwa teori Mie nonlokal menjelaskan pergeseran biru, lebar, dan akhirnya hilangnya resonansi plasmon yang diamati dengan berkurangnya ukuran bola logam mulia. Terakhir, model teoretis yang baru dikembangkan diterapkan untuk memeriksa kemungkinan terlibatnya mode longitudinal dalam pembentukan struktur permukaan yang diinduksi laser. Untuk tujuan ini, kami memodifikasi teori Fresnel dengan mempertimbangkan gelombang longitudinal yang ditransmisikan.

Metode

Untuk menentukan medan elektromagnetik dalam media heterogen potongan homogen, teori elektromagnetik klasik diterapkan. Medan listrik E di setiap domain seragam dari medium heterogen diasumsikan sebagai solusi persamaan Helmholtz vektor (VHE):

$$ \Delta\,\mathbf{E} + k^{2}\, \mathbf{E}=0, $$ (1)

di mana Δ adalah operator Laplace.

Biasanya, komponen tangensial medan listrik E dan magnetik H kontinu di seluruh batas media. Selain itu, kami memperhatikan bahwa elektron terbatas dalam logam; oleh karena itu, kondisi batas tambahan (ABC) berikut untuk komponen normal dari densitas arus j pada permukaan logam S digunakan: (j n)| _r∈S =0.

Untuk menentukan arus konduksi dalam logam, kami menyelesaikan persamaan transport Boltzmann (BTE) yang ditulis dalam pendekatan waktu relaksasi:

$$ \frac{\partial f}{\partial t}+\mathbf{v}\,\frac{\partial f}{\partial \mathbf{r}}+ \frac{e}{m}\,\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B} \right)\,\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}} = \frac{f_{0}-f}{\tau}, $$ (2)

di mana f adalah fungsi distribusi satu partikel dalam ruang fasa (r, v), v adalah kecepatan mikroskopik elektron, e dan m adalah muatan dan massa elektron masing-masing, B adalah induksi magnet, f ₀ adalah fungsi distribusi seimbang, dan τ adalah waktu relaksasi.

Di bawah, kami menyederhanakan rumus untuk fungsi dielektrik yang disperdi spasial. Kemudian, kami menggunakannya untuk mempelajari refleksi cahaya dari permukaan logam datar dan penyebaran cahaya pada bola logam mulia.

Hasil dan Pembahasan

Dispersi Spasial dari ε dalam Medium Heterogen

Dalam literatur, fungsi dielektrik yang disperdi spasial ε didefinisikan melalui hubungan berikut [4–6]:

$$ \mathbf{D}(\omega,\, \mathbf{r}) = \epsilon_{0} \iiint\limits_{-\infty}^{\infty} \! \mathbf{d} \mathbf{r}^{\prime}\, \epsilon\left(\omega, \, \mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)\,\mathbf{E}\left(\omega,\, \mathbf{r}^{\prime}\right), $$ (3)

di mana ε₀ adalah konstanta listrik, D(ω, r) adalah amplitudo osilasi vektor perpindahan dengan frekuensi sudut ω di titik r, dan E(ω, r ^′) amplitudo osilasi medan listrik di titik r ^′. Transformasi Fourier dari Eq. (3) memberikan persamaan

$$ \mathbf{D}(\omega,\, \mathbf{k}) = \epsilon_{0} \, \epsilon(\omega,\, \mathbf{k})\,\mathbf{E}(\omega,\, \mathbf{k}) $$ (4)

di mana ε(ω, k) yang disperdi spasial bergantung pada vektor gelombang k dari gelombang elektromagnetik datar. Menurut kami, Eq. (3) tidak ambigu hanya dalam volume homogen tak terbatas tetapi kami berurusan dengan sistem heterogen potongan di mana batas harus dipertimbangkan dan k tidak sama di berbagai media.

