Pengendalian Nonlinier Ganda dari Properti Mode dan Dispersi dalam Panduan Gelombang Plasmonic Grafena-Dielektrik

Abstrak

Kami mempelajari mode dan sifat dispersi dari pandu gelombang plasmonik nonlinier graphene-dielektrik dengan mempertimbangkan nonlinier ganda dielektrik dan graphene. Untuk polarisasi TM, distribusi mode, distribusi permitivitas, dan hubungan dispersi diperoleh dengan memecahkan persamaan Maxwell secara numerik. Dibandingkan dengan kasus yang hanya mempertimbangkan nonlinier dielektrik, intensitas medan awal untuk membangkitkan mode plasmon jelas berkurang ketika memperkenalkan nonlinier ganda. Selain itu, pengaruh nonlinier ganda pada hubungan dispersi dibahas, dan kami menemukan bahwa nonlinier graphene sangat mempengaruhi sifat dispersi. Pengenalan nonlinier ganda menyebabkan penurunan intensitas medan awal, yang memiliki aplikasi potensial di semua sakelar optik dengan ambang rendah.

Latar Belakang

Plasmonik graphene telah menarik perhatian luas [1,2,3,4] karena fitur elektronik dan optik yang unik dari graphene dibandingkan dengan logam. Pada THz dan rentang frekuensi inframerah-jauh, transisi elektron intraband mendominasi dan graphene berperilaku seperti logam. Oleh karena itu, polariton plasmon permukaan (SPPs) dapat didukung oleh graphene. Untuk struktur komposit multilayer graphene-dielectric, mode eksitasi, kopling, dan propagasi SPP telah diselidiki. Mode elektromagnetik kuasi-transversal ditemukan dalam pandu gelombang pelat paralel graphene [5]. Kopling SPP dipelajari [6, 7] dalam struktur multilayer graphene-dielectric. Untuk struktur susunan periodik lembar graphene monolayer, kopling kuat antara SPP muncul ketika lembar graphene disusun dengan rapat.

Upaya yang cukup besar telah dikhususkan untuk menyelidiki sifat optik dari struktur komposit nonlinier graphene-dielectric [8,9,10,11,12] untuk potensi besar mereka dalam mengendalikan perambatan cahaya pada skala mikro dan nano. Untuk kasus graphene lapisan tunggal, plasmon permukaan pada antarmuka antara graphene dan substrat nonlinier tipe kerr dibahas [8]. Terlihat bahwa panjang gelombang plasmon graphene dapat disetel dengan menyesuaikan permitivitas nonlinier substrat. Untuk struktur multilayer dielektrik graphene-nonlinier, sifat propagasi dan lokalisasi plasmon graphene dieksplorasi, dan hubungan dispersi yang tepat untuk plasmon permukaan TM dari pandu gelombang pelat paralel graphene diperoleh [11]. Panjang propagasi dan lokalisasi sangat dipengaruhi oleh pengaturan permitivitas nonlinier. Baru-baru ini, hubungan dispersi untuk mode plasmon simetris dan antisimetris telah diturunkan dalam struktur pelat kerr berlapis graphene [12]. Kecuali untuk mode propagasi maju yang khas, mode simetris, dan antisimetris ditemukan.

Berdasarkan nonlinier graphene yang kuat, beberapa efek optik nonlinier telah diprediksi [13,14,15,16,17]. Nesterov dkk. [15] mempelajari propagasi nonlinier cahaya dalam monolayer graphene, dan menemukan bahwa graphene monolayer dapat mendukung soliton optik spasial TE dan TM pada frekuensi optik karena nonlinier intrinsik graphene. Baru-baru ini, menggantikan graphene monolayer dengan graphene multilayer, Smirnova et al. [16] menyelidiki sifat nonlinier dari tumpukan multilayer lembaran graphene, dan menurunkan persamaan nonlinier yang menggambarkan dinamika spasial plasmon nonlinier. Studi sebelumnya terutama berfokus pada pengaruh nonlinier tunggal pada kontrol sifat cahaya dalam struktur dielektrik graphene. Ide kontrol nonlinier ganda diperkenalkan di superlattices fotonik berbasis graphene [18, 19], di mana kontrol listrik dan semua-optik dari sinar fotonik dengan akurasi subwavelength dalam dicapai. Namun, kontrol nonlinier ganda dari mode dan sifat dispersi dalam struktur plasmonik graphene-dielectric masih menyisakan banyak pertanyaan. Oleh karena itu, dalam makalah ini kami mempertimbangkan nonlinier graphene dan dielektrik secara bersamaan dalam pandu gelombang graphene-dielectric-graphene, dan mempelajari pengaruh nonlinier ganda pada mode kopling dan sifat dispersi.

