Estimasi Energi yang Akurat Superkapasitor Menggunakan Model Diferensial Fraksional

Abstrak

Dalam paper ini, hasil baru tentang penggunaan hanya pengukuran tegangan pada terminal superkapasitor untuk estimasi energi yang terkumpul disajikan. Untuk tujuan ini, studi berdasarkan aplikasi model orde fraksional dari rangkaian pengisian/pengosongan superkapasitor dilakukan. Estimasi parameter model kemudian digunakan untuk menilai jumlah energi yang terkumpul dalam superkapasitor. Hasil yang diperoleh dibandingkan dengan energi yang ditentukan secara eksperimental dengan mengukur tegangan dan arus pada terminal superkapasitor. Semua tes diulang untuk berbagai bentuk sinyal masukan dan parameter. Konsistensi yang sangat tinggi antara hasil estimasi dan eksperimental sepenuhnya mengonfirmasi keaktifan pendekatan yang diusulkan dan demikian aplikabilitas kalkulus fraksional untuk pemodelan penyimpanan energi superkapasitor.

Latar Belakang

Sampai sekarang, superkapasitor merupakan komponen utama dari banyak perangkat dan sistem, misalnya, sistem cadangan daya dan pemulihan listrik serta aplikasi otomotif, kendaraan hybrida, dan banyak lainnya. Kemampuan untuk mengakumulasi muatan tanpa reaksi kimia membuat elemen ini memiliki ratusan kali lebih banyak sisi charge/discharge dibandingkan baterai tipikal [1]. Selain itu, laju charge/discharge yang tinggi membuatnya efektif untuk aplikasi dalam sistem pemulihan energi yang digunakan misalnya dalam transportasi atau sumber energi terbarukan [2, 3]. Dalam semua aplikasi ini, parameter kunci adalah informasi tentang jumlah energi yang terkumpul dalam superkapasitor [4, 5]. Sayangnya, hubungan yang dikenal untuk kapasitor tipikal yang memungkinkan menentukan informasi, yaitu (1/2)CU², tidak dapat digunakan [6]. Jumlah energi yang terkumpul tidak dapat ditentukan berdasarkan tegangan pada terminal kapasitor saja. Alasan utamanya adalah proses difusi yang terkait dengan redistribusi muatan [1, 7]. Inilah sebabnya banyak peneliti telah mencoba menentukan model superkapasitor yang akan memungkinkan estimasi perilaku sistem nyata. Saat ini, peneliti terutama mengadopsi kombinasi elemen elektronik tipikal, misalnya, RC quadripole atau kombinasi seri dan paralel dari elemen tersebut. Namun, semua model ini mengasumsikan hubungan antara arus superkapasitor dan tegangan pada terminalnya dalam bentuk persamaan diferensial ordo bulat tipikal [3–5, 7].

Namun ternyata beberapa kemungkinan yang sangat baru untuk estimasi energi dalam sistem seperti itu dapat diperoleh dengan aplikasi kalkulus fraksional [8, 9]. Kalkulus diferensial-integral ordo non-bulkat diajukan lebih dari 300 tahun yang lalu, tetapi masalah implementasi penting terkait dengan kemunculan komputer dan penggunaan dalam pemodelan sistem dinamis diskrit-waktu [10–14]. Aplikasi kalkulus fraksional pada masalah estimasi parameter superkapasitor bukan masalah baru. Ada banyak publikasi dalam bidang ini [15–25]. Penulis melakukan tugas estimasi parameter baik dalam domain frekuensi maupun waktu [26].

Paper ini adalah versi diperluas dari presentasi konferensi penulis [27], di mana pendekatan orde fraksional telah diperkenalkan secara singkat untuk estimasi energi yang terkumpul dalam superkapasitor.

Estimasi yang akurat parameter superkapasitor juga sangat penting dalam menilai keandalan mereka [28–31]. Proses degradasi permanen di dalam superkapasitor dapat mengubah resistensi seri ekivalen dan kapasitansi. Demikian, penentuan yang akurat parameter ini, berdasarkan metode yang diusulkan, juga memungkinkan penilaian yang akurat performa kapasitor.

