Estimasi Penyimpanan Energi Superkapasitor Berdasarkan Persamaan Diferensial Fraksi

Abstrak

Dalam makalah ini, hasil baru dengan hanya menggunakan pengukuran tegangan pada terminal superkapasitor untuk estimasi akumulasi energi disajikan. Untuk tujuan ini, studi yang didasarkan pada penerapan model orde fraksional dari rangkaian pengisian/pengosongan superkapasitor dilakukan. Estimasi parameter model kemudian digunakan untuk menilai jumlah energi yang terakumulasi dalam superkapasitor. Hasil yang diperoleh dibandingkan dengan energi yang ditentukan secara eksperimental dengan mengukur tegangan dan arus pada terminal superkapasitor. Semua pengujian diulang untuk berbagai bentuk dan parameter sinyal input. Konsistensi yang sangat tinggi antara hasil estimasi dan eksperimen sepenuhnya mengkonfirmasi kesesuaian pendekatan yang diusulkan dan dengan demikian penerapan kalkulus fraksional untuk pemodelan penyimpanan energi superkapasitor.

Latar Belakang

Sampai hari ini, superkapasitor adalah komponen utama dari banyak perangkat dan sistem, misalnya, daya cadangan dan sistem pemulihan listrik serta aplikasi otomotif, kendaraan hibrida, dan banyak lainnya. Kemampuan untuk mengakumulasi muatan tanpa reaksi kimia membuat elemen tersebut memiliki jumlah siklus pengisian/pengosongan ratusan kali lebih tinggi dibandingkan dengan baterai biasa [1]. Selain itu, tingkat pengisian/pengosongan yang tinggi membuatnya efektif untuk aplikasi dalam sistem pemulihan energi yang digunakan misalnya dalam transportasi atau sumber energi terbarukan [2, 3]. Dalam semua aplikasi ini, parameter kuncinya adalah informasi tentang jumlah energi yang terakumulasi dalam superkapasitor [4, 5]. Sayangnya, hubungan terkenal untuk kapasitor tipikal yang memungkinkan untuk menentukan informasi, yaitu (1/2)C U ² , tidak dapat digunakan [6]. Jumlah energi yang terakumulasi tidak dapat ditentukan berdasarkan tegangan pada terminal kapasitor saja. Alasan utama untuk ini adalah proses difusi yang terkait dengan redistribusi muatan [1, 7]. Inilah sebabnya mengapa banyak peneliti telah mencoba untuk menentukan model superkapasitor yang memungkinkan memperkirakan perilaku sistem nyata. Saat ini, peneliti terutama mengadopsi kombinasi elemen elektronik yang khas, misalnya, RC segi empat atau kombinasi seri dan paralel dari elemen-elemen tersebut. Namun, semua model ini mengasumsikan hubungan antara arus dan tegangan superkapasitor pada terminalnya dalam bentuk persamaan diferensial orde integer yang khas [3–5, 7].

Tetapi ternyata beberapa kemungkinan yang sama sekali baru untuk estimasi energi dalam sistem seperti itu dapat diperoleh dengan penerapan kalkulus fraksional [8, 9]. Kalkulus diferensial-integral noninteger-order diusulkan lebih dari 300 tahun yang lalu, tetapi masalah implementasi penting terkait dengan munculnya komputer dan penggunaannya dalam pemodelan sistem dinamis waktu diskrit [10-14]. Penerapan kalkulus fraksional untuk masalah estimasi parameter superkapasitor bukanlah masalah baru. Ada banyak publikasi di bidang ini [15-25]. Penulis melakukan tugas memperkirakan parameter di domain frekuensi dan waktu [26].

Makalah ini adalah versi lanjutan dari presentasi konferensi penulis [27], di mana pendekatan orde pecahan telah diperkenalkan secara singkat untuk memperkirakan energi yang terakumulasi dalam superkapasitor.