Metode

Pemandu gelombang plasmonik dielektrik graphene-nonlinier diilustrasikan secara skematis pada Gambar. 1, pelat paralel graphene dengan konduktivitas σ _g ditempatkan di x = ± d /2, di mana dielektrik adalah media tipe kerr dengan permitivitas ε = ε _L + α |E |² . Dalam analisis kami, graphene diperlakukan sebagai batas karena ketebalannya dalam satu skala atom. Mempertimbangkan magnet transversal(TM) SPP yang merambat sepanjang z arah dengan konstanta propagasi β dan meluruh secara eksponensial di sepanjang x arah ke udara dan media nonlinier, masing-masing.

Diagram skema pandu gelombang plasmonik graphene-dielectric-graphene nonlinier

Untuk polarisasi TM, kita tahu bahwa ada tiga komponen medan E _x , E _z , dan H _y . Medan magnet H = H _y y dan medan listrik E = E _x x + E _z z memenuhi persamaan

$$ \frac{d{E}_z}{ dx}=i\omega {\mu}_0{H}_y+ i\beta {E}_x $$ (1) $$ i\beta {H}_y=- i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_x $$ (2) $$ \frac{d{ H}_y}{ dx}=i\omega {\varepsilon}_0\varepsilon {E}_z $$ (3)

dimana ε ₀ dan μ ₀ adalah permitivitas listrik dan permeabilitas magnetik vakum. Dari Persamaan. (2) dan ε = ε _L + α |E |² kita bisa mendapatkan

$$ {\varepsilon}^2{E}_x^2=\frac{\beta^2}{\omega^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2 $$ (4) $$ { E}_x^2=\left(\varepsilon -{\varepsilon}_L-\alpha {E}_z^2\right)/\alpha $$ (5)

Mengganti Persamaan. (5) ke dalam Persamaan. (4) kita punya

$$ {\varepsilon}^3-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right){\varepsilon}^2-\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega ^2{\varepsilon}_0^2}{H}_y^2=0 $$ (6)

Untuk persamaan kubik [20, 21]

$$ {x}^3+ b{x}^2+ c x+ d=0 $$ (7)

Diskriminan dari Persamaan. (7) adalah

$$ \varDelta ={b}^2{c}^2-4{c}^3-4{b}^3 d+18 b c d-27{d}^2 $$ (8)

Pengaturan $ b=-\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right),\kern0.5em c=0 $, dan $ d=-\alpha {\beta}^2 {H}_y^2/\left({\omega}^2{\varepsilon}_0^2\right) $, mudah untuk menunjukkan bahwa diskriminan dari Persamaan. (6) bertemu

$$ \varDelta =-{\left({\varepsilon}_L+\alpha {E}_z^2\right)}^3\frac{\alpha {\beta}^2}{\omega^2{\varepsilon} _0^2}{H}_y^2-27\frac{\alpha^2{\beta}^4}{\omega^4{\varepsilon}_0^4}{H}_y^4<0 $$ ( 9)

Δ < 0 berarti bahwa Persamaan. (6) hanya memiliki satu solusi nyata. Dari metode Cardano [20], kita tahu bahwa untuk persamaan kubik Persamaan. (7) akar aslinya adalah

$$ x=-\frac{b}{3}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{{\left(\frac{p}{3}\right)}^ 3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{{\left(\frac{p }{3}\right)}^3+{\left(\frac{q}{2}\right)}^2}} $$ (10)

dimana p = c b ² /3, q = d sm /3 + 2b ³ /27. Menggunakan Persamaan. (10) kita bisa mendapatkan ε . Mengganti ε dalam Persamaan. (2) dan (3) dengan solusi nyata, persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan secara numerik dengan metode relaksasi.

Hasil dan Diskusi

Dari persyaratan kontinuitas E _z dan H _y , kondisi batas di x = ± d /2 memuaskan E _1z = E _2z dan H _2y H _1y = σ _g E _z . Konduktivitas permukaan graphene σ _g diatur oleh rumus Kubo [22] termasuk kontribusi transisi interband dan intraband. Dalam rentang frekuensi THz dan inframerah-jauh, kontribusi transisi intraband mendominasi dan konduktivitas permukaan dapat disederhanakan menjadi tipe Drude sederhana sebagai [23]

$$ {\sigma}_g=\frac{e^2{\mu}_c}{\pi {\hslash}^2}\frac{\mathrm{i}}{\omega +\mathrm{i}{\ tau}^{-1}} $$ (11)

dimana e adalah muatan elektron, μ _c adalah potensi kimia graphene, ω adalah frekuensi, dan τ adalah waktu relaksasi momentum. Model ini berlaku dalam batas suhu rendah (k _B T < < μ _c ) pada frekuensi rendah (ℏω μ _c ). Untuk kondisi medan kuat, bagian nonlinier dari konduktivitas harus dipertimbangkan dan konduktivitas total graphene terbaca [16]

$$ {\sigma}_g={\sigma}_L+{\sigma}^{NL}{\left|{E}_{\tau}\right|}^2 $$ (12)

dimana E _τ adalah komponen tangensial dari medan listrik dan σ ^NL menunjukkan konduktivitas nonlinier [16]

$$ {\sigma}^{NL}=- i\frac{3}{8}\frac{e^2}{\pi {\hslash}^2}{\left(\frac{e{\nu} _F}{\mu_c\omega}\kanan)}^2\frac{\mu_c}{\omega} $$ (13)

dimana ν _F = 0.95 × 10⁸ cm/s adalah kecepatan Fermi.

