Solusi Minterm vs Maxterm

Sejauh ini kami telah menemukan solusi Sum-Of-Product (SOP) untuk masalah pengurangan logika. Untuk setiap solusi SOP ini, ada juga solusi Product-Of-Sums (POS), yang bisa lebih berguna, tergantung pada aplikasinya.

Sebelum mengerjakan solusi Product-Of-Sums, kita perlu memperkenalkan beberapa terminologi baru. Prosedur di bawah untuk memetakan istilah produk bukanlah hal baru dalam bab ini.

Kami hanya ingin membuat prosedur formal untuk minterms untuk dibandingkan dengan prosedur baru untuk maxterms.

Minterm

Sebuah minterm adalah ekspresi Boolean yang menghasilkan 1 untuk keluaran satu sel, dan 0 s untuk semua sel lain dalam peta Karnaugh, atau tabel kebenaran. Jika minterm memiliki satu 1 dan sel yang tersisa sebagai 0 s, tampaknya mencakup area minimum 1 s.

Ilustrasi di kiri atas menunjukkan minterm ABC , istilah produk tunggal, sebagai satu 1 di peta yang sebaliknya 0 S. Kami belum menampilkan 0 s di peta Karnaugh kami hingga saat ini, karena biasanya dihilangkan kecuali jika diperlukan secara khusus. Minterm lagi A'BC' ditampilkan di kanan atas.

Poin untuk ditinjau adalah bahwa alamat sel sesuai langsung dengan minterm yang dipetakan. Yaitu, sel 111 sesuai dengan minterm ABC kiri atas.

Di atas kanan kita melihat bahwa minterm A’BC’ berhubungan langsung dengan sel 010 . Ekspresi atau peta Boolean mungkin memiliki beberapa minterm.

Mengacu pada gambar di atas, Mari meringkas prosedur untuk menempatkan minterm di K-map:

• Identifikasi istilah minterm (istilah produk) yang akan dipetakan.
• Tuliskan nilai numerik biner yang sesuai.
• Gunakan nilai biner sebagai alamat untuk menempatkan 1 di K-map
• Ulangi langkah-langkah untuk minterm lainnya (Istilah-P dalam Sum-Of-Products).

Ekspresi Boolean akan lebih sering terdiri dari beberapa minterm yang sesuai dengan banyak sel dalam peta Karnaugh seperti yang ditunjukkan di atas. Beberapa minterm dalam peta ini adalah minterm individual yang telah kita periksa pada gambar sebelumnya di atas.

Poin yang kami tinjau sebagai referensi adalah bahwa 1 s keluar dari K-map sebagai alamat sel biner yang mengkonversi langsung ke satu atau lebih istilah produk.

Yang kami maksud secara langsung adalah 0 sesuai dengan variabel yang dilengkapi, dan 1 sesuai dengan variabel yang benar. Contoh:010 mengonversi langsung ke A’BC’ .

Tidak ada pengurangan dalam contoh ini. Padahal, kami memiliki hasil Sum-Of-Products dari minterms.

Mengacu pada gambar di atas, Mari meringkas prosedur untuk menulis persamaan Boolean Sum-Of-Products tereduksi dari K-map:

• Bentuk kelompok terbesar 1 s mungkin mencakup semua minterms. Grup harus berkekuatan 2.
• Tulis nilai numerik biner untuk grup.
• Mengonversi nilai biner menjadi istilah produk.
• Ulangi langkah untuk grup lain. Setiap grup menghasilkan p-terms dalam Sum-Of-Products.

Tidak ada yang baru sejauh ini, prosedur formal telah ditulis untuk menangani minterms. Ini berfungsi sebagai pola untuk menangani maxterms.

Selanjutnya kita menyerang fungsi Boolean yaitu 0 untuk satu sel dan 1 s untuk semua yang lain.

Maxterm

Sebuah maksterm adalah ekspresi Boolean yang menghasilkan 0 untuk keluaran ekspresi sel tunggal, dan 1 s untuk semua sel lain di peta Karnaugh, atau tabel kebenaran. Ilustrasi di kiri atas menunjukkan maxterm (A+B+C) , istilah penjumlahan tunggal, sebagai 0 single tunggal di peta yang sebaliknya 1 s.

Jika maxterm memiliki satu 0 dan sel yang tersisa sebagai 1 s, tampaknya mencakup area maksimum 1 s.