Estimasi akurat dari parameter superkapasitor juga sangat penting dalam menilai keandalannya [28-31]. Proses degradasi permanen di dalam superkapasitor dapat mengubah resistansi seri dan kapasitansi yang setara. Dengan demikian, penentuan parameter ini secara akurat, berdasarkan metode yang diusulkan, juga memungkinkan penilaian kinerja kapasitor secara akurat.

Makalah ini dimulai dengan beberapa pendahuluan yang terkait dengan integrasi dan diferensiasi orde pecahan. Selanjutnya, menyajikan metode estimasi parameter yang digunakan selama pengujian dan mengusulkan metode perhitungan energi baru berdasarkan kalkulus fraksional. Bagian Hasil dan Diskusi menyajikan energi yang dihitung untuk berbagai skenario dan membandingkannya dengan nilai referensi (terukur). Kesimpulan dan kontribusi dirangkum di bagian Kesimpulan.

Metode

Penggunaan material berpori pada superkapasitor dan cara akumulasi muatan yang spesifik menyebabkan pendekatan tradisional berdasarkan model turunan orde bilangan bulat tidak cukup akurat. Banyak peneliti telah mengusulkan berbagai solusi dalam bentuk kombinasi tipikal RC elemen dengan nilai konstan atau variabel [4, 7]. Tetapi ternyata presisi yang lebih baik dapat diperoleh dengan menggunakan kalkulus diferensial orde bilangan bulat untuk mendefinisikan hubungan antara arus dan tegangan superkapasitor [17, 19]. Selain itu, solusi seperti itu dapat menghasilkan struktur model yang sangat sederhana, sekaligus memberikan akurasi yang sangat tinggi [18].

Perbedaan Orde Pecahan– Kalkulus Integral

Kalkulus diferensial orde pecahan telah dikenal selama lebih dari 300 tahun. Namun, hanya beberapa tahun terakhir telah membawa popularitasnya dalam pemodelan fenomena dan proses fisik. Diyakini bahwa deskripsi dinamika dengan turunan atau integral dari orde noninteger dapat menjadi salah satu metode yang paling efektif untuk pemodelan sifat nyata dari banyak fenomena kompleks dan proses industri, terutama yang didasarkan pada bahan dan teknologi baru [10, 12, 13] , 32–34].

Kalkulus diferensial orde integral atau bukan bilangan bulat adalah generalisasi dari kalkulus klasik ke orde α yang termasuk dalam himpunan bilangan real $\mathcal {R}$. Operator diferensial–integral orde $\alpha \in \mathcal {R}$ dari fungsi f (t ) pada kisaran [a ,t ] dapat ditulis sebagai berikut

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)=\left\{ {\begin{array}{lcl} {\frac{\mathrm {d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} &\text{for} &\alpha>0\\ f( t) &\text{untuk} &\alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} &\textrm {untuk} &\alpha<0,\\ \end{array}} \benar. $$ (1)

dengan asumsi bahwa fungsi f (t ) dapat didiferensialkan dan diintegralkan berkali-kali. Adapun operator (1), ada banyak definisi realisasinya. Definisi tersebut berbeda dalam sifat dan bidang aplikasi. Yang paling populer adalah definisi Riemann–Liouville, Caputo dan Grünwald–Letnikov (GL) [34]. Yang terakhir akan digunakan dalam makalah ini dalam bentuk

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) ={\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha} } \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh) , $$ (2)

dimana binomial $\alpha \choose j$ didefinisikan sebagai berikut

$$ {\alpha \choose j}=\left\{ \begin{array}{lll} 1 &\textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha -j+1)}{j!} &\teks{untuk} &j>0. \end{array} \benar. $$ (3)

Untuk mendapatkan model pecahan pada momen waktu diskrit, definisi GL dalam bentuk diskrit disederhanakan sebagai

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) =\frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j }{\alpha \pilih j}f(tj). $$ (4)

