Sifat Osilasi Elektromagnetik Longitudinal pada Logam dan Eksitasinya pada Permukaan Planar dan Bulat

Hasil dan Diskusi

Dispersi Spasial ε dalam Media Heterogen

Dalam literatur, fungsi dielektrik dispersif spasial ε didefinisikan melalui relasi berikut [4–6]:

dimana ε ₀ adalah konstanta listrik, D (ω , r ) adalah amplitudo osilasi vektor perpindahan dengan frekuensi sudut ω di titik r , dan E (ω , r ^′ ) amplitudo osilasi medan listrik di titik r ^′ . Transformasi Fourier dari Persamaan. (3) berikan persamaan

di mana dispersi spasial ε (ω , k ) bergantung pada vektor gelombang k dari gelombang elektromagnetik bidang. Menurut pendapat kami, Persamaan. (3) tidak ambigu hanya dalam volume homogen tak terbatas tetapi kita berurusan dengan sistem heterogen sepotong-sepotong di mana batas-batas harus diperhitungkan dan k tidak sama di media yang berbeda.

Pendekatan kami tidak menggunakan perluasan gelombang elektromagnetik di atas gelombang bidang. Permitivitas dispersi spasial menentukan hubungan antara D (ω , r ) dan solusi khusus untuk vektor Helmholtz Persamaan. (1):

Di sini E (ω , r ) menunjukkan distribusi medan listrik tetapi bukan hanya vektor E di titik r .

Fungsi Dielektrik Membujur dan Transversal

Permitivitas logam biasanya dinyatakan melalui konduktivitas σ [4]:

dimana ε _g adalah bagian dari fungsi dielektrik yang memungkinkan terjadinya polarisasi padatan; ε _g =1 untuk logam sederhana. Untuk menentukan σ , kami menghitung kerapatan arus

di mana \(\mathrm {d} \mathbf {v}=\frac {v}{m}\,\mathrm {d} \epsilon \,\mathrm {d}\,\Omega,\) d ​​Ω =dosaθ dθ dϕ , v , θ , ϕ adalah koordinat bola dari kecepatan. Tidak seperti penelitian sebelumnya, kami tidak memperkenalkan vektor gelombang k tetapi menemukan solusi BTE dalam bentuk deret tak hingga yang mengandung operator v ∇ bertindak atas v E :

dimana Γ =1/τ . Lalu, f ₀ didekati dengan distribusi Fermi-Dirac suhu nol dan, setelah integrasi lebih dari ε dalam Persamaan. (7), kita mendapatkan

di mana \(\omega _{\mathrm {p}}^{2}=\frac {e^{2}\,n_{e}}{m\,\varepsilon _{0}},\) _p adalah frekuensi plasma, \(\mathbf {u}=\frac {\mathbf {v}}{v}\) adalah vektor satuan dalam arah v ,\(l=\frac {v_{\mathrm {F}}}{-i \omega +\Gamma },\) v _B adalah kecepatan Fermi. Selanjutnya, kami menghitung integral

dimana n adalah bilangan asli. Ketergantungan berikut dari j dengan sewenang-wenang medan listrik E akhirnya diperoleh

Ada dua jenis solusi untuk Persamaan. (1), bebas divergensi yang memenuhi persamaan ∇ ·E =0 dan tanpa rotasi yang memenuhi persamaan

Untuk gelombang bidang, dengan E exp[i (k r ω t )], Persamaan. (14) ditransformasikan ke dalam relasi k ×E =0 yang menunjukkan bahwa gelombangnya membujur (L). Untuk mensimulasikan proses dalam tubuh bola, akan lebih mudah untuk menggunakan harmonik bola vektor L , M , dan N sebagai satu set lengkap fungsi ortogonal. Dalam hal ini, Persamaan. (14) menentukan harmonik L . Bilangan gelombang dari gelombang L dan L mode ditentukan oleh hukum dispersi berikut

Dari Persamaan. (6) dan (13) kami menemukan bahwa solusi untuk Persamaan. (1) memenuhi kendala Persamaan. (14) berikan permitivitas longitudinal berikut

dimana Φ adalah fungsi Phi Lerch,

\(a=\frac {k v_{\mathrm {F}}}{\omega +i \Gamma }\).

Permitivitas yang diperoleh berbeda dari yang didefinisikan oleh Kliewer dan Fuchs [7] hanya dalam notasi:

Identitas

memungkinkan seseorang untuk menulis ulang Persamaan. (18) sebagai berikut

Dalam kasus Γ =0, rumus ini mengambil bentuk persamaan yang diturunkan oleh Klimontovich dan Silin [8] yang mempelajari dumping Landau dalam plasma degenerasi (lihat [9], [10, Persamaan (40.17)], dan [11]). Permitivitas dari Persamaan setara. (16), (18), dan (20) biasa disebut fungsi dielektrik Lindhard (dengan mengacu pada [12]) meskipun fungsi ini pertama kali diperoleh oleh Klimontovich dan Silin [8].

