Memahami Diagram Venn: Memvisualisasikan Himpunan

Ahli matematika menggunakan diagram Venn untuk menunjukkan hubungan logis antara himpunan (koleksi objek) satu sama lain. Mungkin Anda telah melihat diagram Venn dalam studi aljabar atau matematika lainnya Anda. Jika demikian, Anda mungkin ingat lingkaran yang tumpang tindih dan gabungan serta irisan himpunan.

Kami akan meninjau lingkaran yang tumpang tindih dari diagram Venn. Kami akan mengadopsi istilah OR dan AND alih-alih gabungan dan irisan karena itu adalah terminologi yang digunakan dalam elektronika digital.

Diagram Venn menghubungkan aljabar Boolean dari bab sebelumnya ke Peta Karnaugh. Kami akan menghubungkan apa yang Anda ketahui tentang aljabar Boolean ke diagram Venn, lalu bertransisi ke peta Karnaugh.

Sebuah himpunan adalah koleksi objek dari suatu alam semesta seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Anggota himpunan adalah objek yang terkandung dalam himpunan. Anggota himpunan biasanya memiliki sesuatu yang sama; meskipun, ini bukanlah persyaratan.

Di luar alam semesta bilangan real, misalnya, himpunan semua bilangan bulat positif {1,2,3…} adalah himpunan. Himpunan {3,4,5} adalah contoh himpunan yang lebih kecil, atau himpunan bagian dari himpunan semua bilangan bulat positif. Contoh lain adalah himpunan semua pria dari alam semesta mahasiswa. Dapatkah Anda memikirkan beberapa contoh himpunan lainnya?

Di atas kiri, kita memiliki diagram Venn yang menunjukkan himpunan A dalam lingkaran dalam alam semesta U, area persegi panjang. Jika semuanya di dalam lingkaran adalah A, maka apa pun di luar lingkaran bukan A. Jadi, di atas tengah, kita melabeli area persegi panjang di luar lingkaran A sebagai A-bukan alih-alih U. Kami menunjukkan B dan B-bukan dengan cara yang sama.

Apa yang terjadi jika baik A maupun B terkandung dalam alam semesta yang sama? Kami menunjukkan empat kemungkinan.

Mari kita lihat lebih dekat masing-masing dari empat kemungkinan seperti yang ditunjukkan di atas.

Contoh pertama menunjukkan bahwa himpunan A dan himpunan B tidak memiliki apa pun bersama menurut diagram Venn. Tidak ada tumpang tindih antara daerah lingkaran A dan B yang diagarai. Misalnya, anggap bahwa himpunan A dan B memiliki anggota berikut:

 set A = {1,2,3,4} 
set B = {5,6,7,8}

Tidak ada anggota himpunan A yang terkandung dalam himpunan B, dan juga tidak ada anggota B yang terkandung dalam A. Oleh karena itu, tidak ada tumpang tindih lingkaran.

Dalam contoh kedua di diagram Venn di atas, Himpunan A sepenuhnya terkandung dalam Himpunan B. Bagaimana kita bisa menjelaskan situasi ini? Anggap bahwa himpunan A dan B memiliki anggota berikut:

 set A = {1,2} 
set B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Semua anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B. Oleh karena itu, himpunan A adalah himpunan bagian dari Himpunan B. Karena semua anggota himpunan A adalah anggota himpunan B, himpunan A digambar sepenuhnya dalam batas himpunan B.

Ada kasus kelima, tidak ditampilkan, dengan empat contoh. Petunjuk: itu mirip dengan contoh terakhir (keempat). Gambarkan diagram Venn untuk kasus kelima ini.

Contoh ketiga di atas menunjukkan tumpang tindih sempurna antara himpunan A dan himpunan B. Tampak seperti kedua himpunan memiliki anggota yang identik sama. Anggap bahwa himpunan A dan B memiliki berikut:

 set A = {1,2,3,4} 
set B = {1,2,3,4}

Oleh karena itu,

 Himpunan A = Himpunan B

Himpunan A dan B identik sama karena keduanya memiliki anggota yang sama. Daerah A dan B dalam diagram Venn yang sesuai di atas tumpang tindih sepenuhnya. Jika ada keraguan tentang apa yang diwakili pola di atas, lihat gambar di atas atau di bawah untuk yakin tentang bagaimana daerah lingkaran terlihat sebelum mereka ditumpangtindihi.

Contoh keempat di atas menunjukkan bahwa ada sesuatu yang bersama antara himpunan A dan himpunan B di daerah yang tumpang tindih. Misalnya, kita secara sembarang memilih himpunan berikut untuk mengilustrasikan poin kita:

 set A = {1,2,3,4} 
set B = {3,4,5,6}

Himpunan A dan Himpunan B keduanya memiliki elemen 3 dan 4 bersama. Elemen ini adalah alasan tumpang tindih di tengah yang bersama untuk A dan B. Kita perlu melihat situasi ini lebih dekat.