Aturan Boolean untuk Penyederhanaan

Aljabar Boolean menemukan penggunaannya yang paling praktis dalam penyederhanaan rangkaian logika.

Jika kita menerjemahkan fungsi rangkaian logika ke dalam bentuk simbolis (Boolean), dan menerapkan aturan aljabar tertentu ke persamaan yang dihasilkan untuk mengurangi jumlah suku dan/atau operasi aritmatika, persamaan yang disederhanakan dapat diterjemahkan kembali ke bentuk rangkaian untuk kinerja rangkaian logika. fungsi yang sama dengan komponen yang lebih sedikit.

Jika fungsi yang setara dapat dicapai dengan komponen yang lebih sedikit, hasilnya akan meningkatkan keandalan dan menurunkan biaya pembuatan.

Untuk tujuan ini, ada beberapa aturan aljabar Boolean yang disajikan di bagian ini untuk digunakan dalam mereduksi ekspresi ke bentuk paling sederhana.

Identitas dan properti yang telah diulas dalam bab ini sangat berguna dalam penyederhanaan Boolean, dan sebagian besar memiliki kesamaan dengan banyak identitas dan properti aljabar "normal".

Namun, aturan yang ditampilkan di bagian ini semuanya unik untuk matematika Boolean.

Aturan ini dapat dibuktikan secara simbolis dengan memfaktorkan “A” dari kedua suku tersebut, kemudian menerapkan aturan A + 1 =1 dan 1A =A untuk mendapatkan hasil akhir:

Harap perhatikan bagaimana aturan A + 1 =1 digunakan untuk mengurangi suku (B + 1) menjadi 1.

Ketika aturan seperti “A + 1 =1” diekspresikan menggunakan huruf “A”, bukan berarti aturan tersebut hanya berlaku untuk ekspresi yang mengandung “A”.

Apa yang dimaksud dengan “A” dalam aturan seperti A + 1 =1 adalah variabel Boolean atau kumpulan variabel.

Ini mungkin konsep yang paling sulit untuk dikuasai siswa baru dalam penyederhanaan Boolean:menerapkan identitas, properti, dan aturan standar ke ekspresi yang tidak dalam bentuk standar.

Misalnya, ekspresi Boolean ABC + 1 juga direduksi menjadi 1 melalui identitas “A + 1 =1”.

Dalam hal ini, kami menyadari bahwa istilah "A" dalam bentuk standar identitas dapat mewakili seluruh istilah "ABC" dalam ekspresi aslinya.

Aturan berikutnya terlihat mirip dengan yang pertama ditampilkan di bagian ini, tetapi sebenarnya sangat berbeda dan membutuhkan bukti yang lebih pintar:

Perhatikan bagaimana aturan terakhir (A + AB =A) digunakan untuk "tidak menyederhanakan" istilah "A" pertama dalam ekspresi, mengubah "A" menjadi "A + AB".

Meskipun ini mungkin tampak seperti langkah mundur, ini tentu membantu mengurangi ekspresi menjadi sesuatu yang lebih sederhana!

Terkadang dalam matematika kita harus mengambil langkah "mundur" untuk mencapai solusi yang paling elegan.

Mengetahui kapan harus mengambil langkah seperti itu dan kapan tidak adalah bagian dari bentuk seni aljabar, seperti halnya kemenangan dalam permainan catur yang hampir selalu membutuhkan pengorbanan yang diperhitungkan.

Aturan lain melibatkan penyederhanaan ekspresi product-of-sums:

Dan, bukti yang sesuai:

Untuk meringkas, berikut adalah tiga aturan baru penyederhanaan Boolean yang dijelaskan di bagian ini:

LEMBAR KERJA TERKAIT:

• Lembar Kerja Aljabar Boolean