Paper ini dimulai dengan beberapa prasyarat terkait integrasi dan diferensiasi orde fraksional. Selanjutnya, ia menyajikan metode estimasi parameter yang digunakan selama tes dan mengusulkan metode perhitungan energi baru berdasarkan kalkulus fraksional. Bagian Hasil dan Pembahasan menyajikan energi yang dihitung untuk berbagai skenario dan membandingkannya dengan nilai referensi (terukur). Kesimpulan dan kontribusi diringkas dalam bagian Kesimpulan.

Metode

Penggunaan bahan poros dalam superkapasitor dan cara spesifik akumulasi muatan menyebabkan pendekatan tradisional berdasarkan model turunan ordo bulat tidak cukup akurat. Banyak peneliti telah mengusulkan berbagai solusi dalam bentuk kombinasi elemen RC tipikal dengan nilai konstan atau variabel [4, 7]. Namun ternyata presisi yang jauh lebih baik dapat diperoleh menggunakan kalkulus diferensial ordo non-bulkat untuk mendefinisikan hubungan antara arus dan tegangan superkapasitor [17, 19]. Selain itu, solusi seperti ini dapat menghasilkan struktur model yang sangat sederhana, sambil menyediakan akurasi yang sangat tinggi [18].

Kalkulus Diferensial-Integral Ordo Fraksional

Kalkulus diferensial ordo fraksional telah dikenal selama lebih dari 300 tahun. Namun, hanya beberapa tahun terakhir yang membawa popularitasnya dalam pemodelan fenomena dan proses fisik. Dipercaya bahwa deskripsi dinamika dengan turunan atau integral ordo non-bulkat dapat menjadi salah satu metode paling efektif untuk pemodelan properti nyata dari banyak fenomena kompleks dan proses industri, terutama berdasarkan bahan dan teknologi baru [10, 12, 13, 32–34].

Kalkulus diferensial atau integral ordo non-bulkat adalah generalisasi dari kalkulus klasik ke ordo α yang termasuk dalam himpunan bilangan real $\mathcal {R}$. Operator diferensial-integral ordo $\alpha \in \mathcal {R}$ dari fungsi f(t) pada rentang [a,t] dapat ditulis sebagai berikut

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{for} & \alpha>0\\ f(t) & \text{for} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \textrm {for} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

asumsi bahwa fungsi f(t) dapat diturunkan dan diintegrasikan berkali-kali. Seperti untuk operator (1), ada banyak definisi dari realisasinya. Definisi seperti ini berbeda dalam properti dan area aplikasi. Yang paling populer adalah definisi Riemann–Liouville, Caputo dan Grünwald–Letnikov (GL) [34]. Yang terakhir akan digunakan dalam paper ini dalam bentuk

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), $$ (2)

di mana binomial $\alpha \choose j$ didefinisikan sebagai berikut

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{for} & j>0. \end{array} \right. $$ (3)

Untuk mendapatkan model fraksional pada momen waktu diskrit, definisi GL dalam bentuk diskrit disederhanakan sebagai

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). $$ (4)

Ada beberapa skema diskritisasi untuk Eq. (4) GL. Yang paling populer termasuk selisih mundur (Euler), trapesium (Tustin), dan operator Al Alaoui. Menggunakan metode Euler, turunan fraksional pada momen waktu diskrit k dapat disajikan sebagai

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

Jumlah tak hingga dari sampel sebelumnya harus dalam sistem nyata dibatasi pada nilai hingga karena memori dan waktu perhitungan yang terbatas. Sekarang, pendekatan diskrit-waktu terpotong atau hingga–panjang dari GL adalah

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

di mana f(l)=0 untuk l<0 dan L adalah panjang model (6) [23]. Mengurangi jumlah sampel menghasilkan penurunan akurasi perhitungan. Ini penting untuk sistem yang beroperasi dalam waktu kontinu. Beberapa jenis solusi lain adalah algoritma yang mendekati differo–integral fraksional dengan model ordo bulat. Contohnya adalah filter rekursif Oustaloup [35]. Model hingga–panjang yang efektif lainnya adalah FFLD, yang merupakan kombinasi dari model terpotong (6) dan selisih berbasis Laguarre [24, 36, 37].

