Bagaimana Kekakuan Elastis dan Adheksi Permukaan Mengatur Perilaku Memantul Nanopartikel

Latar Belakang

Mungkin, proses paling dasar dalam mekanika granulat adalah tabrakan dua butir. Pada kecepatan butir yang besar, butir terpisah lagi setelah tabrakan, dan hasil tabrakan dapat dikarakterisasi oleh mekanika klasik tabrakan inelastis. Pada kecepatan butir yang kecil, namun, butir akan menempel. Batas antara tabrakan menempel dan memantul [1] dapat disebut kecepatan memantul, v _b . Parameter ini sangat penting untuk nanograin dan memiliki aplikasi misalnya dalam astrofisika di mana ia masuk ke dalam deskripsi agregasi debu tabrakan [2, 3].

Mekanika kontak makroskopis telah digunakan untuk mendapatkan prediksi untuk v _b . Ini didasarkan pada teori Johnson-Kendall-Roberts (JKR) [4], yang menggambarkan tabrakan dua bola adhesif menggunakan kekakuan elastis dan adheksi permukaan sebagai masukan fisika dasar. Secara kuantitatif, kuantitas ini dijelaskan oleh modulus indenta, E _ind=E/(1−ν ²), di mana E adalah modulus Young dan ν adalah angka Poisson, dan oleh energi permukaan γ. Dengan radius bola R dan densitas massa ρ, kecepatan memantul dari dua bola identik adalah [1, 5, 6]

Nilai konstanta C sangat tergantung pada asumsi dissipasi energi selama tabrakan dan telah didiskusikan untuk mengasumsikan nilai antara 0,3 dan 60 [1, 7].

Kevalidan prediksi ini telah terutama ditinjau dengan respecto pada ketergantungan ukurannya [1, 5–8]. Dengan menurunnya ukuran butir, gaya adhesif menjadi lebih penting, dan kecepatan memantul meningkat. Memang, eksperimen pada nanograin (grain Ag dan NaCl) [9] menemukan v _b berada dalam rentang 1 m/s untuk ukuran grain beberapa 10 nm, tetapi meningkat secara tajam untuk grain yang lebih kecil. Simulasi atomistik berdasarkan dinamika molekuler (MD) telah mengonfirmasi ketergantungan R ^−5/6 yang diprediksi untuk tabrakan antara grain silika amorfa dengan ukuran R=15–25 nm [7].

Sampai sekarang, ketergantungan yang diprediksi dari v _b pada parameter bahan E _ind dan γ belum telah diuji secara rinci. Ini tidak mudah dilakukan dalam eksperimen, karena bahan berbeda biasanya berbeda dalam kedua kuantitas tersebut. Namun, menggunakan MD, kami dapat membuat model bahan, yang memiliki properti identik, tetapi hanya berbeda dalam satu aspek, baik E _ind atau γ. Dalam paper ini, kami memilih model untuk Cu [10] tetapi memvariasi parameter bahan secara luas hingga satu orde besar dari nilai nyata. Karena kami tidak menemukan memantul untuk nanopartikel amorfa dalam sistem ini, kami fokus pada kristal (fcc) grain.

Metode/Eksperimen

Kami menggunakan potensi Morse,

untuk menggambarkan interaksi antara dua atom dengan jarak r. Tiga parameter Morse D, α, dan r ₀ ditentukan untuk menggambarkan konstanta jaringan a, modulus bulk B, dan energi kohesi E _coh dari padatan fcc massa.

Untuk kepastian, kami menetapkan konstanta jaringan pada a=3.615 Å (cocok untuk Cu) dalam studi ini dan juga mengadopsi massa atom Cu, untuk menjaga densitas massa ρ dalam Eq. (1) tetap. Potensi dipotong pada r _c =2.5a; demikian, 12 shell tetangga, termasuk total 248 atom, berinteraksi dengan setiap atom. Sebanyak 100 potensi dievaluasi untuk B dalam rentang 403 hingga 1008 GPa, dan E _coh dalam rentang 0,35 hingga 3,54 eV. Perhatikan bahwa modulus bulk yang dianalisis di sini lebih besar, dan energi kohesi lebih kecil, daripada nilai Cu nyata (B=134.4 GPa, E _coh=3,54 eV [11]), karena untuk nilai nyata, kami tidak mengamati memantul apa pun.