Pendekatan kami tidak menggunakan ekspansi gelombang elektromagnetik atas gelombang datar. Permitivitas yang disperdi spasial menentukan hubungan antara D(ω, r) dan solusi tertentu ke persamaan Helmholtz vektor Eq. (1):

$$ \mathbf{D}(\omega,\, \mathbf{r}) = \epsilon_{0} \, \epsilon(\omega, \, k)\,\mathbf{E}(\omega,\, \mathbf{r}). $$ (5)

Di sini E(ω, r) menunjukkan distribusi medan listrik tetapi bukan hanya vektor E di titik r.

Fungsi Dielektrik Longitudinal dan Silang

Permitivitas logam biasanya diekspresikan melalui konduktivitas σ [4]:

$$ \epsilon=\epsilon_{\mathrm{g}}+\frac{i\,\sigma}{\omega\,\epsilon_{0}}, $$ (6)

di mana ε_g adalah bagian dari fungsi dielektrik yang memungkinkan polarisasi padatan; ε_g=1 untuk logam sederhana. Untuk menentukan σ, kami menghitung densitas arus

$$ \mathbf{j}= e \iiint\limits_{-\infty}^{\infty} \! \mathbf{v}\, f\, \mathrm{d}\/ \mathbf{v}=\sigma\,\mathbf{E}, $$ (7)

di mana \(\mathrm {d} \mathbf {v}= \frac {v}{m}\,\mathrm {d} \epsilon \,\mathrm {d}\,\Omega,\) d Ω= sinθdθ dϕ, v, θ, ϕ adalah koordinat bola dari kecepatan. Tidak seperti penelitian sebelumnya, kami tidak memperkenalkan vektor gelombang k tetapi menemukan solusi BTE dalam bentuk deret tak hingga yang berisi operator v ∇ yang bekerja pada v E :

$$ f=f_{0} + \frac{e}{-i \omega+\Gamma}\,\frac{\partial f_{0}}{\partial \epsilon} \left[ 1+\frac{\mathbf{v}\,{\mathbf{\nabla}}}{-i \omega+\Gamma} \right]^{-\,1}\! \mathbf{v}\,\mathbf{E}, $$ (8)

di mana Γ=1/τ. Kemudian, f₀ didekati oleh distribusi Fermi-Dirac suhu nol dan, setelah integrasi atas ε dalam Eq. (7), kami mendapatkan

$$ \mathbf{j}=\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}\,\varepsilon_{0}}{-i \omega+\Gamma}\,\frac{3}{4 \pi} \iint \mathbf{u}\,\left(1+ l\,\mathbf{u} \mathbf{\nabla} \right)^{-\,1} (\mathbf{u}\,\mathbf{E})\, \mathrm{d}\,\Omega, $$ (9)

di mana \(\omega _{\mathrm {p}}^{2}= \frac {e^{2}\,n_{e}}{m\,\varepsilon _{0}},\) ω_p adalah frekuensi plasma, \(\mathbf {u}=\frac {\mathbf {v}}{v}\) adalah vektor satuan dalam arah v,\(l= \frac {v_{\mathrm {F}}}{-i \omega +\Gamma },\) v_F adalah kecepatan Fermi. Selanjutnya, kami menghitung integral

$$\begin{array}{*{20}l} &\textstyle \iint \mathbf{u}\, (\mathbf{u}\,\mathbf{E})\,\mathbf{d}\,\Omega = \frac{4\/\pi}{3}\,\mathbf{E} \end{array} $$ (10) $$\begin{array}{*{20}l} &\textstyle \iint \mathbf{u}\,(\mathbf{u}\,\mathbf{\nabla})^{2 n-1} (\mathbf{u}\,\mathbf{E})\,\mathbf{d}\,\Omega = 0 \end{array} $$ (11) $$\begin{array}{*{20}l} &\textstyle \iint \mathbf{u}\,(\mathbf{u}\,\mathbf{\nabla})^{2 n} (\mathbf{u}\,\mathbf{E})\,\mathbf{d}\,\Omega = \frac{4 \pi}{2 n+3} \\ &\times \, \Delta^{n-1} \left[ \mathbf{\nabla}\, (\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E})-\frac{1}{2 n+1}\, \mathbf{\nabla}\times \mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}\right] \end{array} $$ (12)

