Panduan Lengkap Teorema Tellegen dengan Contoh Soal dan Simulasi MATLAB

Teorema Tellegen – Panduan Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal yang Diselesaikan

Apa Itu Teorema Tellegen?

Teorema Tellegen diterbitkan oleh insinyur listrik dan penulis Belanda Bernard D.H. Tellegen pada tahun 1952. Teorema ini merupakan teorema paling penting dan dasar di antara teorema-teorema lain dalam analisis jaringan. Sebagian besar teorema lainnya berasal dari teorema ini.

Teorema Tellegen bergantung pada hukum Kirchhoff. Oleh karena itu, teorema ini dapat diterapkan pada jaringan yang mematuhi hukum Kirchhoff. Teorema ini dapat diterapkan pada berbagai jaringan yang memiliki elemen linear atau non-linear, time-variant atau non-variant, pasif atau aktif.

Teorema Tellegen menyatakan bahwa;

Teorema Tellegen bekerja berdasarkan prinsip hukum konservasi energi. Teorema ini digunakan dalam aplikasi kimia dan biologi untuk menemukan perilaku dinamis jaringan fisik. Dalam pemrosesan sinyal, teorema ini digunakan untuk merancang filter.

• Post Terkait: Teorema Thevenin. Panduan Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal yang Diselesaikan

Persamaan Matematika

Untuk analisis umum teorema ini, kita menganggap terdapat 'n' elemen dalam jaringan. Arus instantan yang melewati elemen adalah i₁, i₂, i₃, …, i_n. Dan tegangan instantan cabang tersebut adalah v₁, v₂, v₃, …, v_n.

Oleh karena itu, arus dan tegangan instantan elemen-1 adalah i₁ dan v₁. Daya instantan (p₁) yang dikonsumsi oleh elemen ini adalah v₁i₁.

p₁ = v₁ i₁

Daya instantan elemen-2 adalah (p₂);

p₂ = v₂ i₂

Demikian pula, daya instantan elemen ke-n adalah (p_n);

p_n = v_n i_n

Menurut Teorema Tellegen, jumlah semua daya instantan adalah nol. Artinya kita perlu menjumlahkan semua daya instantan p₁, p₂, p₃, …, p_n.

p₁ + p₂ + p₃ + … + p_n = 0

v₁ i₁+ v₂ i₂ + v₃ i₃ + … + v_n i_n = 0

Secara umum, kita dapat menulis persamaan di atas untuk cabang ke-k;

Di mana,

• n = total jumlah cabang dalam jaringan
• v_k = tegangan instantan cabang ke-k
• i_k = arus instantan cabang ke-k
• p_k = daya instantan cabang ke-k

Sekarang, pertimbangkan gambar di bawah ini di mana cabang AB sama dengan cabang k.

Oleh karena itu, tegangan instantan v_k;

v_k = v_a – v_b

Dan arus instantan yang melewati cabang (dari a ke b) adalah i_k;

i_k = i_ab

Jadi, daya instantan p_k adalah;

p_k = v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab ….. (1)

Sekarang, kita pertimbangkan arah arus instantan yang berlawanan (dari b ke a);

i_ab = – i_ab

Tegangan instantan;

v_k = v_b – v_a

Daya instantan p_k adalah;

p_k = v_k i_k = (v_b – v_a) i_ba ….. (2)

Menjumlah persamaan-1 dan 2;

2v_k i_k = (v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba

v_k i_k = 1/2 [(v_a – v_b) i_ab + (v_b – v_a) i_ba] ….. (3)

Persamaan ini dapat ditulis sebagai berikut untuk n-cabang;

Menurut hukum arus Kirchhoff, jumlah aljabar arus adalah nol pada sebuah simpul rangkaian.

Oleh karena itu,

Jika kita memasukkan nilai ini ke dalam persamaan-4, kita akan memperoleh;

Jadi, terbukti bahwa jumlah daya yang diserahkan ke jaringan adalah nol. Oleh karena itu, teorema Tellegen terbukti. Juga dijelaskan bahwa jumlah daya yang diserap oleh elemen jaringan sama dengan jumlah daya yang diserahkan oleh sumber.

• Post Terkait: Teorema Norton. Panduan Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal yang Diselesaikan

Langkah-langkah untuk Teorema Tellegen

Kita perlu mengikuti langkah-langkah di bawah ini untuk menyelesaikan jaringan listrik apapun dengan Teorema Tellegen.

Langkah-1: Kita perlu mencari jumlah cabang dalam jaringan listrik yang diberikan. Kemudian cari daya yang disipasi di setiap cabang. Untuk mencari daya, kita perlu mencari tegangan atau arus dari cabang tersebut menggunakan metode analisis konvensional apa pun.