Kami menentukan modulus indenta E _ind untuk stres uniaxial dalam arah (100) dari modulus Young dan angka Poisson dalam arah ini ([12], hlm. 32). Gambar 1 a menampilkan ketergantungan E _ind pada B. Kami melihat bahwa kuantitas ini mematuhi hubungan linier; pada modulus bulk konstan, penurunan energi kohesi membuat E _ind meningkat.

Parameter bahan. Ketergantungan a modulus indenta E _ind pada modulus bulk B dan b energi permukaan γ pada energi kohesi E _coh

Energi permukaan dari faceta (100) dihitung dari selisih energi antara padatan kristal dan kristal dengan permukaan terbuka (100) dengan membagi melalui luas permukaan terbuka [13]. Gambar 1 b menunjukkan bahwa γ secara kasar proporsional terhadap E _coh; deviasi hanya terlihat untuk kekakuan yang lebih kecil dan bahan yang terikat kuat.

Kami membuat grain dengan memotong bola dengan radius R=9a=33 Å dari jaring fcc, yang berisi sekitar 12.000 atom. Karena konstruksinya, mereka memiliki permukaan berfacet. Mereka direlax untuk menyeimbangkan permukaan mereka; relaksasi permukaan ringan, tetapi tidak ada rekonstruksi permukaan yang diamati. Tabrakan dimulai dengan menggandakan grain dan menembakkan mereka satu sama lain dengan kecepatan relatif v. Hanya tabrakan sentral yang dipertimbangkan, di mana dua faceta (100) yang menghadap bertabrakan depan-depan, lihat Fig. 2.

Pengaturan awal tabrakan

Untuk menentukan kecepatan memantul, kami melakukan tabrakan dengan beberapa kecepatan. Algoritma yang digunakan di sini didasarkan pada skema bisection sederhana. Kami memverifikasi bahwa tabrakan dengan kecepatan 250 m/s memantul untuk semua sistem tabrakan yang dianalisis di sini, sementara pada kecepatan nol, tabrakan menempel. Kemudian, simulasi dijalankan pada rata-rata aritmetika dari kecepatan memantul terendah yang diketahui dan kecepatan menempel tertinggi yang diketahui. Prosedur ini diulang hingga selisih antara kecepatan menempel tertinggi dan kecepatan memantul terendah kurang dari 10% dari nilai rata-rata mereka. v _b diambil sebagai rata-rata aritmetika dari kecepatan menempel tertinggi dan kecepatan memantul terendah; kedua nilai terakhir ini juga diambil untuk menunjukkan error dari komputasi kami dalam plot. Simulasi dilakukan menggunakan perangkat lunak open-source LAMMPS [14], dan kode pada dasarnya sama dengan yang digunakan dalam studi kami sebelumnya mengenai tabrakan silika [7] dan partikel es air [15].

Hasil

Gambar 3 memberikan gambaran umum atas hasil yang diperoleh. Penguatan hukum pangkat keseluruhan diberikan oleh

Kecepatan memantul. Plot tiga dimensi dari ketergantungan kecepatan memantul v _b pada modulus indenta E _ind dan energi permukaan γ

Demikian, karakteristik utama hukum JKR, Eq. (1)—peningkatan v _b dengan adheksi dan penurunan dengan kekakuan elastis—direproduksi, tetapi ketergantungan lebih lemah daripada kasus JKR.