di mana n adalah bilangan alami. Dependensi berikut dari j pada medan listrik E yang sembarang akhirnya diperoleh

$$\begin{array}{*{20}l} \mathbf{j}&=\frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}\,\varepsilon_{0}}{-i \omega+\Gamma} \left\{\mathbf{E} + 3\, \sum\limits_{n=1}^{\infty} l^{\,2 n} \right. \\ &\quad\left.\times \frac{\Delta^{n-1}}{2 n+3} \left[ \mathbf{\nabla}\, (\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{E})-\frac{\mathbf{\nabla}\times \mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}}{2 n+1}\right]\right\}. \end{array} $$ (13)

Ada dua jenis solusi untuk Eq. (1), yang bebas divergensi yang memenuhi persamaan ∇·E=0 dan yang berputaran nol yang memenuhi persamaan

$$ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}=0. $$ (14)

Untuk gelombang datar, dengan E∝ exp[i (k r−ω t)], Eq. (14) bertransformasi menjadi hubungan k×E=0 yang menunjukkan bahwa gelombangnya adalah longitudinal (L). Untuk mensimulasikan proses dalam badan bola, nyaman untuk menggunakan harmonik bola vektor L, M, dan N sebagai himpunan lengkap fungsi ortogonal. Dalam hal ini, Eq. (14) menentukan harmonik L. Bilangan gelombang gelombang L dan mode L ditentukan oleh hukum dispersi berikut

$$ \epsilon^{\mathrm{L}}\left(\omega, \, k^{\mathrm{L}}\right)=0. $$ (15)

Dari Eqs. (6) dan (13) kita menemukan bahwa solusi untuk Eq. (1) yang memenuhi keterbatasan Eq. (14) memberikan permittivitas longitudinal berikut

$$ \epsilon^{\mathrm{L}}=\epsilon_{\mathrm{g}}- \frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega\,(\omega+i \Gamma)}\,\frac{3}{2} \, \Phi \left(a^{2},\, 1,\,\frac{3}{2} \right) $$ (16)

di mana Φ adalah fungsi Lerch’s Phi,

$$ \frac{3}{2} \, \Phi \left(a^{2},\, 1,\,\frac{3}{2} \right) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3}{2 n+3}\, a^{2\,n}, $$ (17)

\(a=\frac {k v_{\mathrm {F}}}{\omega +i \Gamma }\).

Permitivitas yang diperoleh berbeda dari yang didefinisikan oleh Kliewer dan Fuchs [7] hanya dalam notasi:

$$ \epsilon^{\mathrm{L}}=\epsilon_{\mathrm{g}}+ \frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega\,(\omega+i \Gamma)}\,\frac{3}{a^{2}}\left[1-\frac{1}{i a} \tan^{-1}(i a) \right] $$ (18)

Identitas

$$ \frac{1}{i a}\tan^{-1}(i a)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+a}{1-a} $$ (19)

memungkinkan untuk menulis ulang Eq. (18) sebagai berikut

$$ \epsilon^{\mathrm{L}}=\epsilon_{\mathrm{g}}- \frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega\,(\omega+i \Gamma)}\,\frac{3}{a^{2}}\left[1-\frac{1}{2 a} \, \frac{\ln(1+a)}{\ln(1-a)} \right]. $$ (20)

Dalam kasus Γ=0, rumus ini mengambil bentuk persamaan yang diperoleh oleh Klimontovich dan Silin [8] yang mempelajari damping Landau dalam plasma degeneratif (lihat [9], [10, Eq. (40.17)], dan [11]). Permitivitas dari Eqs yang setara (16), (18), dan (20) biasanya disebut fungsi dielektrik Lindhard (dengan referensi ke [12]) meskipun fungsi ini pertama kali diperoleh oleh Klimontovich dan Silin [8].