Langkah-2: Cari daya instantan dari setiap cabang.

Langkah-3: Cabang yang memiliki sumber energi dianggap sebagai cabang yang menyediakan daya. Dan cabang yang memiliki elemen lain dianggap sebagai cabang yang menyerap daya. Sekarang identifikasi cabang yang menyediakan daya dan cabang yang menyerap daya.

Langkah-4: Asumsikan tanda positif pada cabang yang menyediakan daya dan penurunan tegangan negatif pada cabang yang menyerap daya. Anda dapat mengasumsikan tanda terbalik juga. Namun tidak dapat diubah sepanjang contoh.

Langkah-5: Untuk memvalidasi Teorema Tellegen, kita perlu menambahkan semua daya yang dihitung dari semua cabang. Dan penjumlahan ini selalu nol.

• Post Terkait: Analisis Rangkaian SUPERMESH – Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal yang Diselesaikan

Mari kita pahami dengan contoh.

Contoh Soal Teorema Tellegen yang Diselesaikan

Contoh #1

Validasi Teorema Tellegen untuk jaringan di bawah ini.

Penyelesaian:

Langkah-1: Jaringan rangkaian yang diberikan memiliki 5 cabang. Untuk menghitung daya instantan, kita perlu mencari arus yang melewati setiap cabang. Untuk itu, kita akan menerapkan KVL pada jaringan.

Terapkan KVL pada loop-1;

15 = 12I₁ – 3I₂

Terapkan KVL pada loop-2;

12 = – 3I₂ + 6I₂

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, kita dapat menemukan nilai arus loop I₁ dan I₂. Dan nilai-nilai tersebut adalah;

I₁ = 2A

I₂ = 3A

Langkah-2: Arus yang melewati cabang-3 adalah;

I₁₂ = I₂ – I₁ = 3 – 2 = 1A

Kita telah memiliki arus yang mengalir melalui semua cabang. Sekarang, cari daya dari setiap cabang.

P₁ = V I₁ = 15 x 2 = 30W

P₂ = R₁ I₁² = 9 x 4 = 36W

P₃ = R₁ I₁₂² = 3 x 1 = 3W

P₄ = R₃ I₂² = 3 x 9 = 27W

P₅ = V I₂ = 12 x 3 = 36W

Langkah-3: Terdapat dua cabang yang memiliki sumber. Cabang-cabang ini adalah cabang yang menyediakan daya dan tiga cabang lainnya adalah cabang yang menyerap daya.

Di sini, untuk contoh ini, kita asumsikan bahwa tanda cabang yang menyediakan daya adalah positif dan tanda cabang yang menyerap daya adalah negatif. Oleh karena itu, cabang-1 dan 5 adalah cabang yang menyediakan daya dan cabang lainnya adalah cabang yang menyerap daya.

Langkah-4: Tanda daya P₁ dan P₅ adalah positif (cabang yang menyediakan daya) dan tanda P₂, P₃, dan P₄ adalah negatif (cabang yang menyerap daya).

Langkah-5: Sekarang, kita perlu mencari jumlah daya yang disipasi oleh semua cabang.

P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30W – 36W – 3W – 27W + 36W = 0W

Jadi, jumlah daya instantan adalah nol. Dan oleh karena itu, teorema ini terbukti.

• Post Terkait: Analisis Rangkaian SUPERNODE – Langkah demi Langkah dengan Contoh Soal yang Diselesaikan

Contoh #2

Cari tegangan pada sumber arus 6A menggunakan Teorema Tellegen.

Penyelesaian:

Langkah-1: Kita perlu menghitung tegangan atau arus yang melewati elemen. Untuk itu, kita terapkan KCL atau KVL pada jaringan yang diberikan.

Terapkan KVL pada loop-2;

-12 = 8I₂ – 6I₁

Arus yang melewati cabang yang memiliki sumber arus adalah I₁;

I₁ = 6A

Masukkan nilai ini ke dalam persamaan di atas;

-12 = 8I₂ – 6(6)

-12 = 8I₂ – 36

36 – 12 = 8I₂

24 = 8I₂

I₂ = 3A

Langkah-2: Arus yang melewati cabang-2 adalah;

I₁₂ = I₁ – I₂ = 6 – 3 = 3A

Sekarang, cari daya dari setiap cabang;

P₁ = V I₁ = V x 6 = 6 x V

P₂ = R₁ I₁₂² = 6 x 9 = 54W

P₄ = R₂ I₂² = 2 x 9 = 18W

P₄ = V I₂ = -12 x 3 = -36W

Langkah-3: Di sini, dua cabang memiliki sumber energi. Oleh karena itu, kita harus menganggap cabang-cabang ini sebagai cabang yang menyediakan daya. Dan tetapkan tanda positif pada daya instantan.