Semua hasil identifikasi dan pengukuran energi dalam paper ini diperoleh berdasarkan semua sampel dalam jendela observasi (panjang) L, yaitu, dengan akurasi maksimum. Gambar 1 menyajikan respons langkah dari integrasi dan diferensiasi yang diperoleh berdasarkan (6), untuk k=0,1,…,L dan untuk berbagai nilai ordo integrasi/diferensiasi α. Dengan mengasumsikan nilai ordo α yang berbeda, seseorang dapat memodelkan proses fisik yang berbeda dengan lebih akurat, terutama proses difusi.

Estimasi Energi yang Akurat Superkapasitor Menggunakan Model Diferensial Fraksional

Estimasi Parameter untuk Model Fraksional

Hasil semua pengukuran energi dan prosedur identifikasi yang disajikan dalam paper ini diperoleh untuk superkapasitor yang diisi dari sumber tegangan terkontrol. Dalam sistem seperti itu, arus superkapasitor i_C(t) harus dibatasi oleh resistansi R yang tersambung seri dengan superkapasitor C (Fig. 2). Estimasi semua parameter superkapasitor dilakukan berdasarkan respons quadripole u_C(t) ke langkah tegangan u(t) pada inputnya. Memilih nilai ordo turunan α yang tepat memungkinkan untuk meniru model superkapasitor dari fenomena fisik yang terkait dengan proses difusi yang terkait dengan redistribusi muatan selama proses pengisian dan pengosongan. Resistansi paralel r_P secara tambahan memungkinkan pemodelan arus bocoran. Menggunakan kalkulus diferensial fraksional untuk pemodelan superkapasitor, struktur model dapat berkompleksitas rendah. Untuk superkapasitor yang diisi dari sumber tegangan, model terdiri dari hanya dua elemen, yaitu quadripole RC sederhana (Fig. 2a). Untuk kapasitas rendah, resistansi seri r_S penting (Fig. 2b), sementara arus bocoran I_L dapat ditambahkan diwakili oleh resistansi paralel r_P (Fig. 2c). Menggunakan kalkulus ordo fraksional untuk memodelkan superkapasitor, hubungan antara tegangan pada terminal kapasitor dan arusnya dapat dinyatakan sebagai berikut

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

di mana operator d^α/dt^α berarti operator diferensiasi ordo α dan satuan SI dari C_α adalah [F/sec^1−α]. Konfigurasi superkapasitor dasar yang ditampilkan dalam Fig. 2a dapat diperlaku sebagai sistem inersial ordo pertama dan dapat diwakili oleh fungsi transfer fraksional

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8)

di mana T=RC_α. Dengan mempertimbangkan resistansi seri r_S (Fig. 2b), rangkaian diperlaku sebagai sistem koreksi penundaan fase dengan fungsi transfer (bandingkan [24])

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, $$ (9)

di mana T₁=C_α(R+r_S) dan T₂=r_SC_α. Secara tambahan, mengizinkan resistansi paralel r_P yang mewakili arus bocoran I_L (Fig. 2c), fungsi transfer sistem dapat dinyatakan sebagai

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

di mana K=R/r_P+1, T₁=C(Rr_s/r_P+R+r_S) dan T₂=r_SC. Dalam domain waktu, Eq. (10) dapat disajikan sebagai

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. $$ (11)

Respons waktu dari model yang didefinisikan oleh (11) diperoleh dengan mentransformasikannya ke bentuk yang disajikan secara grafis dalam Fig. 3, di mana operasi integrasi dan diferensiasi adalah ordo fraksional α. Model ini digunakan selama proses estimasi parameter superkapasitor. Superkapasitor yang diuji diidentifikasi menggunakan sistem yang ditampilkan dalam Fig. 4a. Prosedur kontrol seluruh sistem dikembangkan menggunakan perangkat lunak Matlab/Simulink dengan xPC Toolbox. Sistem terdiri dari PC desktop (xPC Target) dengan kartu pengukuran NI-DAQ yang terinstal dan komputer master (xPC Host). Komputer terhubung satu sama lain melalui jaringan Ethernet. Superkapasitor diisi dan dikosongkan oleh sumber tegangan (dikontrol tegangan) (Fig. 4b) dengan efisiensi arus hingga ± 3 A. Sistem pengukuran dioperasikan dengan frekuensi sampling 100 Hz, sementara semua pengukuran dan sinyal kontrol analog diproses dengan resolusi 16-bit [25].