Ada beberapa skema diskritisasi untuk GL Eq. (4). Yang paling populer termasuk perbedaan mundur (Euler), trapesium (Tustin), dan operator Al Alaoui. Menggunakan metode Euler, turunan pecahan pada momen waktu diskrit k dapat disajikan sebagai

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j }{\alpha \pilih j}f(kj),\; k=0,1,\ltitik. $$ (5)

Jumlah tak terhingga dari sampel sebelumnya harus dalam sistem nyata terbatas pada nilai hingga karena memori yang terbatas dan waktu kalkulasi yang terbatas. Sekarang, aproksimasi waktu diskrit terpotong atau panjang hingga dari GL adalah

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\ alpha \pilih j}f(kj),\; k=0,1,\ltitik, $$ (6)

dimana f (l )=0 untuk l <0 dan L adalah panjang model (6) [23]. Pengurangan jumlah sampel mengakibatkan penurunan akurasi perhitungan. Ini penting untuk sistem yang beroperasi dalam waktu yang terus menerus. Beberapa jenis solusi lainnya adalah algoritme yang mendekati integral diferensial fraksional dengan model orde bilangan bulat. Contohnya adalah filter rekursif Oustaloup [35]. Model panjang hingga yang efektif lainnya adalah FFLD, yang merupakan kombinasi dari model terpotong (6) dan perbedaan berbasis Laguarre [24, 36, 37].

Semua hasil identifikasi serta pengukuran energi diperoleh berdasarkan semua sampel di jendela pengamatan (panjang) L , yaitu, dengan akurasi maksimum. Gambar 1 menyajikan respon langkah integrasi dan diferensiasi yang diperoleh berdasarkan (6), untuk k =0,1,…,L dan untuk berbagai nilai urutan integrasi/diferensiasi α . Dengan asumsi nilai urutan yang berbeda α , seseorang dapat lebih akurat memodelkan proses fisik yang berbeda, terutama yang difusi.

Tanggapan langkah untuk pengintegrasian (a ) dan membedakan (b ) model dengan berbagai pesanan α

Estimasi Parameter untuk Model Pecahan

Hasil dari semua pengukuran energi dan prosedur identifikasi yang disajikan dalam makalah ini diperoleh untuk superkapasitor yang diisi dari sumber tegangan terkontrol. Dalam sistem seperti itu, arus superkapasitor i _C (t ) harus dibatasi oleh resistor R terhubung secara seri dengan superkapasitor C (Gbr. 2). Estimasi semua parameter superkapasitor dilakukan berdasarkan respon quadripole u _C (t ) ke langkah tegangan u (t ) pada masukannya. Memilih nilai yang sesuai dari urutan turunan α memungkinkan untuk menjelaskan model superkapasitor dari fenomena fisik yang terkait dengan proses difusi yang terkait dengan redistribusi muatan selama proses pengisian dan pengosongan. Resistor paralel r _P tambahan memungkinkan pemodelan arus bocor. Menggunakan kalkulus diferensial fraksional untuk superkapasitor pemodelan, struktur model dapat kompleksitas rendah. Untuk superkapasitor yang diisi dari sumber tegangan, model hanya terdiri dari dua elemen, yaitu RC sederhana segi empat (Gbr. 2a). Untuk kapasitas rendah, resistansi seri r _S adalah penting (Gbr. 2b), sedangkan arus bocor I _L tambahan dapat diwakili oleh resistansi paralel r _P (Gbr. 2c). Menggunakan kalkulus orde pecahan untuk memodelkan superkapasitor, hubungan antara tegangan pada terminal kapasitor dan arusnya dapat dinyatakan sebagai berikut

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

Superkapasitor RC model, model dasar (a ), diperluas dengan resistansi seri (b ), dan dengan hambatan paralel tambahan (c )

di mana operator d^α /dt ^α berarti operator diferensiasi pesanan α dan satuan SI dari C _α adalah [F/detik^1−α ]. Konfigurasi superkapasitor dasar yang disajikan pada Gambar. 2a dapat diperlakukan sebagai sistem inersia orde pertama dan dapat diwakili oleh fungsi transfer fraksional