Ada beberapa perbedaan sekarang karena kita berurusan dengan sesuatu yang baru, maxterms. Maksimumnya adalah 0 , bukan 1 di peta Karnaugh. Maksterm adalah istilah penjumlahan, (A+B+C) dalam contoh kita, bukan istilah produk. Juga terlihat aneh bahwa (A+B+C) dipetakan ke dalam sel 000 .

Untuk persamaan Keluar=(A+B+C)=0 , ketiga variabel (A, B, C) satu per satu harus sama dengan 0 . Hanya (0+0+0)=0 akan sama dengan 0 . Jadi kami menempatkan satu-satunya 0 untuk minterm (A+B+C) di sel A,B,C=000 di K-map, di mana semua inputnya 0 .

Ini adalah satu-satunya kasus yang akan memberi kita 0 untuk maxterm kami. Semua sel lain berisi 1 s karena nilai input apa pun selain ((0,0,0) untuk (A+B+C) menghasilkan 1 setelah evaluasi.

Mengacu pada gambar di atas, prosedur untuk menempatkan maxterm di K-map adalah:

• Identifikasi istilah Sum yang akan dipetakan.
• Tulis nilai numerik biner yang sesuai.
• Bentuk pelengkap
• Gunakan pelengkap sebagai alamat untuk menempatkan 0 di K-map
• Ulangi untuk maxterms lainnya (Jumlah istilah dalam ekspresi Product-of-Sums).

Maksterm lainnya A’+B’+C’ ditunjukkan di atas. 000 numerik sesuai dengan A’+B’+C’ . Pelengkapnya adalah 111 . Tempatkan 0 untuk maxterm (A’+B’+C’) di sel ini (1,1,1) dari K-map seperti yang ditunjukkan di atas.

Mengapa harus (A’+B’+C’) menyebabkan 0 berada di sel 111 ? Saat A’+B’+C’ adalah (1’+1’+1’) , semua 1 s di, yaitu (0+0+0) setelah mengambil pelengkap, kami memiliki satu-satunya syarat yang akan memberi kami 0 . Semua 1 s dilengkapi dengan semua 0 s, yaitu 0 ketika ATAU ed.

Ekspresi atau peta Boolean Product-Of-Sums mungkin memiliki beberapa maxterms seperti yang ditunjukkan di atas. Maksterm (A+B+C) menghasilkan 111 numerik numerik yang melengkapi 000 , menempatkan 0 di sel (0,0,0) . Maksterm (A+B+C’) menghasilkan 110 numer numerik yang melengkapi 001 , menempatkan 0 di sel (0,0,1) .

Sekarang setelah kita memiliki pengaturan k-map, yang benar-benar menarik bagi kita adalah menunjukkan bagaimana menulis pengurangan Product-Of-Sums. Bentuk 0 s ke dalam kelompok. Itu akan menjadi kelompok dua di bawah ini. Tulis nilai biner yang sesuai dengan suku-sukunya yaitu (0,0,X) .

A dan B keduanya 0 untuk grup. Tapi, C keduanya 0 dan 1 jadi kami menulis X sebagai tempat untuk C . Bentuk komplemen (1,1,X) . Tulis suku-suku (A+B) membuang C dan X yang memegang tempatnya.

Secara umum, berharap memiliki lebih banyak jumlah yang dikalikan bersama dalam hasil Produk-Dari-Jumlah. Padahal, kami memiliki contoh sederhana di sini.

Mari kita rangkum prosedur penulisan pengurangan Boolean Product-Of-Sums untuk K-map:

• Bentuk kelompok terbesar 0 s mungkin, mencakup semua maxterms. Grup harus berkekuatan 2.
• Tulis nilai numerik biner untuk grup.
• Melengkapi nilai numerik biner untuk grup.
• Konversi nilai pelengkap menjadi suku-jumlah.
• Ulangi langkah untuk grup lain. Setiap grup menghasilkan jumlah suku dalam hasil Jumlah Produk.

Contoh

Contoh:

Sederhanakan ekspresi Boolean Product-Of-Sums di bawah ini, berikan hasilnya dalam bentuk POS.

Solusi:

Transfer tujuh maxterms ke peta di bawah ini sebagai 0 S. Pastikan untuk melengkapi variabel input dalam menemukan lokasi sel yang tepat.

Kami memetakan 0 s seperti yang terlihat dari kiri ke kanan atas ke bawah pada peta di atas. Kami menemukan tiga maxterms terakhir dengan garis pemimpin..