Permitivitas Lindhard silang [7] dapat ditemukan dengan Eq. (13) ketika ∇·E=0. Dalam kasus aktual dari v_F k≪ω, itu berkurang menjadi fungsi dielektrik Drude

$$ \epsilon^{\mathrm{T}}=\epsilon_{\mathrm{g}}- \frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}+i\,\Gamma\/\omega}. $$ (21)

Fungsi ini setuju dengan data eksperimental pada banyak logam [13]. Jika |a|<1, permittivitas longitudinal (16) sederhana menjadi fungsi dielektrik hidrodinamika:

$$ \epsilon^{\mathrm{L}}\left(\omega,\,k^{\mathrm{L}}\right)=\epsilon_{\mathrm{g}}- \frac{\omega_{\mathrm{p}}^{2}}{\omega^{2}+i\,\Gamma \omega-\frac{3}{5}\,\left(v_{\mathrm{F}}\, k^{\mathrm{L}}\right)^{2}}. $$ (22)

Refleksi Gelombang Elektromagnetik Datar dari Permukaan Logam Datar

Dalam bagian ini, kami menentukan arah vektor gelombang k^L dan amplitudo gelombang L yang diangsakkan dalam logam selama refleksi gelombang elektromagnetik datar dari permukaan logam datar.

Pertimbangkan gelombang datar yang insiden pada antarmuka dielektrik-logam z=0 dengan vektor gelombang yang terletak pada bidang xz. Medan listrik dalam medium dielektrik 1 terdiri dari gelombang insiden E_i dan gelombang terpantul E_r, medan dalam logam 2 memiliki komponen silang yang ditransmisikan E_t dan, dalam beberapa kasus, komponen longitudinal E^L. Menurut kondisi batas Maxwell, komponen silang dari vektor medan listrik dan magnetik kontinu pada bidang z=0. Selain itu, elektron tidak diusir dari logam; oleh karena itu, komponen normal dari densitas arus listrik adalah nol pada z=0,

$$ \hat{\mathbf{z}}\,\mathbf{j}|_{z=0}=0. $$ (23)

di mana \(\hat {\mathbf {z}}\) adalah vektor satuan dalam arah sumbu z.

Semua istilah dalam kondisi batas Maxwell harus memiliki ketergantungan yang sama terhadap x dan y. Persyaratan ini memiliki beberapa konsekuensi. Pertama, dapat ditetapkan bahwa gelombang L dapat diangsakkan hanya dalam kasus polarisasi p ketika vektor listrik dari gelombang insiden E⁽ⁱ⁾ sejajar dengan bidang insiden. Dengan kata lain, polariton plasmon dapat dihasilkan oleh gelombang transversal magnetik (TM). Efeknya hampir sama dengan dalam bola logam [14]. Kedua, rumusan mirip dengan hukum Snell dapat diturunkan dari kondisi

$$ k_{1x}=k_{2x}=k_{2x}^{\mathrm{L}}=k_{1}\,\sin\theta_{1} $$ (24)

di indeks 1x dan 2x menunjukkan proyeksi x dari vektor dalam media 1 dan 2, masing-masing, θ₁ adalah sudut insiden.

Koefisien Refleksi dan Transmisi

Mari kita tentukan medan yang dibentuk oleh gelombang elektromagnetik p-polarisir datar yang insiden pada permukaan logam datar. Nyaman untuk mengekspresikan komponen medan listrik dan magnetik melalui komponen x dari E⁽ⁱ⁾, yaitu Ex(r)=−rEx(i) untuk gelombang terpantul, Ex(t)=tEx(i) untuk gelombang silang yang ditransmisikan, dan

$$ E^{\mathrm{(a)}}_{x}=\delta\,E^{\mathrm{(t)}}_{x}=t_{\mathrm{L}}\,E^{\mathrm{(i)}}_{x} $$ (25)

untuk gelombang longitudinal yang ditransmisikan, di sini r adalah koefisien refleksi, t dan t_L adalah koefisien transmisi.