Metode utama untuk menentukan properti dinamis sistem didasarkan pada analisis respons langkah [38]. Dalam hubungan dengan model sistem, metode ini memungkinkan estimasi parameter. Untuk studi ini, sinyal langkah dengan berbagai tegangan (0,5/1,0/1,5/2,0/2,7 V) dan durasi konstan (500 s) telah digunakan (lihat Fig. 5 dan Tabel 2). Di sisi lain, salah satu aplikasi tipikal superkapasitor adalah akumulasi atau pengiriman energi ke dalam sistem daya. Dalam kasus ini, laju perubahan tegangan cukup kecil. Untuk mensimulasinya, sinyal 400 mVpp dan 0,03 rad/s dengan offset 2 V digunakan (Fig. 6). Secara tambahan untuk menguji pengaruh perubahan tegangan dan frekuensi terhadap parameter yang diestimasi, berbagai nilai yang terakhir digunakan (lihat Tabel 3).

Ada beberapa metode untuk estimasi parameter model. Tujuan utama prosedur identifikasi dalam domain waktu yang diterapkan dalam pekerjaan ini adalah untuk menestimasi vektor parameter tidak diketahui θ=[α,C_α,r_S,r_P] dari model fraksional yang disajikan oleh (11). Metode kuadrat terkecil digunakan untuk meminimalkan error awal. Kriteria optimisasi melibatkan peminimalan error standar $\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}$, di mana

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

di mana u_C(k) adalah tegangan keluaran yang diukur dari sistem yang diuji pada momen k, sementara $\hat {u}_{C}(k)$ adalah tegangan keluaran dari model yang dipertimbangkan untuk sinyal masukan u(k). Masalah identifikasi sekarang diperkecil menjadi menemukan vektor parameter θ∈Θ_ad yang akan meminimalkan kriteria kuadrat J sedemikian sehingga

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, $$ (13)

di mana Θ_ad menunjukkan himpunan nilai parameter yang dapat diterima dan N berarti waktu simulasi. Ada banyak algoritma optimisasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah (13). Hasil yang disajikan dalam paper ini diperoleh dengan mengimplementasikan algoritma genetika dalam lingkungan Matlab.

Perhitungan Energi

Perubahan energi yang tersimpan dalam superkapasitor bergantung pada daya yang disuplai ke kapasitor per satuan waktu dan dapat dinyatakan sebagai berikut

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

Dengan menyatakan daya yang disuplai ke kapasitor sebagai hasil kali arus dan tegangan pada terminal kapasitor, perubahan energi pada waktu tertentu t dapat dinyatakan sebagai

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

Total energi selama interval waktu [t₁,t₂] dapat diperoleh dengan mengintegrasikan perubahan energi selama waktu tersebut

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

Dengan memperhitungkan Eq. (7), total penyimpanan energi dapat ditentukan sebagai

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

Asumsi t₁=0 dan $E_{t_{1}}=0$, total energi yang tersimpan dalam superkapasitor selama interval waktu [0,t] adalah

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

Perhatikan bahwa untuk α=1 Eq. (18) dapat dikurangi menjadi klasik

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

Hasil dan Pembahasan

Awalnya, prosedur estimasi vektor parameter model superkapasitor menggunakan kalkulus fraksional dilakukan. Estimasi dilakukan berdasarkan sistem yang ditampilkan dalam Fig. 2c, menghasilkan langkah tegangan atau gelombang sinus pada inputnya. Respons model dihitung berdasarkan (11). Hasil yang diperoleh dari kedua prosedur identifikasi sangat mirip, terutama dalam kasus kapasitansi fraksional C_α dan ordo fraksional α (lihat Tabel 1). Beberapa perbedaan dalam estimasi resistansi seri r_S mungkin merupakan hasil dari ketergantungannya pada frekuensi. Sinyal langkah terdiri dari banyak harmoni frekuensi tinggi sementara gelombang sinus hanya satu – 0,03 rad/s. Hasil yang disajikan diperoleh untuk superkapasitor komersial Samwha Green–Cap EDLC(DB), dengan rating 2,7 V dengan kapasitansi nominal 100 F dan resistensi seri ekivalen maksimum (r_S) 8 mΩ pada 1 kHz.

