Memahami Hubungan Boolean dengan Diagram Venn
Ilustrasi keempat menunjukkan himpunan A yang sebagian tumpang tindih himpunan B. Kami pertama-tama mempertimbangkan area agarai penuh yang mewakili gabungan kedua himpunan, dan kemudian mengisolir irisan.
Di bawah kiri, daerah agarai horizontal merah menandai A; daerah agarai vertikal biru menandai B.
Ketika kita menggabungkan semua daerah agarai—terlepas dari gaya agarai—daerah yang dihasilkan sesuai dengan fungsi OR inklusif dari A dan B. Ekspresi Boolean adalah A + B.
Dalam diagram, pita agarai 45° mewakili gabungan. Apa pun di luar daerah agarai ini adalah komplement, (A + B)'.
Selanjutnya, kita memeriksa irisan dari A dan B. Zona agarai ganda di kiri mewakili fungsi AND eksklusif, diekspresikan sebagai AB. Daerah di luar daerah agarai ganda adalah (AB)'.
Perhatikan bahwa beberapa elemen dari A termasuk dalam (AB)', dan demikian pula untuk B. Namun, tidak ada elemen dari (AB)' yang terletak dalam daerah AB yang diagarai ganda.
Contoh kedua diulang di kiri. Contoh kelima, yang di sketsa sebelumnya, muncul di kanan untuk perbandingan. Dalam bagian-bagian selanjutnya kita akan mengidentifikasi elemen yang sepenuhnya terkandung dalam himpunan lain menggunakan peta Karnaugh.
Kami sekarang memperkenalkan ekspresi Boolean yang mencakup variabel yang dikomplementasi.
Contoh: Visualisasikan ekspresi A'B (A NOT AND B) dengan diagram Venn.
Solusi: Mulai dari kiri atas, agarai A' dengan agarai horizontal merah. Di kanan atas, agarai B dengan agarai vertikal biru. Daerah yang tumpang tindih di kiri bawah mewakili A'B. Sebagian besar siswa menggambarkan seluruh area agarai ganda di kanan untuk kejelasan. Komplement (A'B)' adalah area tanpa agarai di luar daerah ini.
Kami kemudian menangani operasi OR dengan variabel yang dikomplementasi.
Contoh: Tentukan daerah untuk B' + A.
Solusi: Di kanan, mulai dengan B, agarai, lalu komplementasikan menjadi B'. Tempelkan A di atasnya. Gabungan semua daerah agarai, terlepas dari gaya, memberikan A + B'. Ini ditunjukkan sebagai satu daerah agarai di kiri untuk kejelasan.
Contoh: Temukan komplement (A + B')’.
Solusi: Daerah putih bersih dalam diagram kiri sesuai dengan (A + B')’. Pita agarai 45° hijau sebelumnya mengilustrasikan gabungan A + B'. Membandingkan komplement dengan daerah agarai ganda AB' di kanan menunjukkan bahwa kedua bentuknya identik, mengonfirmasi teorema De Morgan dan doble negasi.
Diagram Venn memberikan pemeriksaan visual yang intuitif tetapi tidak merupakan bukti formal; aljabar Boolean diperlukan untuk verifikasi yang ketat. Meskipun demikian, mereka sangat berharga untuk mengilustrasikan konsep seperti teorema De Morgan.
Contoh: Gambarkan ekspresi A' + B' pada diagram Venn.
Solusi: Agarai A' dengan agarai horizontal merah dan B' dengan agarai vertikal biru. Gambar yang dihasilkan menunjukkan semua daerah yang mengandung setidaknya satu agarai, sesuai dengan A' + B'. Daerah yang tidak diagarai satu-satunya adalah tumpang tindih tengah dari lingkaran asli.
Contoh: Visualisasikan (A' + B')’.
Solusi: Ruang putih tengah mewakili komplement dari diagram sebelumnya. Ini tepatnya daerah (A' + B')’.
Contoh: Verifikasi bahwa (A' + B')’ = AB.
Solusi: Diagram kiri bawah menunjukkan daerah terbuka untuk (A' + B')’. Diagram kiri dan tengah menggambarkan irisan agarai ganda AB. Mereka cocok sempurna, mengonfirmasi identitas melalui teorema De Morgan dan doble negasi.
Akhirnya, kami menyajikan diagram Venn tiga variabel dengan A (merah), B (biru), dan C (hijau 45°). Daerah tengah di mana ketiganya tumpang tindih mewakili ABC. Zona berbentuk kelopak yang lebih besar mengilustrasikan irisan berpasangan: AB, AC, dan BC. Seiring bertambahnya variabel dalam istilah AND, daerah yang sesuai semakin menyusut: A sendiri adalah lingkaran besar; AB adalah kelopak yang lebih kecil; ABC adalah yang terkecil.
- A (1 variabel): daerah lingkaran besar.
- AB (2 variabel): daerah berbentuk kelopak yang lebih kecil.
- ABC (3 variabel): daerah terkecil.
- Semakin banyak variabel → semakin kecil daerah AND.