Setelah sel berada di tempat di atas, bentuk kelompok sel seperti yang ditunjukkan di bawah ini. Kelompok yang lebih besar akan memberikan penjumlahan dengan input yang lebih sedikit. Lebih sedikit grup akan menghasilkan jumlah yang lebih sedikit dalam hasil.

Kami memiliki tiga grup, jadi kami berharap memiliki tiga penjumlahan dalam hasil POS kami di atas. Kelompok 4-sel menghasilkan suku-suku 2-variabel. Dua kelompok 2-sel memberi kita dua suku-suku 3-variabel.

Detail ditampilkan untuk bagaimana kami sampai pada Sum-terms di atas. Untuk grup, tulis alamat input grup biner, lalu lengkapi, ubah menjadi suku-suku Boolean. Hasil akhirnya adalah perkalian dari ketiga penjumlahan tersebut.

Contoh:

Sederhanakan ekspresi Boolean Product-Of-Sums di bawah ini, berikan hasilnya dalam bentuk SOP.

Solusi: Ini terlihat seperti pengulangan dari masalah terakhir. Kecuali bahwa kami meminta Solusi Jumlah Produk alih-alih Produk Jumlah yang baru saja kami selesaikan. Petakan maxterm 0 s dari Product-Of-Sums yang diberikan seperti pada soal sebelumnya, kiri bawah.

Kemudian isi 1 . yang tersirat s di sel yang tersisa dari peta di atas kanan.

Bentuk grup 1 s untuk mencakup semua 1 S. Kemudian tulis hasil yang disederhanakan Jumlah Produk seperti pada bagian sebelumnya dari bab ini. Ini identik dengan masalah sebelumnya.

Di atas kami menunjukkan solusi Jumlah Produk, dari contoh sebelumnya, dan solusi Jumlah Produk dari masalah saat ini untuk perbandingan.

Manakah solusi yang lebih sederhana? POS menggunakan gerbang 3-OR dan gerbang 1-AND, sedangkan SOP menggunakan gerbang 3-AND dan gerbang 1-OR. Keduanya menggunakan empat gerbang masing-masing.

Melihat lebih dekat, kami menghitung jumlah input gerbang. POS menggunakan 8 input; SOP menggunakan 7 input. Dengan definisi solusi biaya minimal, solusi SOP lebih sederhana.

Ini adalah contoh jawaban yang benar secara teknis yang tidak banyak berguna di dunia nyata.

Solusi yang lebih baik tergantung pada kompleksitas dan keluarga logika yang digunakan. Solusi SOP biasanya lebih baik jika menggunakan keluarga logika TTL, karena gerbang NAND adalah blok pembangun dasar, yang bekerja dengan baik dengan implementasi SOP.

Di sisi lain, solusi POS dapat diterima saat menggunakan keluarga logika CMOS karena semua ukuran gerbang NOR tersedia.

Diagram gerbang untuk kedua kasus ditunjukkan di atas, Jumlah Produk di kiri, dan Jumlah Produk di kanan.

Di bawah ini, kita melihat lebih dekat pada versi Sum-Of-Products dari contoh logika kita, yang diulang di sebelah kiri.

Di atas semua gerbang AND di kiri telah digantikan oleh gerbang NAND di kanan.. Gerbang OR di output diganti dengan gerbang NAND. Untuk membuktikan bahwa logika AND-OR ekivalen dengan logika NAND-NAND, pindahkan gelembung pembalik inverter pada output gerbang 3-NAND ke input NAND akhir seperti yang ditunjukkan dari kanan atas ke kiri bawah.

Kanan atas kita melihat bahwa gerbang NAND keluaran dengan masukan terbalik secara logis setara dengan gerbang OR dengan teorema DeMorgan dan negasi ganda.

Informasi ini berguna dalam membangun logika digital dalam pengaturan laboratorium di mana gerbang NAND keluarga logika TTL lebih mudah tersedia dalam berbagai konfigurasi daripada jenis lainnya.

Prosedur untuk membangun logika NAND-NAND, sebagai pengganti logika AND-OR adalah sebagai berikut:

• Buat desain logika Sum-Of-Products yang direduksi.
• Saat menggambar diagram pengkabelan SOP, ganti semua gerbang (baik AND dan OR) dengan gerbang NAND.
• Input yang tidak digunakan harus dikaitkan dengan logika Tinggi.
• Dalam kasus pemecahan masalah, node internal pada level pertama dari output gerbang NAND TIDAK cocok dengan level logika diagram AND-OR, tetapi dibalik. Gunakan diagram logika NAND-NAND. Namun, input dan output akhir identik.
• Beri label beberapa paket U1, U2,.. dll.
• Gunakan lembar data untuk menetapkan nomor pin ke input dan output semua gerbang.