Gambar 5a dan 6a menunjukkan tegangan superkapasitor yang diukur dan respons model yang dihitung, untuk sinyal langkah dan gelombang sinus, masing-masing, sementara Gambar 5b dan 6b menunjukkan error respons model.

Semua hasil yang diperoleh menunjukkan konsistensi yang tinggi antara respons model dan pengukuran nyata meskipun model yang cukup sederhana diusulkan. Beberapa ketidaksesuaian mungkin disebabkan oleh fakta bahwa parameter model harus diestimasi dalam sistem superkapasitor yang diisi dan dikosongkan menggunakan sumber arus [25]. Juga, estimasi r_P yang sangat tinggi mungkin menyarankan bahwa resistansi ini dapat dikecualikan dari model superkapasitor yang ditampilkan dalam Fig. 2c. Estimasi yang sangat tinggi ini dan ketidaksesuaian yang tinggi mereka untuk input yang berbeda menunjukkan bahwa sinyal tes yang digunakan untuk mengestimasi parameter ini tidak tepat. Model (10) digunakan sebagai bentuk paling umum. Namun, untuk menentukan semua parameternya secara akurat, diperlukan untuk menggunakan prosedur dan sinyal tes lain. Nilai r_P mengkarakterisir arus bocoran I_L dan harus ditentukan menggunakan sinyal tegangan konstan, tetapi untuk waktu yang sangat lama – dalam urutan beberapa puluh jam.

Meskipun tujuan utama studi adalah untuk mengukur energi, berbagai kondisi pengaruh secara besar-besaran mempengaruhi semua estimasi parameter (lihat Tabel 2). Misalnya, peningkatan amplitudo langkah tegangan secara signifikan mengubah ordo integrasi fraksional, sebagai hasil dari efek yang meningkat dari fenomena difusi di dalam superkapasitor. Ini juga dapat dilihat dari Tabel 2 bahwa superkapasitor cukup nonlinier. Akibatnya perubahan ordo integrasi, variasi kapasitansi fraksional juga diamati. Ini juga berlaku untuk eksitasi gelombang sinus. Nilai parameter yang diestimasi—terutama α dan C_α—bergantung pada amplitudo dan frekuensi (lihat Tabel 3). Untuk frekuensi rendah, nilai amplitudo penting, sementara untuk frekuensi yang lebih tinggi superkapasitor berperilaku seperti diangsinkan dengan tegangan konstan.

Perhitungan Energi

Gambar 7a dan 8a menunjukkan nilai tegangan dan arus superkapasitor untuk konfigurasi seperti yang ditampilkan dalam Fig. 4b. Nilai ini digunakan untuk perhitungan total energi yang tersimpan dalam kapasitor (ditandai sebagai E₁ dalam Gambar 7b dan 8b) sesuai dengan (16). Sama seperti dalam proses identifikasi parameter, perhitungan dilakukan baik untuk langkah tegangan maupun gelombang sinus pada input sistem. Energi yang dihitung dengan cara ini untuk setiap waktu t dibandingkan dengan energi yang dihitung berdasarkan tegangan dan kapasitas sesuai dengan (19) (ditandai sebagai E₃ dalam Gambar 7b dan 8b) dan energi yang dihitung dengan kalkulus ordo fraksional (ditandai sebagai E₂ dalam Gambar 7b dan 8b) sesuai dengan (18). Untuk Eq. (19), nilai nominal superkapasitor diadopsi (C_n), sementara dalam (18) nilai yang diperoleh dari proses estimasi yang ditampilkan dalam Tabel 1 digunakan. Gambar 7b menunjukkan hasil pengukuran dan perhitungan energi untuk langkah tegangan, sementara Gambar 8b menunjukkan kuantitas yang sama untuk gelombang sinus. Perhitungan serupa dilakukan untuk berbagai langkah tegangan dan eksitasi gelombang sinus. Gambar 9a, b menunjukkan contoh energi yang diukur dan dihitung untuk dua langkah tegangan 0,5 V dan 2,7 V, masing-masing. Gambar 10 menunjukkan perubahan energi untuk sinyal gelombang sinus dengan frekuensi 0,03 rad/detik dan amplitudo berbeda 0,1/0,25/0,5 dan 0,7 V. Terlihat bahwa perbedaan dalam nilai energi yang ditentukan sesuai dengan perbedaan dalam nilai yang diestimasi dari ordo fraksional α. Semakin besar perbedaan dari nilai − 1, semakin besar perbedaan dalam energi yang dihitung.