Permitivitas Lindhard melintang [7] dapat ditemukan dengan Persamaan. (13) ketika ∇ ·E =0. Dalam kasus sebenarnya v _B k ω , ini mengurangi fungsi dielektrik Drude

Fungsi ini sesuai dengan data eksperimen pada banyak logam [13]. Jika |a |<1, permitivitas longitudinal (16) disederhanakan menjadi fungsi dielektrik hidrodinamik:

Pemantulan Gelombang Elektromagnetik Bidang dari Permukaan Logam Datar

Kondisi Batas

Pada bagian ini, kita menentukan arah vektor gelombang k ^L dan amplitudo gelombang L yang tereksitasi dalam logam selama pantulan gelombang elektromagnetik bidang dari permukaan logam datar.

Pertimbangkan insiden gelombang bidang pada antarmuka dielektrik-logam z =0 dengan vektor gelombang terletak di xz pesawat. Medan listrik dalam media dielektrik 1 terdiri dari kejadian E _i dan mencerminkan E _r gelombang, medan pada logam 2 memiliki transversal E _t dan, dalam beberapa kasus, memanjang E ^L komponen. Menurut kondisi batas Maxwell, komponen transversal dari vektor medan listrik dan magnet kontinu dalam bidang z =0. Selain itu, elektron tidak dikeluarkan dari logam; oleh karena itu, komponen normal rapat arus listrik adalah nol pada z =0,

adalah \(\hat {\mathbf {z}}\) adalah vektor satuan dalam arah z sumbu.

Semua suku dalam kondisi batas Maxwell harus memiliki ketergantungan yang sama pada x dan y . Persyaratan ini memiliki beberapa konsekuensi. Pertama, dapat ditentukan bahwa gelombang L dapat tereksitasi hanya dalam kasus polarisasi p ketika vektor listrik dari gelombang datang E ^{(i )} adalah sejajar dengan bidang datang. Dengan kata lain, polariton plasmon dapat dibangkitkan oleh gelombang magnetik transversal (TM). Efeknya hampir sama seperti di bola logam [14]. Kedua, rumus yang mirip dengan hukum Snell dapat diturunkan dari kondisi

di mana indeks 1x dan 2x menunjukkan x -proyeksi vektor di media 1 dan 2, masing-masing, θ ₁ adalah sudut datang.

Koefisien Refleksi dan Transmisi

Mari kita tentukan medan yang dibentuk oleh insiden gelombang elektromagnetik terpolarisasi bidang p pada permukaan logam datar. Lebih mudah untuk mengekspresikan komponen medan listrik dan magnet melalui x komponen E ^{(i )} , yaitu E x (r)=− r E x (i) untuk gelombang pantul, E x (t)=t E x (i) untuk gelombang transversal yang ditransmisikan, dan

untuk gelombang longitudinal yang ditransmisikan, di sini r adalah koefisien refleksi, t dan t _L adalah koefisien transmisi.

Dari kondisi batas Maxwell dan ABC dari Persamaan. (23) ditulis dalam bentuk berikut

kami mendapat

Di δ =0, koefisien r menjadi koefisien Fresnel refleksi dari gelombang terpolarisasi p (lihat, misalnya, Persamaan (2.49) dari [4]). Dalam kondisi yang sama, t bukan koefisien transmisi Fresnel karena definisi kami tentang t dan r berbeda dari Fresnel.

Kepunahan Cahaya oleh Nanosfer Logam

Dalam makalah sebelumnya, salah satu penulis menggeneralisasi teori Lorentz-Mie yang memungkinkan persamaan ABC. (23). Sebuah analog dari koefisien Fresnel r , koefisien Mie b _l untuk mode TM yang dipantulkan dari l urutan th ditemukan

dimana

ψ _l dan ζ _l adalah fungsi Riccati-Bessel dan Riccati-Hankel dari ordo l , masing-masing; j _l adalah fungsi Bessel berbentuk bola, prima menunjukkan turunan dari suatu fungsi sehubungan dengan argumennya.