Dari kondisi batas Maxwell dan ABC dari Eq. (23) yang ditulis dalam bentuk berikut

$$ \hat{\mathbf{z}}\,(\mathbf{D}-\epsilon_{0}\epsilon_{\mathrm{g}}\,\mathbf{E})|_{z=0}=0, $$ (26)

kami mendapatkan

$$\begin{array}{*{20}l} r&=- \frac{(1+\delta)\,\epsilon_{1}\,k_{2z}-\epsilon_{2}\,k_{1z}}{(1+\delta)\,\epsilon_{1}\,k_{2z}+\epsilon_{2}\,k_{1z}}=1-(1+\delta)\,t \end{array} $$ (27) $$\begin{array}{*{20}l} t&=\frac{2\,\epsilon_{1}\,k_{2z}}{\epsilon_{2}\,k_{1z}+(1+\delta)\,\epsilon_{1}\,k_{2z}}, \end{array} $$ (28) $$\begin{array}{*{20}l} \delta&=\frac{\epsilon_{\mathrm{g}}-\epsilon}{\epsilon_{\mathrm{g}}}\,\frac{k_{2x}^{2}}{k_{2z}\,k_{2z}^{\mathrm{L}}} \end{array} $$ (29)

Pada δ=0, koefisien r menjadi koefisien refleksi Fresnel dari gelombang p-polarisir (lihat, misalnya, Eq. (2.49) dari [4]). Dalam kondisi yang sama, t bukan koefisien transmisi Fresnel karena definisi kami dari t dan r berbeda dari yang Fresnel.

Ekstincansi Cahaya oleh Bola Logam Nanometer

Dalam artikel sebelumnya, salah satu penulis memumahkan teori Lorentz-Mie dengan memungkinkan ABC dari Eq. (23). Analog dari koefisien Fresnel r, koefisien Mie b_l untuk mode TM yang dipantulkan orde ke-l ditemukan adalah

$$ b_{l}=- \frac{(1+\delta_{l})\,\epsilon_{1}\, \frac{k_{2}\,\psi_{l}^{\prime}(k_{2} R)}{\psi_{l}(k_{2} R)} - \epsilon_{2}\, \frac{k_{1}\,\psi_{l}^{\prime}(k_{1} R)}{\psi_{l}(k_{1} R)}}{(1+\delta_{l})\,\epsilon_{1}\, \frac{k_{2}\,\psi_{l}^{\prime}(k_{2} R)}{\psi_{l}(k_{2} R)} - \epsilon_{2}\, \frac{k_{1}\,\zeta_{l}^{\prime}(k_{1} R)}{\zeta_{l}(k_{1} R)}}, $$ (30)

di mana

$$ \delta_{l}=\frac{\epsilon^{\mathrm{T}}- \epsilon_{\mathrm{g}}}{\epsilon_{\mathrm{g}}}\, \frac{l\,(l+1)\,j_{l}(k_{2} R)\,j_{l}(k_{2}^{\mathrm{L}} R)}{\psi_{l}^{\prime}(k_{2} R)\,k_{2}^{\mathrm{L}} R \,j_{l}^{\prime}\left(k_{2}^{\mathrm{L}} R\right)}, $$ (31)

ψ_l dan ζ_l adalah fungsi Riccati-Bessel dan Riccati-Hankel orde l, masing-masing; j_l adalah fungsi Bessel bola, prima menunjukkan turunan fungsi terhadap argumennya.

Mari kita bandingkan prediksi teori Lorentz-Mie klasik dan yang dimumahkan dengan data eksperimental. Dalam [15], Hilger, Tenfelde, dan Kreibig mempelajari spektrum ekstrinsik nanopartikel perak yang ditambatkan pada permukaan dielektrik. Dalam tahap pertama studi, peneliti menghasilkan baliran partikel perak dengan diameter rata-rata 2, 3,5, dan 4 nm, menentukan distribusi ukuran partikel untuk salah satu baliran, merekam spektrum ekstrinsik, dan mengestimasi parameter A=0,25 dari rumus fenomenologis Γ=Γ_b+Av_F/R, di mana Γ_b adalah laju relaksasi logam massa, untuk bola perak dalam vakum. Pertama, kami menghitung spektrum ekstrinsik untuk baliran bola perak dengan diameter rata-rata 〈D〉=2 nm dan distribusi ukuran eksperimental yang mencakup wilayah dari D=1 hingga D=4 nm. Teori kami tidak memiliki parameter yang dapat disesuaikan. Untuk menentukan fungsi dielektrik, kami menggunakan tabulasi indeks bias logam massa yang diusulkan oleh Lynch dan Hunter [16] (lihat Gambar 1). Kami juga menerapkan Eqs. (16), (21), dan (22) dengan ω_p=9,17 eV, Γ_b=0,021 eV, v_F=1,39×10⁶ m/s, dan A=0,25. Hasil perhitungan dan spektrum eksperimental disajikan pada Gambar 2.