Pembahasan

Penggunaan elektroda bahan poros dalam superkapasitor dalam bentuk karbon aktif yang diisolasi oleh pemisah yang sangat tipis dan penggunaan mekanisme akumulasi muatan yang disebut lapisan ganda, memberikan peningkatan besar dalam kapasitansi mereka. Namun, aplikasi bahan baru dan solusi desain baru mengakibatkan perhitungan matematika tradisional dalam bentuk turunan dan integral ordo bulat tampak tidak akurat. Pengukuran dan perhitungan yang dilakukan membuktikan sifat ordo fraksional superkapasitor. Dengan estimasi yang benar dari ordo non-bulkat α dari turunan/integral, seseorang dapat memodelkan fenomena dan proses yang terjadi di dalam superkapasitor menggunakan model matematika yang sederhana.

Dengan memperhatikan nilai nyata energi yang terkumpul yang ditentukan oleh (16), model ordo bulat dengan parameter nominal (19) mengurangi jumlah energi, sementara model fraksional (18) menunjukkan nilai yang hampir sama.

Uji dan pengukuran yang dilakukan terkait dengan pengisian dan pengosongan superkapasitor oleh sumber tegangan. Dalam kondisi industri, superkapasitor biasanya diisi dan dikosongkan oleh sumber arus. Ini dapat mengubah sifat sistem karena kapasitor tidak lagi sistem inersial tetapi menjadi sistem integrator tipikal. Namun, pengukuran yang dilakukan oleh penulis juga menunjukkan terjadinya proses difusi dalam kasus seperti itu. Bagaimanapun, kegunaan turunan/integral Grünwald–Letnikov dikonfirmasi di sini. Masalah lain terkait dengan implementasi operator differo–integral GL, misalnya, selisih GL terpotong atau hingga (6), yang dapat membebani komputasi. Dalam penelitian masa depan, kami akan membandingkan pemenang Oustaloup [35] dan FFLD [24, 36, 37] untuk menyelesaikan masalah implementasi secara efektif.

Jumlah penyimpanan energi dalam superkapasitor yang dihitung hanya berdasarkan nilai tegangan terminal superkapasitor yang diukur dan menggunakan model (19) tidak sesuai. Model (19) hanya valid jika arus kapasitor dikarakterisir oleh turunan ordo bulat dari tegangan kapasitor (i_C(t)=du_C(t)/dt). Ini tidak benar untuk superkapasitor sebagai akibat dari konstruksinya dan bahan khusus yang digunakan. Namun, masalah yang sama terjadi dengan superkapasitor yang sangat besar yang diisi oleh sumber arus. Ada juga elemen baru seperti super-baterai. Dalam semua aplikasi ini, perubahan arus tidak dikarakterisir oleh turunan ordo bulat dari tegangan terminal sebagai akibat dari properti spesifik elemen ini.

Kesimpulan

Dalam paper ini, pendekatan baru untuk estimasi jumlah energi yang terkumpul dalam superkapasitor telah disajikan. Analisis dilakukan dengan memanfaatkan properti unik dari model orde fraksional. Telah ditunjukkan bahwa aplikasi pemodelan yang canggih seperti ini menghasilkan hasil yang sangat akurat, yang dapat diperoleh meskipun model itu sendiri tidak berkompleksitas tinggi. Ini karena kemampuan alami dinamika ordo non-bulkat untuk memodelkan proses difusi, sama seperti redistribusi muatan dalam superkapasitor. Hasil paper ini telah mengonfirmasi sifat fraksional superkapasitor.

Bagaimana Kekakuan Elastis dan Adheksi Permukaan Mengatur Perilaku Memantul Nanopartikel Elektroda Hibrid Grafena/WO₃ dan Grafena/CeOₓ untuk Superkapasitor Berkinerja Tinggi

bahan nano