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8 )

dimana T =R C _α . Mempertimbangkan resistansi seri r _S (Gbr. 2b), sirkuit diperlakukan sebagai sistem koreksi penundaan fase dengan fungsi transfer (bandingkan [24])

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1 }s^{\alpha}+1}, $$ (9)

dimana T ₁ =C _α (R +r _S ) dan T ₂ =r _S C _α . Selain itu, memungkinkan resistor paralel r _P mewakili arus bocor I _L (Gbr. 2c), fungsi transfer sistem dapat dinyatakan sebagai

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

dimana K =R /r _P +1, T ₁ =C (R r _s /r _P +R +r _S ) dan T ₂ =r _S C . Dalam domain waktu, Persamaan. (10) dapat disajikan sebagai

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u (t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d }t^{\alfa}}. $$ (11)

Respon waktu dari model yang didefinisikan oleh (11) diperoleh dengan mentransformasikannya ke dalam bentuk yang disajikan secara grafis pada Gambar. 3, di mana operasi integrasi dan diferensiasi adalah orde pecahan α . Model ini digunakan selama proses estimasi parameter superkapasitor. Superkapasitor yang diuji diidentifikasi menggunakan sistem yang disajikan pada Gambar. 4a. Prosedur kontrol seluruh sistem dikembangkan menggunakan perangkat lunak Matlab/Simulink dengan xPC Toolbox. Sistem terdiri dari PC desktop (xPC Target) dengan kartu pengukuran terpasang NI-DAQ dan komputer master (xPC Host). Komputer-komputer tersebut saling terhubung melalui jaringan Ethernet. Superkapasitor diisi dan dikeluarkan oleh sumber tegangan (tegangan-terkontrol) (Gbr. 4b) efisiensi arus hingga ± 3 A. Sistem pengukuran dioperasikan dengan frekuensi sampling 100 Hz, sementara semua pengukuran dan sinyal kontrol analog diproses dengan resolusi 16-bit [25].

Struktur Matlab model superkapasitor dalam domain waktu

Struktur sistem pengukuran (a ) dan skema pengisian/pengosongan superkapasitor (b )

Metode utama untuk menentukan sifat dinamis suatu sistem didasarkan pada analisis respon langkah [38]. Dalam kaitannya dengan model sistem, metode ini memungkinkan estimasi parameternya. Untuk studi ini, sinyal langkah dengan berbagai tegangan (0,5/1.0/1.5/2.0/2,7 V) dan durasi konstan (500 detik) telah digunakan (lihat Gambar 5 dan Tabel 2). Di sisi lain, salah satu aplikasi khas superkapasitor adalah akumulasi atau pengiriman energi ke dalam sistem tenaga. Dalam hal ini, tingkat perubahan tegangan agak kecil. Untuk mensimulasikannya, digunakan sinyal 400 mVpp dan 0,03 rad/s dengan offset 2 V (Gbr. 6). Selain itu untuk menguji pengaruh perubahan tegangan dan frekuensi pada parameter yang diperkirakan, berbagai nilai yang terakhir digunakan (lihat Tabel 3).

Tanggapan langkah untuk superkapasitor yang diuji dan model pecahannya (a ) dan kesalahan respons model (b )

Respon gelombang sinusoidal untuk superkapasitor yang diuji dan model fraksionalnya (a ) dan kesalahan respons model (b )

Ada beberapa metode untuk estimasi parameter model. Tujuan utama dari prosedur identifikasi dalam domain waktu yang diterapkan dalam pekerjaan ini adalah untuk memperkirakan vektor parameter yang tidak diketahui θ =[α ,C _α ,r _S ,r _P ] dari model pecahan disajikan oleh (11). Metode kuadrat terkecil digunakan untuk meminimalkan kesalahan awal. Kriteria pengoptimalan melibatkan minimalisasi kesalahan standar $\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}$, di mana