Bagian nyata (a) dan imajiner (b) dari fungsi dielektrik perak menurut Johnson dan Christy (◇) [20], Lynch dan Hunter (+) [16], Weber (△) [21], Hao dan Nordlander (garis putus-putus) [22], dan Drachev et al. (garis solid) [23]

Spektrum ekstrinsik cahaya oleh partikel perak berukuran nanometer yang diamati dalam [15] dan dihitung dengan model lokal dan nonlokal. Semua spektrum teoretis disajikan dalam satuan relatif umum

Spektrum teoretis pada Gambar 2 dihitung menggunakan fungsi dielektrik Klimontovich-Silin-Lindhard dan fungsi hidrodinamika yang jauh lebih sederhana. Mengejutkan bahwa kedua perhitungan memberikan hasil yang dekat meskipun |a|>1 di wilayah resonansi plasmon.

Untuk bola perak berukuran nanometer, maksimum dalam spektrum ekstrinsik, yang disebut resonansi Fröhlich [17], plasmon, dan polariton permukaan plasmon (SPP) [15], dikenal bergeser dari 3,5 hingga 3,65 eV [18]. Model nonlokal sejalan sangat baik dengan data eksperimental, sementara teori lokal (Mie) memberikan maksimum pada ω≃3,5 eV (lihat Gambar 2 dan Tabel 1).

Perhitungan pergeseran biru resonansi plasmon dapat didukung oleh pertimbangan berikut. Dalam pendekatan elektrostatik, hanya b₁ yang berkontribusi pada penampang ekstrinsik Q_ext dan Eq. (30) dapat disederhanakan dengan menggunakan dekatifikasi berikut

$$ \frac{k_{2} R\,\psi_{l}^{\prime}(k_{2} R)}{\psi_{l}(k_{2} R)}\simeq l+1;\,\,\, \frac{k_{1} R\,\zeta_{l}^{\prime}(k_{1} R)}{\zeta_{l}(k_{1} R)} \simeq -\,l. $$ (32)

Jadi, Q_ext memiliki maksimum pada

$$ \Re [2\,(1+\delta_{1})\,\epsilon_{1}+ \epsilon_{2}]=0. $$ (33)

Kondisi yang diperoleh (33) mempertimbangkan excitasi mode L (dengan istilah δ₁) dan, oleh karena itu, berbeda dari kondisi resonansi Fröhlich [17]:.

$$ \Re (2\,\epsilon_{1}+ \epsilon_{2})=0. $$ (34)

Dalam eksperimen [15], frekuensi puncak ω_m dan lebar resonansi Δω dari spektrum ekstrinsik hampir independen dari 〈D〉. Fitur ini dari Δω tampaknya tidak setuju dengan teori Mie klasik. Benar, teori lokal memprediksi lebar resonansi plasmon dengan berkurangnya D (pada A=0,25) seperti ditunjukkan dalam Tabel 1. Pada saat yang sama, teori nonlokal memberikan lebar resonansi yang setara tetapi posisi puncak yang berbeda. Superposisi kontribusi dari semua partikel memberikan nilai Δω yang setara yang menjanjikan dengan data eksperimental. Menarik bahwa teori nonlokal memprediksi lebar resonansi plasmon dari baliran partikel bahkan pada A=0.