Mari kita bandingkan prediksi teori Lorentz-Mie klasik dan umum dengan data eksperimen. Dalam [15], Hilger, Tenfelde, dan Kreibig mempelajari spektrum kepunahan nanopartikel perak yang disimpan pada permukaan dielektrik. Pada penelitian tahap pertama, peneliti membuat berkas partikel perak dengan diameter rata-rata 2, 3,5, dan 4 nm, menentukan distribusi ukuran partikel untuk salah satu berkas, merekam spektrum kepunahan, dan menaksir parameter A =0,25 rumus fenomenologis Γ =Γ _b +A v _B /R , di mana Γ _b adalah tingkat relaksasi logam curah, untuk bola perak dalam ruang hampa. Pertama, kami menghitung spektrum kepunahan untuk seberkas bola perak dengan diameter rata-rata D =2 nm dan distribusi ukuran eksperimental yang membentang wilayah dari D =1 sampai D =4nm. Teori kami tidak mengandung parameter yang dapat disesuaikan. Untuk menentukan fungsi dielektrik, kami menggunakan tabulasi indeks bias perak curah yang diusulkan oleh Lynch dan Hunter [16] (lihat Gambar 1). Kami juga menerapkan Persamaan. (16), (21), dan (22) dengan ω _p =9,17 eV, Γ _b =0,021 eV, v _B =1,39×10 ⁶ m/s, dan A =0,25. Hasil perhitungan dan spektrum eksperimen disajikan pada Gambar 2.

Nyata (a ) dan imajiner (b ) bagian dari fungsi dielektrik perak menurut Johnson dan Christy (◇) [20], Lynch dan Hunter (+) [16], Weber (△) [21], Hao dan Nordlander (garis putus-putus ) [22], dan Drachev et al. (garis padat ) [23]

Spektrum kepunahan cahaya oleh partikel berukuran nanometer perak diamati pada [15] dan dihitung dengan model lokal dan nonlokal. Semua spektrum teoretis disajikan dalam unit relatif umum

Spektrum teoritis pada Gambar. 2 dihitung menggunakan Klimontovich-Silin-Lindhard dan fungsi dielektrik hidrodinamika yang lebih sederhana. Mengejutkan bahwa kedua perhitungan memberikan hasil yang mendekati meskipun |a |>1 di wilayah resonansi plasmon.

Untuk bola perak berukuran nanometer, maksimum dalam spektrum kepunahan, yang disebut resonansi Fröhlich [17], plasmon, dan plasmon polariton permukaan (SPP) [15], diketahui bergeser dari 3,5 menjadi 3,65 eV [18]. Model nonlokal sangat sesuai dengan data eksperimen, sedangkan teori lokal (Mie) memberikan nilai maksimum pada ω 3.5 eV (lihat Gambar 2 dan Tabel 1).

Perhitungan pergeseran biru dari resonansi plasmon dapat didukung oleh pertimbangan berikut. Dalam pendekatan elektrostatik, hanya b ₁ berkontribusi pada penampang kepunahan Q _eks dan Persamaan. (30) dapat disederhanakan dengan menggunakan pendekatan berikut

Jadi, Q _eks memiliki maksimum pada

Kondisi yang diperoleh (33) memperhitungkan eksitasi L mode (dengan istilah δ ₁ ) dan, oleh karena itu, berbeda dari kondisi resonansi Fröhlich [17]:.

Dalam percobaan [15], frekuensi puncak ω _m dan lebar resonansi Δ ω spektrum kepunahan hampir tidak tergantung pada D . Fitur Δ . ini ω tampaknya tidak setuju dengan teori Mie klasik. Sungguh, teori lokal memprediksi perluasan resonansi plasmon dengan penurunan D (di A =0,25) seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1. Pada saat yang sama, teori nonlokal memberikan lebar resonansi yang kira-kira sama tetapi posisi puncaknya berbeda. Superposisi kontribusi dari semua partikel memberikan nilai Δ ω yang sangat sesuai dengan data eksperimen. Sangat menarik bahwa teori nonlokal memprediksi perluasan resonansi plasmon sinar bahkan pada A =0.

Di ω>4 eV, kurva teoritis halus pada Gambar. 2 terletak lebih tinggi dari tumbukan puncak eksperimental sempit yang terletak dekat. Penyerapan antar pita mendominasi dalam rentang spektral ini seperti yang dapat dikonfirmasikan oleh Gambar 1. Kekhususan spektrum yang diamati kemungkinan besar merupakan konsekuensi dari transisi dari pita kontinum ke struktur tingkat diskrit. Efek ukuran kuantum seperti itu ditemukan sebelumnya dalam studi tentang sifat optik nanosfer emas [19]. Ketika ukuran bola perak ditingkatkan menjadi D =3,5 nm, penyerapan pertama meningkat relatif terhadap maksimum dan membentuk dataran tinggi dengan serangkaian dips kecil yang berjarak sama. Kemudian, penyerapan sedikit menurun pada D =4 nm.