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

dimana u _C (k ) adalah tegangan keluaran yang diukur dari sistem yang diuji pada saat k , sedangkan $\hat {u}_{C}(k)$ adalah tegangan keluaran dari model yang dipertimbangkan untuk sinyal masukan u (k ). Masalah identifikasi sekarang direduksi menjadi menemukan vektor parameter θ Θ _iklan yang akan meminimalkan kriteria kuadrat J sedemikian rupa sehingga

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J=\sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\} , $$ (13)

dimana Θ _iklan menunjukkan set nilai parameter yang dapat diterima dan N berarti waktu simulasi. Ada banyak algoritma optimasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah (13). Hasil yang disajikan dalam makalah ini diperoleh dengan mengimplementasikan algoritma genetika di lingkungan Matlab.

Perhitungan Energi

Perubahan energi yang tersimpan dalam superkapasitor bergantung pada daya yang disuplai ke kapasitor per satuan waktu dan dapat digambarkan sebagai berikut

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

Dengan menyatakan daya yang disuplai ke kapasitor sebagai produk dari arus dan tegangan pada terminal kapasitor, perubahan energi pada waktu tertentu t dapat dinyatakan sebagai

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

Energi total selama interval waktu [t ₁ ,t ₂ ] dapat diperoleh dengan mengintegrasikan perubahan energi selama waktu itu

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C }(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

Akuntansi untuk Persamaan. (7), total penyimpanan energi dapat ditentukan sebagai

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C }(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

Dengan asumsi t ₁ =0 dan $E_{t_{1}}=0$, energi total yang tersimpan dalam superkapasitor selama selang waktu [0,t ] adalah

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau) }{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

Perhatikan bahwa untuk α =1 Persamaan. (18) dapat direduksi menjadi klasik

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

Hasil dan Diskusi

Awalnya, prosedur untuk memperkirakan vektor parameter model superkapasitor menggunakan kalkulus fraksional dilakukan. Estimasi dilakukan berdasarkan sistem yang disajikan pada Gambar. 2c, menghasilkan langkah tegangan atau gelombang sinusoidal pada inputnya. Respon model dihitung berdasarkan (11). Hasil yang diperoleh dari dua prosedur identifikasi sangat mirip, terutama dalam kasus kapasitansi fraksional C _α dan orde pecahan α (lihat Tabel 1). Beberapa perbedaan dalam perkiraan resistansi seri r _S mungkin karena ketergantungannya pada frekuensi. Sinyal langkah terdiri dari banyak harmonik frekuensi tinggi sedangkan gelombang sinusoidal hanya satu – 0,03 rad/s. Hasil yang disajikan diperoleh untuk superkapasitor komersial Samwha Green–Cap EDLC(DB), dengan nilai 2,7 V dengan kapasitansi nominal 100 F dan 8 mΩ resistansi seri ekivalen maksimum (r _S ) pada 1 kHz.

Gambar 5a dan 6a menunjukkan tegangan superkapasitor terukur dan respons model yang dihitung, masing-masing untuk sinyal langkah dan sinusoidal, sementara Gambar. 5b dan 6b menunjukkan kesalahan respons model.

Semua hasil yang diperoleh menunjukkan konsistensi yang tinggi antara respon model dan pengukuran nyata meskipun model yang diusulkan relatif sederhana. Beberapa perbedaan mungkin diakibatkan oleh fakta bahwa parameter model harus diperkirakan dalam sistem superkapasitor yang diisi dan dikosongkan menggunakan sumber arus [25]. Juga, perkiraan yang sangat tinggi dari r _P mungkin menyarankan bahwa resistansi ini dapat dikeluarkan dari model superkapasitor yang ditunjukkan pada Gambar. 2c. Estimasi yang sangat tinggi dan perbedaan yang tinggi untuk input yang berbeda menunjukkan bahwa sinyal uji yang digunakan untuk memperkirakan parameter ini tidak tepat. Model (10) digunakan sebagai bentuk yang paling umum. Namun, untuk menentukan semua parameternya secara akurat, perlu menggunakan prosedur lain dan sinyal uji. Nilai r _P mencirikan arus bocor I _L dan harus ditentukan dengan menggunakan sinyal tegangan konstan, tetapi untuk waktu yang sangat lama – beberapa lusin jam.