Dua cabang lainnya hanya memiliki resistor. Jadi, cabang-cabang ini adalah cabang yang menyerap daya dan tetapkan tanda negatif pada daya instantan.

Langkah-4: Daya P₁ dan P₄ memiliki tanda positif dan daya P₂ dan P3 memiliki tanda negatif.

Langkah-5: Sekarang, kita perlu menjumlahkan semua daya instantan.

P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0W

P₁ – 54 – 18 + 36 = 108W

Daya yang disediakan oleh sumber arus 6A adalah 108W. Oleh karena itu, tegangan pada sumber arus dihitung dengan;

P₁ = V I

108W = V x 6A

V = 18V

Oleh karena itu, tegangan pada sumber arus adalah 18V.

• Post Terkait: Teorema Transfer Daya Maksimum untuk Rangkaian AC & DC

Analisis dan Simulasi Teorema Tellegen Menggunakan MATLAB

Tujuan:

Buktikan Teorema Tellegen untuk diagram rangkaian yang diberikan pada contoh di atas.

Persyaratan: MATLAB

Teori:

Menurut Teorema Tellegen, jumlah daya instantan dari semua cabang sama dengan nol. Untuk membuktikan teorema ini, kita perlu menghitung daya instantan dari semua cabang.

Untuk menemukan daya instantan, kita perlu menghitung tegangan atau arus dari semua cabang. Untuk itu, kita dapat menggunakan teorema KCL atau KVL. Namun di sini kita akan menggunakan model Simulink MATLAB untuk mencari arus dan tegangan.

Kita dapat menggunakan perangkat lunak lain juga seperti multisim, psim, dll. Kita akan membuat diagram rangkaian dalam model Simulink. Dengan model Simulink, Anda dapat menemukan tegangan dan arus dari setiap cabang.

Setelah itu, Anda dapat menemukan daya instantan dari tegangan dan arus. Anda dapat langsung menemukan daya instantan dari beberapa perangkat lunak.

Model Simulink MATLAB

Gambar di bawah ini menunjukkan diagram rangkaian dari contoh di atas.

Pada gambar ini, kita dapat langsung menemukan tegangan dan arus dari layar. Anda dapat membandingkan nilai-nilai ini dengan menghitung tegangan dan arus dengan bantuan KCL atau KVL.

Perhitungan

Setelah menghitung tegangan atau arus, Anda dapat menemukan daya instantan. Atau Anda dapat langsung menemukan daya instantan dari perangkat lunak. Yang kita butuhkan hanyalah daya instantan. Dan setelah itu, kita perlu menjumlahkan semua daya.

Jumlah daya selalu nol. Untuk contoh ini, kita membandingkan nilai tegangan dan arus yang ditemukan dari Simulink dan nilai yang sama yang dihitung pada contoh sebelumnya menggunakan KVL dan KCL. Nilai-nilai ini sama.

Nilai-nilai ini juga dihitung dengan menghubungkan resistor dan sumber pada papan roti. Dan kita dapat mengukur tegangan dan arus yang melewati semua cabang dengan bantuan voltmeter dan ammeter.

Oleh karena itu, teorema Tellegen terbukti.

• Post Terkait: Hukum Arus & Tegangan Kirchhoff (KCL & KVL) | Contoh Soal yang Diselesaikan

Aplikasi Teorema Tellegen

Teorema ini sangat dasar dan banyak digunakan dalam analisis rangkaian. Terdapat banyak aplikasi dari teorema ini. Beberapa aplikasi tercantum di bawah ini.

• Untuk merancang filter, teorema ini sangat berguna dalam aplikasi pemrosesan sinyal digital.
• Untuk menentukan stabilitas pabrik kimia, teorema ini digunakan dalam teknik kimia.
• Teorema ini berlaku untuk sistem terpusat yang memiliki elemen linear-nonlinear, aktif-pasif, time-variant/time-invariant.
• Teorema ini digunakan dalam proses biologis.
• Digunakan dalam topologi dan analisis reaksi struktur.
• Digunakan juga untuk menemukan perilaku dinamis jaringan fisik.

Tutorial Analisis Rangkaian Listrik Terkait:

• Teorema Superposisi – Analisis Rangkaian dengan Contoh Soal yang Diselesaikan
• Kalkulator Aturan Cramer – Sistem 2 dan 3 Persamaan untuk Rangkaian Listrik
• Jembatan Wheatstone – Rangkaian, Kerja, Turunan, dan Aplikasi
• Kalkulator Teknik Elektro dan Elektronika
• 5000+ Rumus & Persamaan Teknik Elektro dan Elektronika