Identitas Aljabar Boolean Kunci: Tinjauan Komprehensif

Dalam matematika, sebuah identitas adalah pernyataan yang benar untuk semua nilai yang mungkin dari variabelnya atau variabel-variabelnya.

Identitas aljabar x + 0 = x memberitahu kita bahwa apa pun (x) ditambah nol sama dengan "apa pun" asli, tidak peduli nilai "apa pun" (x) itu.

Seperti aljabar biasa, Aljabar Boolean memiliki identitas uniknya sendiri berdasarkan status bivalent variabel Boolean.

 

Identitas Aditif

Menambahkan Nol

Identitas Boolean pertama adalah bahwa jumlah dari apa pun dan nol sama dengan "apa pun" asli.

Identitas ini tidak berbeda dari ekuivalen aljabar bilangan realnya:

 

 

Tidak peduli nilai A, output akan selalu sama: ketika A=1, output juga akan 1; ketika A=0, output juga akan 0.

 

Menambahkan Satu

Identitas berikut tentu saja berbeda dari yang pernah ditemukan dalam aljabar normal.

Di sini kita menemukan bahwa jumlah dari "apa pun" dan satu adalah satu:

 

 

Tidak peduli nilai A, jumlah A dan 1 akan selalu 1.

Dalam arti, sinyal "1" mengalahkan efek A pada rangkaian logika, menjaga output tetap pada level logika 1.

 

Menambahkan Kuantitas kepada Diri Sendiri

Selanjutnya, kita memeriksa efek menambahkan A dan A bersama, yang sama dengan menghubungkan kedua input dari gateway OR ke satu sama lain dan mengaktifkannya dengan sinyal yang sama:

 

 

Dalam aljabar bilangan real, jumlah dua variabel identik adalah dua kali nilai variabel asli (x + x = 2x), tetapi ingat bahwa tidak ada konsep "2" dalam dunia matematika Boolean, hanya 1 dan 0, jadi kita tidak dapat mengatakan bahwa A + A = 2A.

Jadi, ketika kita menambahkan kuantitas Boolean kepada dirinya sendiri, jumlahnya sama dengan kuantitas asli: 0 + 0 = 0, dan 1 + 1 = 1.

 

Menambahkan Kuantitas kepada Komplemennya

Mengintroduksi konsep komplemenasi yang unik Boolean ke dalam identitas aditif, kita menemukan efek menarik.

Karena harus ada satu nilai "1" di antara variabel dan komplemennya, dan karena jumlah kuantitas Boolean apa pun dan 1 adalah 1, jumlah variabel dan komplemennya harus 1:

 

 

Identitas Multiplikatif

Sama seperti ada empat identitas aditif Boolean (A+0, A+1, A+A, dan A+A'), demikian juga ada empat identitas perkalian: Ax0, Ax1, AxA, dan AxA'. Dari keduanya, dua pertama tidak berbeda dari ekuivalen ekspresi dalam aljabar reguler:

 

Mengalikan dengan 0 atau 1

 

 

Mengalikan Kuantitas dengan Diri Sendiri

Identitas perkalian ketiga mengekspresikan hasil dari kuantitas Boolean dikalikan dengan dirinya sendiri.

Dalam aljabar normal, hasil kali variabel dengan dirinya sendiri adalah kuadrat dari variabel itu (3 x 3 = 3² = 9).

Namun, konsep kuadrat menyiratkan kuantitas 2, yang tidak memiliki arti dalam Aljabar Boolean, jadi kita tidak dapat mengatakan bahwa A x A = A².

Alih-alih, kita menemukan bahwa hasil kuantitas Boolean dengan dirinya sendiri adalah kuantitas asli, karena 0 x 0 = 0 dan 1 x 1 = 1:

 

 

Mengalikan Kuantitas dengan Komplemennya

Identitas perkalian keempat tidak memiliki ekuivalen dalam aljabar reguler karena ia menggunakan komplemen dari variabel, konsep yang unik untuk matematika Boolean.

Karena harus ada satu nilai "0" di antara variabel dan komplemennya, dan karena hasil kuantitas Boolean apa pun dan 0 adalah 0, hasil variabel dan komplemennya harus 0:

 

 

Untuk merangkum, maka, kita memiliki empat identitas dasar Boolean untuk penjumlahan dan empat untuk perkalian:

 

 

Double Complement

Identitas lain yang berhubungan dengan komplemenasi adalah double complement: variabel yang diinvert dua kali.

Mengomplemen variabel dua kali (atau jumlah genap kali) menghasilkan nilai Boolean asli.

Ini analog dengan negasi (mengalikan dengan -1) dalam aljabar bilangan real: sejumlah genap negasi membatalkan untuk meninggalkan nilai asli:

 

 

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Aljabar Boolean