Notasi Polar vs. Persegi Panjang untuk Bilangan Kompleks – Panduan Praktis
Bilangan kompleks mendasari banyak area teknik dan matematika. Untuk bekerja dengan mereka secara efisien—tanpa menggambar vektor setiap kali—dua notasi standar digunakan: polar dan persegi panjang. Artikel ini menjelaskan kedua bentuknya, aturan untuk mengonversi di antara keduanya, dan kapan setiap bentuk paling berguna.
Bentuk Polar dari Bilangan Kompleks
Dalam notasi polar, bilangan kompleks diekspresikan oleh magnitudonya (juga disebut modulus atau nilai mutlak) dan sudut yang dibuatnya dengan sumbu real positif. Sudut biasanya ditulis dengan simbol ∠.
Pikirkan peta: notasi polar untuk vektor dari New York City ke San Diego mungkin membaca “2400 mil, barat daya.” Berikut adalah dua vektor dan representasi polar mereka:
Vektor dengan notasi polar.
Dalam perhitungan sirkuit AC, orientasi standar menetapkan 0° ke kanan (timur), 90° lurus ke atas (utara), 180° ke kiri (barat), dan 270° lurus ke bawah (selatan). Vektor yang mengarah “ke bawah” dapat dijelaskan dengan sudut lebih dari 180° atau sebagai sudut negatif kurang dari 0°. Misalnya, vektor pada ∠270° (lurus selatan) juga dapat ditulis sebagai –90°. Demikian pula, vektor 7,81 ∠230,19° dapat diekspresikan sebagai 7,81 ∠–129,81°.
Kompas vektor.
Bentuk Persegi Panjang dari Bilangan Kompleks
Notasi persegi panjang menggambarkan bilangan kompleks oleh komponen horizontal (real) dan vertikal (imajiner). Secara visual, bilangan kompleks adalah hipotenusa dari segitiga siku-siku, dengan sisi horizontal mewakili bagian real dan sisi vertikal mewakili bagian imajiner.
Dalam matematika murni, komponen vertikal diawali dengan huruf kecil i, sedangkan dalam teknik listrik ditandai dengan j. Huruf-huruf ini adalah operator notasi murni; mereka tidak mewakili kuantitas fisik.
Contoh:
Bentuk persegi panjang: komponen horizontal (real) + vertikal (imajiner).
Sumbu real sesuai dengan garis bilangan yang akrab, sementara sumbu imajiner adalah garis bilangan kedua yang diputar 90° dari sumbu real.
Kompas vektor yang menunjukkan sumbu real dan imajiner.
Karena bilangan kompleks adalah dua dimensi, kita memerlukan dua sumbu tegak lurus untuk mewakilinya. Diagram gabungan terlihat seperti ini:
Kompas vektor dengan garis bilangan real dan imajiner (j).
Mengonversi dari Polar ke Persegi Panjang
Kedua notasi valid; pilihan bergantung pada operasi. Bentuk persegi panjang nyaman untuk penambahan dan pengurangan, sementara bentuk polar menyederhanakan perkalian dan pembagian. Mengonversi dari polar ke persegi panjang menggunakan trigonometri dasar:
- Bagian real = magnitudo × cos(sudut)
- Bagian imajiner = magnitudo × sin(sudut)
Hubungan ini muncul dari representasi segitiga siku-siku dari bilangan kompleks.
Vektor magnitudo dalam bentuk komponen real (4) dan imajiner (j3).
Mengonversi dari Persegi Panjang ke Polar
Untuk pergi ke arah lain, pertama-tama temukan magnitudo menggunakan teorema Pythagoras, lalu tentukan sudut dengan arkus tangen dari rasio komponen imajiner terhadap real:
- Magnitudo = √(real² + imajiner²)
- Sudut = atan2(imajiner, real)
Contoh perhitungan diilustrasikan dalam gambar berikut:
Poin Kunci
- Notasi polar mengungkapkan bilangan kompleks oleh panjangnya (magnitudo) dan arahnya (sudut).
- Notasi persegi panjang mengungkapkannya oleh komponen horizontal (real) dan vertikal (imajiner).
- Komponen imajiner ditulis dengan huruf kecil
j (dalam elektronika) atau i (dalam matematika). - Kedua bentuk memetakan ke segitiga siku-siku: hipotenusa = magnitudo, sisi bersebelahan = bagian real, sisi berseberangan = bagian imajiner.
Lembar Kerja Terkait