Gambar 4 melihat lebih detail ke dalam ketergantungan ini. Karena kami menentukan kecepatan memantul untuk bahan dengan B atau E _coh yang tetap, kami akan menganalisisnya untuk nilai tetap ini, tetapi menyajikan ketergantungan dalam istilah E _ind dan γ untuk membuat hubungan dengan prediksi JKR, Eq. (1). Untuk energi kohesi konstan E _coh, v _b bergantung seperti hukum pangkat pada kekakuan elastis,

Kecepatan memantul. Ketergantungan kecepatan memantul v _b pada a modulus indenta E _ind dan b energi permukaan γ. Garis menunjukkan pasangan hukum pangkat. c menampilkan ketergantungan eksponen daya, a, Eq. (4), pada energi kohesi. Garis menunjukkan pasangan linier untuk memandu mata

di mana a=0,28 (0,26, 0,02) untuk E _coh=3,54 (2,12, 0,35) eV. Demikian, eksponen a=0,33 yang diprediksi oleh JKR memang hampir direkuper untuk energi permukaan tinggi; namun, ketergantungan menjadi lebih lemah dengan menurunnya γ dan menghilang sepenuhnya untuk permukaan yang lemah teradhesi. Perhatikan bahwa dalam kasus energi permukaan yang menghilang, semua tabrakan harus memantul; ini menjelaskan peran yang menghilang dari kekakuan elastis dalam kasus ini.

Gambar 4 c menampilkan eksponen daya dari ketergantungan v _b (E _ind), Eq. (4), yang diperoleh dari simulasi kami. Plot ini jelas menunjukkan peningkatan ketergantungan pada E _ind dengan meningkatnya energi kohesi, dan consequently energi permukaan, seperti yang diindikasikan oleh garis pasangan linier merah.

Untuk kekakuan elastis konstan, B, ketergantungan v _b pada γ menunjukkan gambaran yang lebih sederhana, lihat Gambar 4 c. Pasangan hukum pangkat, v _b ∝γ ^−b, memberikan nilai b yang cukup konsisten sebesar 0,67 (0,59, 0,53) untuk B=403 (739, 1008) GPa, dan demikian menunjukkan hanya ketergantungan ringan pada B dan consequently E _ind. Perhatikan, namun, bahwa ketergantungan ini lebih lemah daripada nilai b=0,83 yang diprediksi oleh Eq. (1). Dengan meningkatnya kekakuan, deviasi dari prediksi JKR menjadi lebih kuat. Memang, diketahui bahwa JKR gagal untuk sistem yang terlalu kaku [16, 17]. Untuk sistem seperti itu, teori Derjaguin-Muller-Toporov (DMT) [18] diyakini berlaku lebih baik; namun tidak ada prediksi untuk kecepatan memantul yang tampaknya telah muncul dari teori tersebut.

Secara keseluruhan, kecepatan memantul yang ditemukan di sini di bawah 100 m/s. Kami menekankan bahwa untuk nilai nyata potensi Morse yang cocok untuk Cu, kami menemukan menempel di seluruh rentang kecepatan, dan tidak ada memantul. Ini selaras dengan simulasi terbaru dari tabrakan bola Cu (diameter 7–22 nm) dengan permukaan Al yang dilakukan oleh Pogorelko et al. [19, 20] yang menemukan menempel hingga kecepatan 1000 m/s. Alasan kami menemukan memantul dalam simulasi kami adalah karena kami menggunakan potensi model di mana modulus elastis ditingkatkan secara luas, dan ikatan permukaan diturunkan, dengan respecto pada nilai yang mengkarakterisasi Cu nyata.

Di atas ambang memantul, tabrakan dikarakterisasi oleh koefisien restituensi,

yang membandingkan kecepatan relatif setelah tabrakan, v ^′, dengan sebelum tabrakan, v, dan demikian mengukur inelastisitas tabrakan. Untuk tabrakan menempel, jelas, e=0. Teori JKR menyarankan hukum [4–6]

di mana kami memperkenalkan faktor α untuk mempertimbangkan dissipasi energi [7].