Meskipun tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk mengukur energi, berbagai kondisi eksitasi sebagian besar mempengaruhi semua perkiraan parameter (lihat Tabel 2). Misalnya, peningkatan amplitudo langkah tegangan secara signifikan mengubah urutan integrasi fraksional, sebagai akibat dari peningkatan efek fenomena difusi di dalam superkapasitor. Dapat juga dilihat dari Tabel 2 bahwa superkapasitor cukup nonlinier. Sebagai akibat dari perubahan orde integrasi, variasi kapasitas fraksional juga diamati. Ini juga berlaku untuk eksitasi sinusoidal. Nilai parameter yang diperkirakan—terutama α dan C _α —tergantung pada amplitudo dan frekuensi (lihat Tabel 3). Untuk frekuensi rendah, nilai amplitudo penting, sedangkan untuk frekuensi yang lebih tinggi, superkapasitor berperilaku seperti tereksitasi dengan tegangan konstan.

Perhitungan Energi

Gambar 7a dan 8a menunjukkan nilai terukur dari tegangan dan arus superkapasitor untuk konfigurasi seperti yang disajikan pada Gambar 4b. Nilai-nilai ini digunakan untuk menghitung total energi yang tersimpan dalam kapasitor (ditandai sebagai E ₁ dalam Gambar. 7b dan 8b) menurut (16). Seperti halnya proses identifikasi parameter, perhitungan dilakukan baik untuk langkah tegangan maupun gelombang sinusoidal pada masukan sistem. Energi dihitung sedemikian rupa untuk setiap kali t dibandingkan dengan energi yang dihitung berdasarkan tegangan dan kapasitas sesuai dengan (19) (ditandai sebagai E ₃ dalam Gambar. 7b dan 8b) dan energi yang dihitung dengan kalkulus orde pecahan (ditandai sebagai E ₂ dalam Gambar. 7b dan 8b) menurut (18). Untuk Persamaan. (19), nilai nominal superkapasitor diadopsi (C _n ), sedangkan pada (18) digunakan nilai yang diperoleh dari proses estimasi yang disajikan pada Tabel 1. Gambar 7b menunjukkan hasil pengukuran dan perhitungan energi untuk langkah tegangan, sedangkan Gambar 8b menunjukkan besaran yang sama untuk gelombang sinusoidal. Perhitungan serupa dibuat untuk langkah tegangan dan eksitasi sinusoidal yang berbeda. Gambar 9a, b menunjukkan contoh energi yang diukur dan dihitung untuk dua langkah tegangan masing-masing 0,5 V dan 2,7 V. Gambar 10 menunjukkan perubahan energi untuk sinyal sinusoidal dengan frekuensi 0,03 rad/sec dan amplitudo yang berbeda 0,1/0,25/0,5 dan 0,7 V. Dapat dilihat bahwa perbedaan nilai energi yang ditentukan sesuai dengan perbedaan nilai perkiraan dari orde pecahan α . Semakin besar perbedaan dari nilai 1, semakin besar perbedaan energi yang dihitung.