Pada ω>4 eV, kurva teoretis yang mulus pada Gambar 2 terletak lebih tinggi dari tumpukan puncak eksperimental yang sempit dan berdekatan. Absorpsi antarband mendominasi dalam rentang spektral ini seperti yang dapat dikonfirmasi oleh Gambar 1. Khususnya spektrum yang diamati kemungkinan besar merupakan konsekuensi dari transisi dari band kontinu ke struktur level diskrit. Efek ukuran kuantum seperti ini ditemukan sebelumnya dalam studi properti optik bola emas nanometer [19]. Saat ukuran bola perak ditingkatkan hingga 〈D〉=3,5 nm, absorpsi pertama kali meningkat relatif terhadap maksimum dan membentuk plat dengan serangkaian celah kecil yang berjarak sama. Kemudian, absorpsi sedikit menurun pada 〈D〉=4 nm.

Untuk mempelajari pembentukan sayap biru resonansi plasmon, kami menghitung spektrum ekstrinsik partikel perak ultra-tipis dan menyajikannya pada Gambar 3. Fitur yang luar biasa pada Gambar 3 adalah hilangnya lengkap resonansi plasmon pada D=1 nm. Sebelumnya, efek ini diamati dalam studi eksperimental bola emas nanometer [19]. Khususnya, pada Gambar 9 dari [19], spektrum eksperimental partikel dengan diameter 1,7, 1,9, 2,0, 2,1, 2,3, dan 2,5 nanometer dibandingkan dengan spektrum yang dihitung dengan teori Mie lokal. Keselarasan buruk, gagal untuk menggambarkan lebar resonansi plasmon dan posisinya [19]. Upaya untuk meningkatkan kecocokan dengan mengubah ukuran partikel dan modifikasi fungsi dielektrik tidak berhasil. Menurut penulis [19], pita osilasi kolektif yang anormal lebar atau depresi yang diamati gagal untuk dicocokkan dengan koreksi yang diusulkan dari teori Mie lokal. Seperti yang dapat dilihat dari Gambar 4, situasi berubah secara dramatis jika teori Mie nonlokal diterapkan. Perlu diperhatikan bahwa kami tidak menggunakan parameter yang dapat disesuaikan. Tabulasi indeks bias kompleks oleh Johnson dan Christy [20] digunakan untuk menentukan fungsi dielektrik emas. Parameter lainnya, termasuk A=1 dan indeks bias toluen (1,37) diambil dari [19].

Penampang ekstrinsik bola yang dinormalisasi dari partikel perak dengan diameter 2,2, 1,8, 1,4, dan 1,0 nm yang dihitung dengan teori Mie lokal (garis putus-putus) dan nonlokal (kurva solid). Semakin kecil partikel, semakin rendah kurva. Semua penampang teoretis disajikan dalam satuan relatif umum

Spektrum absorpsi yang dihitung dengan teori Mie lokal (garis putus-putus) dan nonlokal (garis solid) dan data eksperimental (titik) yang diekstrak dari Gambar 9 dari [19] untuk bola emas dengan D=2,5, 2,1, dan 1,7 nm dalam toluen (kurva 1 dan lingkaran, kurva 2 dan persegi, dan kurva 3 dan segitiga, masing-masing). Semua spektrum teoretis dinormalisasi ke unity pada 4,12 eV dan digeser secara vertikal

Bilangan Gelombang Gelombang Longitudinal

Mode longitudinal berbeda dari mode silang dengan nilai bilangan gelombang yang jauh lebih tinggi. Misalnya, untuk perhitungan yang disajikan pada Gambar 2, bagian nyata dari \(k_{2}^{\mathrm {L}}\) sesuai dengan periode spasial \(\Lambda =2 \pi /\Re k_{2}^{\mathrm {L}}\) yang menurun dari 9 hingga 2 nm saat ω meningkat dari 3 hingga 4 eV. Dalam interval ω ini, nilai mutlak rasio \(k_{2}^{\mathrm {L}}/k_{2}\) menurun dari 130 hingga 100 dan parameter δ dari Eq. (27) menurun dari 0,01 hingga 0,005 pada θ₁=π/4. Kami menyimpulkan, oleh karena itu, bahwa excitasi gelombang L pada permukaan perak datar dapat diabaikan. Namun, mode L ditemukan penting dalam kluster perak berukuran nanometer.