Untuk graphene, hanya dalam rentang frekuensi THz dan inframerah-jauh, konduktivitas permukaannya dapat disederhanakan menjadi tipe Drude sederhana; oleh karena itu, kami memilih panjang gelombang datang sebagai λ = 10 μm . Parameter lain ditetapkan ke nilai ε ₁ = 1, ε _L = 2.25, α = 5 × 10^− 16 (m/v)² [24] E _F = 0,27 ev, τ =1,5 hal. Diketahui bahwa ada dua mode dalam struktur linier graphene-dielectric-graphene, yaitu mode simetris dan antisimetris. Berikut ini akan dibahas pengaruh nonlinier pada distribusi mode pada struktur komposit grafena-dielektrik.

Menyetel H ₀ sebagai komponen medan magnet awal pada antarmuka kejadian, dengan menyelesaikan Persamaan (1, 2, dan 3) secara numerik, ketergantungan intensitas medan magnet awal H ₀ pada konstanta propagasi β diberikan pada Gambar. 2. Konstanta propagasi ternormalisasi $ {k}_F=\sqrt{\uppi n} $ dalam satuan momentum Fermi [25], di mana n = 6 × 10¹² cm^− 2 adalah kepadatan pembawa. Kurva padat menunjukkan kasus bahwa hanya nonlinier dielektrik yang dipertimbangkan, sedangkan kurva putus-putus menunjukkan kasus bahwa nonlinier dielektrik dan graphene dipertimbangkan secara bersamaan. Dari Gambar 2 kita menemukan bahwa properti mode untuk kedua kasus adalah sama. Ada tiga cabang yang berarti pandu gelombang plasmonic nonlinier dapat mendukung tiga mode. Namun, dibandingkan dengan kasus nonlinier tunggal, intensitas medan awal tampaknya berkurang untuk kasus nonlinier ganda. Meskipun pandu gelombang plasmonik nonlinier graphene dapat mendukung tiga mode, tidak mungkin untuk membedakan cabang mana yang menunjukkan mode simetris, antisimetris, atau asimetris. Untuk menentukan sifat modus dari setiap cabang, kami memplot distribusi medan listrik dan medan magnet yang terkait dengan A, B, C, dan D masing-masing pada Gambar 3.

Intensitas magnet awal versus konstanta propagasi. Untuk kurva padat :α = 5 × 10^− 16 (m /v )² , σ ^NL = 0; untuk kurva putus-putus :α = 5 × 10^− 16 (m /v )² , σ ^NL = 2.19 × 10^− 20 i, garis hitam solid horizontal adalah garis bantu

Permitivitas dan distribusi mode untuk komponen magnetik H _y dan komponen listrik E _z . a dan b sesuai dengan titik A (H ₀ = 300, β = 6.94 × 10^− 2 k _F ) ditandai pada Gambar. 2 untuk mode simetris, c dan d sesuai dengan titik B (H ₀ = 300, β = 7.81 × 10^− 2 k _F ) ditandai pada Gbr.2 untuk mode antisimetris, e dan f sesuai dengan titik C (H ₀ = 300, β = 8,36 × 10^− 2 k _F ) ditandai pada Gambar. 2 untuk mode asimetris, dan g dan h sesuai dengan titik D (H ₀ = 700, β = 8.07 × 10^− 2 k _F )

Untuk cabang kurva putus-putus hitam, permitivitas dan medan yang terkait dengan A diplot pada Gambar. 3a, b, di mana distribusi permitivitas dan medan listrik E _z adalah simetris. Oleh karena itu, cabang ini mewakili mode simetris. Untuk cabang kurva putus-putus merah, permitivitas dan medan yang terkait dengan B diberikan pada Gambar. 3c, d. Distribusi permitivitas masih simetris; namun, distribusi medan listrik E _z adalah antisimetris yang menyiratkan cabang ini adalah mode antisimetris. Distribusi permitivitas dan bidang yang terkait dengan C dan D diplot pada Gambar. 3e-h. Perlu dicatat bahwa distribusi medan magnet yang sesuai dan medan listrik yang terkait dengan C dan D adalah asimetris; oleh karena itu, cabang kurva putus-putus biru mewakili mode asimetris. Sementara itu, distribusi medan listrik yang asimetris menyebabkan distribusi permitivitas yang asimetris.