Contoh:

Mari kita meninjau kembali masalah sebelumnya yang melibatkan minimalisasi SOP. Menghasilkan solusi Product-Of-Sums. Bandingkan solusi POS dengan SOP sebelumnya.

Solusi:

Kiri atas kita memiliki masalah awal yang dimulai dengan ekspresi Boolean 9-minterm yang tidak disederhanakan. Meninjau, kami membentuk empat kelompok 4-sel untuk menghasilkan hasil SOP 4-istilah produk, kiri bawah.

Pada gambar tengah, di atas, kami mengisi ruang kosong dengan 0 . yang tersirat S. 0 s membentuk dua kelompok 4-sel. Grup biru solid adalah (A’+B) , grup merah putus-putus adalah (C’+D) . Ini menghasilkan dua suku-suku dalam hasil Product-Of-Sums, kanan atas Keluar =(A’+B)(C’+D)

Membandingkan penyederhanaan SOP sebelumnya, kiri, dengan penyederhanaan POS, kanan, menunjukkan bahwa POS adalah solusi biaya terkecil. SOP menggunakan total 5 gerbang, POS hanya menggunakan 3 gerbang.

Solusi POS ini bahkan terlihat menarik saat menggunakan logika TTL karena kesederhanaan hasilnya. Kita dapat menemukan gerbang AND dan gerbang OR dengan 2 input.

Diagram gerbang SOP dan POS ditunjukkan di atas untuk masalah perbandingan kami.

Mengingat pin-out untuk gerbang rangkaian terpadu keluarga logika TTL di bawah ini, beri label diagram maxterm di atas kanan dengan penanda Sirkuit (U1-a, U1-b, U2-a, dll), dan nomor pin.

Setiap paket sirkuit terpadu yang kami gunakan akan menerima penanda sirkuit:U1, U2, U3. Untuk membedakan antara gerbang individu dalam paket, gerbang tersebut diidentifikasi sebagai a, b, c, d, dll.

Paket 7404 hex-inverter adalah U1. Inverter individu di dalamnya adalah U1-a, U1-b, U1-c, dll. U2 ditugaskan ke 7432 quad OR gate. U3 ditugaskan ke gerbang AND 7408 quad.

Dengan mengacu pada nomor pin pada diagram paket di atas, kami menetapkan nomor pin ke semua input dan output gerbang pada diagram skematik di bawah ini.

Kita sekarang dapat membangun sirkuit ini dalam pengaturan laboratorium. Atau, kita bisa mendesain papan sirkuit tercetak untuk itu. Papan sirkuit tercetak berisi "kabel" foil tembaga yang didukung oleh substrat fenolik non-konduktif, atau kaca epoksi.

Papan sirkuit tercetak digunakan untuk memproduksi sirkuit elektronik secara massal. Ground input dari gerbang yang tidak digunakan.

Beri label pada diagram solusi POS sebelumnya di atas kiri (gambar ketiga di belakang) dengan penanda Sirkuit dan nomor pin. Ini akan mirip dengan apa yang baru saja kita lakukan.

Kita dapat menemukan gerbang AND 2-masukan, 7408 pada contoh sebelumnya. Namun, kami kesulitan menemukan gerbang OR 4-input di katalog TTL kami.

Satu-satunya jenis gerbang dengan 4-input adalah gerbang NAND 7420 yang ditunjukkan di atas kanan.

Kita dapat membuat gerbang NAND dengan 4 masukan menjadi gerbang OR dengan 4 masukan dengan membalik masukan tersebut ke gerbang NAND seperti pada gambar di bawah ini. Jadi kita akan menggunakan gerbang NAND 4-input 7420 sebagai gerbang OR dengan membalik inputnya.

Kami tidak akan menggunakan inverter diskrit untuk membalikkan input ke gerbang NAND 7420 4-input, tetapi akan menggerakkannya dengan gerbang NAND 2-input sebagai pengganti gerbang AND yang disebut dalam SOP, minterm, solusi.

Pembalikan pada keluaran gerbang NAND 2 masukan menyediakan inversi untuk gerbang OR 4 masukan.

Hasilnya ditunjukkan di atas. Ini adalah satu-satunya cara praktis untuk benar-benar membangunnya dengan gerbang TTL dengan menggunakan logika NAND-NAND menggantikan logika AND-OR.

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Pemetaan Karnaugh