Tanggapan langkah untuk tegangan dan arus superkapasitor (a ) dan nilai energi yang dihitung (b )

Respon sinusoidal untuk tegangan dan arus superkapasitor (a ) dan nilai energi yang dihitung (b )

Jumlah energi yang dihitung untuk eksitasi langkah 0,5 V (a ) dan 2,7 V (b )

Jumlah energi dihitung untuk eksitasi sinusoidal dengan frekuensi 0,03 rad/s dan amplitudo 0,1 V (a ), 0,25 V (b ), 0,5 V (c ), dan 0,7 V (d )

Diskusi

Penggunaan elektroda bahan berpori pada superkapasitor berupa karbon aktif yang diisolasi oleh separator yang sangat tipis dan penggunaan mekanisme akumulasi muatan yang disebut lapisan ganda, memberikan peningkatan kapasitas yang sangat besar. Namun, penerapan material baru dan solusi desain baru menghasilkan fakta bahwa perhitungan matematis tradisional dalam bentuk turunan dan integral orde bilangan bulat tampak tidak akurat. Pengukuran dan perhitungan yang dilakukan membuktikan sifat orde pecahan superkapasitor. Dengan estimasi yang benar dari urutan noninteger α turunan/integral, seseorang dapat dengan tepat memodelkan fenomena dan proses yang terjadi di dalam superkapasitor menggunakan model matematika sederhana.

Dengan mempertimbangkan nilai sebenarnya dari akumulasi energi yang ditentukan oleh (16), model orde bilangan bulat dengan parameter nominal (19) meremehkan jumlah energi, sedangkan model pecahan (18) menunjukkan nilai yang hampir sama.

Pengujian dan pengukuran yang dilakukan terkait dengan pengisian dan pengosongan superkapasitor oleh sumber tegangan. Dalam kondisi industri, superkapasitor biasanya diisi dan dikosongkan oleh sumber arus. Ini dapat mengubah sifat sistem karena kapasitor tidak lagi merupakan sistem inersia tetapi menjadi sistem integrasi yang khas. Namun, pengukuran yang dilakukan penulis juga menunjukkan terjadinya proses difusi dalam kasus tersebut. Bagaimanapun, kegunaan turunan/integral Gründwald–Letnikov dikonfirmasi di sini. Masalah lain terkait dengan penerapan operator diferensial-integral GL seperti, misalnya, perbedaan GL yang terbatas atau terpotong (6), yang mungkin membebani komputasi. Dalam penelitian mendatang, kami akan membandingkan pendekatan Oustaloup [35] dan FFLD [24, 36, 37] untuk menyelesaikan masalah implementasi secara efektif.

Besarnya simpanan energi dalam superkapasitor dihitung hanya pada nilai tegangan terminal superkapasitor yang terukur dan penggunaan model (19) tidak sesuai. Model (19) hanya valid jika arus kapasitor dicirikan oleh turunan orde bilangan bulat dari tegangan kapasitor (i _C (t )=du _C (t )/tt ). Hal ini tidak berlaku untuk superkapasitor karena konstruksinya dan bahan khusus yang digunakan. Namun, masalah yang sama terjadi dengan superkapasitor yang sangat besar yang diisi oleh sumber arus. Ada juga elemen yang cukup baru seperti baterai super. Dalam semua aplikasi ini, perubahan arus tidak dicirikan oleh turunan orde bilangan bulat dari tegangan terminal sebagai konsekuensi dari sifat-sifat khusus elemen-elemen ini.

Kesimpulan

Dalam makalah ini, pendekatan baru untuk estimasi jumlah energi yang terakumulasi dalam superkapasitor telah disajikan. Analisis telah dilakukan dengan memanfaatkan sifat-sifat unik tertentu dari model orde pecahan. Telah terbukti bahwa penerapan pemodelan yang sedemikian canggih menghasilkan hasil yang sangat akurat, yang dapat diperoleh meskipun model itu sendiri tidak memiliki kompleksitas yang tinggi. Ini karena kemampuan alami dinamika tatanan noninteger untuk memodelkan proses difusi, seperti halnya redistribusi muatan dalam superkapasitor. Hasil dari makalah ini telah mengkonfirmasi sifat pecahan dari superkapasitor.

Pengaruh Kekakuan Elastis dan Adhesi Permukaan pada Pemantulan Partikel Nano Evaluasi Struktur Grafena/WO3 dan Grafena/CeO x Sebagai Elektroda untuk Aplikasi Superkapasitor

bahan nano