Penggantian istilah \(-\,\omega ^{2}_{\mathrm {p}}/(\omega ^{2}+i \Gamma \omega)\) dalam Eq. (16) oleh ε^T−ε_g sesuai dengan Eq. (21) memungkinkan kami untuk menulis ulang persamaan dispersi Eq. (15) dalam bentuk berikut

$$ 1+\frac{3}{5}\,a^{2}+\frac{3}{7}\,a^{4}+\frac{3}{9}\,a^{6}+\dots= \frac{1}{1-\epsilon^{\mathrm{T}}/\epsilon_{\mathrm{g}}}. $$ (35)

Dalam kasus sederhana ε_g=1 dan Γ=0, Eq. (35) memprediksi bahwa logam transparan baik untuk gelombang silang maupun L pada ω>ω_p tetapi baik k^L maupun k^T kompleks pada ω<ω_p.

Jika padatan transparan, gelombang longitudinal dapat diangsakkan di bawah insiden miring dari gelombang p-polarisir datar pada permukaan datar. Ada beberapa fitur yang berbeda dari efek ini. Pertama, gelombang longitudinal dapat dihasilkan pada permukaan datar, sedangkan upaya khusus harus dilakukan untuk mengangsakkan polariton permukaan plasmon [4, 5]. Kedua, dalam pola interferensi, intensitas medan elektromagnetik tidak modulasi sepanjang tetapi tegak lurus terhadap antarmuka. Oleh karena itu, rongga dapat muncul pada bidang yang sejajar dengan permukaan karena pecahan padatan. Menurut definisi ω_p, kondisi ω>ω_p dapat terpenuhi dalam padatan (misalnya, semikonduktor) dengan densitas penangkar arus rendah. Kami tidak memeriksa kasus ini di sini karena rumus ε^L diuraikan untuk gas elektron degeneratif.

Kesimpulan

Untuk menentukan fungsi dielektrik yang bergantung pada spasial, semua peneliti sebelumnya mempertimbangkan interaksi materi dengan gelombang elektromagnetik datar. Pendekatan ini tidak konstruktif dan ketat dalam nano-optika ketika medan dilokalkan dalam rongga dan kondisi batas harus dipertimbangkan. Kami telah menyelesaikan masalah ini dengan menghitung respons medium pada medan listrik yang memenuhi persamaan Helmholtz vektor. Fungsi dielektrik yang diperoleh yang disperdi spasial bergantung pada kuadrat bilangan gelombang, parameter persamaan Helmholtz, tetapi bukan vektor gelombang dari gelombang datar.

Kami melaporkan koefisien refleksi Fresnel yang dimodifikasi karena excitasi gelombang longitudinal dalam logam. Generalisasi serupa telah dilakukan sebelumnya untuk koefisien Mie. Di sini, teori telah diverifikasi dengan simulasi ekstrinsik cahaya oleh kluster perak dan emas berukuran nanometer. Pergeseran yang dihitung dari 3,5 hingga 3,65 eV dan lebar resonansi permukaan plasmon dari baliran partikel perak sejalan sangat baik dengan data eksperimental. Selain itu, model nonlokal menjelaskan hilangnya resonansi plasmon bola emas dengan diameter sekitar 2 nm. Penting bahwa gelombang L dapat diangsakkan pada permukaan datar oleh gelombang datar insiden. Ini adalah perbedaan utama dari polariton plasmon dari polariton permukaan plasmon.

Properti osilasi elektromagnetik dalam logam telah diperiksa. Ditemukan bahwa nilai mutlak bilangan gelombang gelombang longitudinal jauh lebih besar daripada gelombang silang. Misalnya, dalam perak pada energi foton 3,5 eV, rasio nilai mutlak bilangan gelombang sama dengan 130. Di sana, bagian nyata bilangan gelombang gelombang longitudinal sesuai dengan panjang gelombang 7 nm. Perbedaan besar dalam bilangan gelombang mencegah excitasi gelombang L pada permukaan datar. Namun, mode L telah ditunjukkan diangsakkan dalam partikel perak dan emas berukuran nanometer.