Untuk mempelajari pembentukan sayap biru resonansi plasmon, kami menghitung spektrum kepunahan partikel perak ultra-timah dan menyajikannya pada Gambar. 3. Fitur luar biasa pada Gambar 3 adalah hilangnya resonansi plasmon sepenuhnya pada D =1nm. Sebelumnya, efek ini diamati dalam studi eksperimental nanospheres emas [19]. Secara khusus, pada Gambar. 9 dari [19], spektrum eksperimental partikel dengan diameter 1.7, 1.9, 2.0, 2.1, 2.3, dan 2,5 nanometer dibandingkan dengan spektrum dihitung dengan teori Mie lokal. Kesepakatan itu buruk, gagal untuk menggambarkan perluasan resonansi plasmon dan posisinya [19]. Upaya untuk meningkatkan kecocokan dengan memvariasikan ukuran partikel dan modifikasi fungsi dielektrik tidak berhasil. Menurut penulis [19], pita osilasi kolektif yang lebar atau tertekan yang diamati secara abnormal menolak untuk dipasangi dengan koreksi yang diusulkan dari teori Mie lokal. Seperti dapat dilihat dari Gambar 4, situasi berubah secara dramatis jika teori Mie nonlokal diterapkan. Perhatikan bahwa kami tidak menggunakan parameter yang dapat disesuaikan. Tabulasi indeks bias kompleks oleh Johnson dan Christy [20] digunakan untuk menentukan fungsi dielektrik emas. Parameter lainnya, termasuk A =1 dan indeks bias toluena (1,37) diambil dari [19].

Penampang kepunahan ternormalisasi partikel perak dengan diameter 2,2, 1,8, 1,4, dan 1,0 nm dihitung dengan lokal (garis putus-putus ) dan nonlokal (kurva padat ) Teori mie. Semakin kecil partikelnya, semakin rendah kurvanya. Semua penampang teoretis disajikan dalam satuan relatif umum

Spektrum serapan dihitung dengan lokal (garis putus-putus ) dan nonlokal (garis padat ) Teori mie dan data eksperimen (titik ) diekstraksi dari Gambar 9 dari [19] untuk bola emas dengan D =2.5, 2.1, dan 1.7 nm dalam toluena (kurva 1 dan lingkaran , kurva 2 dan persegi , dan kurva 3 dan segitiga , masing-masing). Semua spektrum teoretis dinormalisasi menjadi satu pada 4,12 eV dan dipindahkan secara vertikal

Jumlah Gelombang dari Gelombang Membujur

Modus longitudinal berbeda dari yang transversal dengan nilai bilangan gelombang yang jauh lebih tinggi. Misalnya, untuk perhitungan yang disajikan pada Gambar 2, bagian real \(k_{2}^{\mathrm {L}}\) sesuai dengan periode spasial \(\Lambda =2 \pi /\Re k_{ 2}^{\mathrm {L}}\) menurun dari 9 menjadi 2 nm di ω meningkat dari 3 menjadi 4 eV. Dalam ω . ini interval, nilai absolut rasio \(k_{2}^{\mathrm {L}}/k_{2}\) menurun dari 130 menjadi 100 dan parameter δ dari Persamaan. (27) menurun dari 0,01 menjadi 0,005 di θ ₁ =π /4. Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa eksitasi gelombang L pada permukaan perak datar dapat diabaikan. Namun, L mode telah ditemukan penting dalam cluster perak berukuran nanometer.

Penggantian istilah \(-\,\omega ^{2}_{\mathrm {p}}/(\omega ^{2}+i \Gamma \omega)\) dalam Persamaan. (16) oleh ε ^B ε _g menurut Persamaan. (21) memungkinkan kita untuk menulis ulang Persamaan dispersi. (15) dalam bentuk berikut

Dalam kasus paling sederhana ε _g =1 dan Γ =0, Persamaan. (35) memprediksi bahwa logam transparan untuk gelombang transversal dan L di ω>ω _p tapi keduanya k ^L dan k ^B kompleks di ω <ω _p .

Jika padatan transparan, gelombang longitudinal dapat tereksitasi di bawah insiden miring gelombang terpolarisasi p pada permukaan bidang. Ada beberapa fitur yang berbeda dari efek ini. Pertama, gelombang longitudinal dapat dihasilkan pada permukaan datar, sedangkan upaya khusus harus dilakukan untuk membangkitkan polariton plasmon permukaan [4, 5]. Kedua, dalam pola interferensi, intensitas medan elektromagnetik dimodulasi tidak sepanjang tetapi tegak lurus terhadap antarmuka. Oleh karena itu, rongga dapat muncul pada bidang yang sejajar dengan permukaan akibat spalasi padatan. Menurut definisi ω _p , kondisi ω>ω _p dapat dipenuhi dalam padatan (misalnya, semikonduktor) dengan kepadatan pembawa arus yang rendah. Kami tidak memeriksa kasus ini di sini karena rumus ε ^L diturunkan untuk gas elektron yang terdegenerasi.