Selanjutnya, kita mengalihkan perhatian untuk membahas pengaruh nonlinier dielektrik dan graphene pada hubungan dispersi. Gambar 4 menunjukkan hubungan dispersi untuk medan magnet awal tetap (H ₀ = 300 A/m) dan potensial kimia yang berbeda dan koefisien dielektrik nonlinier. Dalam Gambar. 4a-c, pengaruh koefisien nonlinier dielektrik pada hubungan dispersi ditampilkan, di mana hanya nonlinier dielektrik yang dipertimbangkan. Ketika koefisien nonlinier dan konduktivitas nonlinier sama dengan nol (α = 0, σ ^NL = 0), struktur nonlinier berdegenerasi menjadi struktur linier. Pada Gambar 4a, untuk kasus linier, hanya ada mode simetris dan antisimetris. Kurva solid hitam dan kurva solid merah masing-masing mewakili mode simetris dan antisimetris. Ketika koefisien nonlinier tidak nol, mode asimetris seperti cabang III ditunjukkan pada Gambar. 4b, c muncul dalam struktur. Ketika koefisien nonlinier semakin meningkat, pengaruh koefisien pada sifat dispersi menjadi lemah.

Hubungan dispersi untuk intensitas magnet awal tetap (H ₀ = 300 A/m) dan untuk berbagai koefisien nonlinier(a –c ) dan untuk berbagai potensi kimia(d –f ). a α = 0, μ _c = 0.27eV, σ _NL = 0, b α = 5 × 10^− 17 (m/V)² , μ _c = 0.27eV, σ _NL = 0, c α = 5 × 10^− 16 (m/V)² , μ _c = 0.27eV, σ _NL = 0, d μ _c = 0.27eV, α = 5 × 10^− 16 (m/V)² , (e ) μ _c = 0.16eV, α = 5 × 10^− 16 (m/V)² , dan f μ _c = 0,10eV, α = 5 × 10^− 16 (m/V)²

Berikut ini, kami memperkenalkan secara simultan nonlinier dielektrik dan graphene, dan membahas pengaruh nonlinier graphene pada hubungan dispersi dengan koefisien dielektrik nonlinier tetap α = 5 × 10^− 16 (m/V)² . Hasilnya ditunjukkan pada Gambar. 4d-f. Dibandingkan Gambar 4d dengan Gambar 4c, terlihat bahwa fenomena flip-back dari hubungan dispersi muncul di ketiga cabang. Dari Persamaan. (13), kita tahu bahwa ketidaklinieran graphene dapat dikontrol dengan menyesuaikan potensi kimia. Karena ketidaklinieran graphene semakin meningkat dari μ _c = 0,27 eV ke μ _c = 0.16 eV, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4e, titik balik hubungan dispersi bergerak ke atas. Untuk graphene nonlinier yang lebih besar (dengan potensi kimia kecil μ _c = 0.10eV), seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4f, hanya mode simetris yang muncul dan membentuk loop tertutup. Dari Gambar 4, kita tahu bahwa hanya dengan mempertimbangkan nonlinier dielektrik, hubungan dispersi menunjukkan tiga cabang yang hampir tidak dapat diubah ketika koefisien nonlinier dielektrik meningkat. Namun, ketika kami lebih jauh memperkenalkan nonlinier graphene, fenomena flip-back dari hubungan dispersi muncul. Untuk medan magnet awal yang ditentukan H ₀ dan potensial kimia hubungan dispersi hanya menunjukkan mode simetris dengan loop tertutup.

Kesimpulan

Singkatnya, kami telah menyelidiki mode dan sifat dispersi dari pandu gelombang plasmonik nonlinier graphene-dielectric. Distribusi modus, permitivitas, dan hubungan dispersi diperoleh dengan memecahkan persamaan Maxwell secara numerik untuk polarisasi TM. Dibandingkan dengan kasus yang hanya mempertimbangkan nonlinier dielektrik, intensitas medan awal tampaknya berkurang ketika mempertimbangkan nonlinier dielektrik dan graphene secara bersamaan. Selain itu, nonlinier ganda mempengaruhi sifat dispersi pandu gelombang secara signifikan. Terutama, ketika ketidaklinieran graphene meningkat, mode antisimetris dan asimetris bergabung menjadi satu dan secara bertahap menghilang. Oleh karena itu, hanya mode simetris yang dapat ditemukan dalam kasus nonlinier kuat.

Penelitian Eksperimental tentang Stabilitas dan Konveksi Alami Nanofluida Air TiO2 dalam Kandang dengan Sudut Rotasi Berbeda Superkapasitor Fleksibel Berdasarkan Array Polianilin Dilapisi Elektroda Grafena Aerogel

bahan nano