Gambar 5 menampilkan dua kasus ketergantungan kecepatan dari e; kami menemukan ini representatif untuk seluruh rentang kekakuan dan nilai adheksi yang dianalisis. Dalam semua kasus ini, tidak ada dissipasi energi besar selama tabrakan; α sekitar 0,9. Pada energi permukaan yang cukup besar, Gambar 5 a, e mengikuti prediksi JKR dengan baik, Eq. (6). Pada γ kecil, Namun, Gambar 5 b, zona transisi yang lebih sempit terlihat, di mana e beralih dari 0 hingga hampir 1; zona transisi ini tidak terdeskripsikan dengan baik oleh prediksi JKR, Eq. (6).

Koefisien restituensi. Ketergantungan koefisien restituensi, e, pada kecepatan tabrakan, v, untuk permukaan yang kuat teradhesi (γ=2,32 J/m²) (a) dan permukaan yang lemah teradhesi (γ=0,89 J/m²) (b). Modulus bulk identik dalam kedua kasus, B=940,8. Simbol menunjukkan hasil simulasi, sementara kurva adalah pasangan ke prediksi JKR, Eq. (6), dengan α=0,86 (a) dan 0,95 (b)

Pembahasan

Dalam regime menempel, koefisien restituensi tetap di bawah 1 yang menunjukkan kehilangan energi inelastis selama tabrakan. Kami memverifikasi bahwa tabrakan bersifat elastis dalam arti bahwa tidak ada plastisitas permanen yang dihasilkan selama tabrakan; alat perangkat lunak OVITO [21] digunakan untuk memeriksa produksi dislokasi. Untuk kecepatan lebih tinggi, v>100 m/s, dan bola yang compliant, dislokasi terbentuk sementara tapi menghilang lagi setelah tabrakan. Kami catat bahwa selama tabrakan bola nano kristal berukuran serupa yang berinteraksi melalui potensi Lennard-Jones generik, produksi dislokasi yang luas dapat terdeteksi [22, 23], sementara zona transformasi shear diidentifikasi dalam tabrakan bola silika amorfa [7], kedua sistem tabrakan ini menunjukkan plastisitas. Dalam kasus kami, modulus elastis yang tinggi mencegah pembentukan deformasi plastis; kehilangan energi inelastis disebabkan hanya oleh stimulasi getaran dalam bola yang bertabrakan. Dapat disimpulkan bahwa keberadaan tabrakan memantul terhubung dengan penindasan kehilangan inelastis selama tabrakan dan demikian dengan penindasan deformasi plastis.

Perilaku e untuk γ kecil menegaskan temuan kami di atas untuk v _b bahwa deviasi besar dari JKR ditunjukkan untuk sistem yang lemah teradhesi. Kami menyimpulkan bahwa untuk adheksi lemah, kecepatan memantul, dan juga kondisi sistem setelah memantul tergantung lemah pada karakteristik sistem lainnya, seperti E _ind dan v.

Kesimpulan

Prediksi teori JKR kontak elastis adhesif telah diuji dengan simulasi MD khusus dari nanograin menggunakan potensi model. Kami menemukan bahwa tren kasar dari ketergantungan kecepatan memantul cukup baik direproduksi oleh teori JKR saat memvariasi kekakuan bahan dan adheksi bahan hingga satu orde besar. Namun, kami menemukan deviasi sistematis untuk grain yang lemah teradhesi; dalam kasus ini, ambang memantul menjadi independen dari kekakuan bahan, dan koefisien restituensi menunjukkan hampir tidak ada ketergantungan kecepatan di atas v _b . Juga untuk adheksi yang lebih kuat, ketergantungan kecepatan memantul pada γ secara sistematis lebih kecil daripada yang diprediksi oleh JKR.

Deviasi ini menunjukkan pada deskripsi yang tidak lengkap tentang tabrakan nanopartikel oleh teori kontak makroskopis. Pekerjaan di masa depan akan mencoba memperluas studi ini ke grain kristal dengan orientasi lain dan dengan radius yang lebih besar, dan ke grain amorfa.