Ketergantungan Sifat Elektronik dan Optik Multilayer MoS2 pada Kopling Antar Lapisan dan Singularitas Van Hove

Hasil dan Diskusi

Struktur Elektronik MoS₂ Multilayer

Kristal MoS₂ terjadi secara alami dan memiliki tiga jenis kristal:1T , 2H , dan 3R , yang sesuai dengan kristal dengan sel unit primitif trigonal, heksagonal, dan rombohedral, masing-masing [9]. 2H -MoS₂ dikenal sebagai struktur yang paling stabil [10]; oleh karena itu, kami hanya mempertimbangkan 2H jenis MoS massal₂ dalam pekerjaan ini. Massal 2H -MoS₂ memiliki struktur berlapis heksagonal yang terdiri dari lapisan atom molibdenum yang dikelilingi oleh enam atom belerang, dengan lembaran S-Mo-S bertumpuk secara berlawanan (ditunjukkan pada Gambar 2). Seprai tetangga dalam jumlah besar 2H -MoS₂ terhubung lemah dengan interaksi van der Waals yang lemah. MoS monolayer₂ kemudian dapat dengan mudah terkelupas dari massal. Konstanta kisi MoS massal₂ dihitung menjadi a =b =3,19Å, c =12,41 , yang konsisten dengan nilai yang dilaporkan dari a =b =3,18 , c =13,83 [18]. Konstanta kisi yang dioptimalkan untuk monolayer MoS₂ adalah a =b =3,19 , yang sesuai dengan MoS massal₂ . Seperti yang ditunjukkan pada Tabel 1, konstanta kisi yang dihitung dalam a , b arahnya sama untuk jumlah lapisan MoS yang berbeda₂ . Hal ini juga dilaporkan oleh Kumar et al. [19] bahwa konstanta kisi (a, b ) dari monolayer MoS₂ hampir identik dengan massal.

a Tampilan atas dan b tampilan samping massal-MoS₂ . c Tampak samping struktur monolayer, bilayer, trilayer, serta empat, lima, dan enam lapis dari MoS₂ . Sel satuan ditampilkan di b . Bola ungu dan kuning masing-masing mewakili atom Mo dan S

Gambar 3 menggambarkan struktur pita yang dihitung dan kepadatan elektronik keadaan (DOS) dari berbagai jumlah lapisan MoS₂ . Hasil untuk monolayer, bilayer, trilayer, dan empat-lapisan serta MoS massal₂ diberikan pada Gambar. 3, sedangkan hasil untuk MoS lima lapis dan enam lapis₂ sangat mirip dengan empat lapisan dan curah. Untuk MoS monolayer₂ , baik pita valensi maksimum (VBM) dan pita konduksi minimum (CBM) muncul di titik-K BZ, menunjukkan celah pita langsung 1,64 eV. Untuk MoS bilayer dan trilayer₂ , kedua VBM terletak di titik sedangkan kedua CBM terletak di titik K, menyebabkan kesenjangan tidak langsung masing-masing 1,17 dan 1,08 eV. Namun, karena jumlah MoS₂ lapisan meningkat menjadi empat dan di atas empat, semua multilayer MoS₂ menunjukkan karakter yang sama yang ditempatkan VBM di titik sedangkan CBM terletak di antara titik dan K, yang sama dengan curah. Celah pita tidak langsung adalah 1,03 eV, 1,01 eV, 0,99 eV, 0,93 eV untuk empat, lima, enam lapisan MoS₂ , dan massal, masing-masing. Baik perhitungan PBE-D2 dan HSE06 (Tabel 1) menunjukkan bahwa celah pita fundamental meningkat secara monoton ketika jumlah MoS₂ lapisan berkurang, yang disebabkan oleh kurungan elektron yang besar di pelat [4, 5, 19, 42]. Apalagi saat MoS massal₂ slab dikurangi menjadi satu lapisan, itu berubah menjadi semikonduktor celah pita langsung, seperti yang disebutkan sebelumnya, MoS massal₂ adalah semikonduktor celah tidak langsung. Pada Gambar. 3a, plot struktur pita dari MoS massal₂ menunjukkan pemisahan pita (dibandingkan dengan monolayer MoS₂ ), terutama di sekitar -titik, karena sambungan antarlapisan [16]. Struktur pita untuk dua lapis (2L) dan lebih dari 2L MoS₂ menunjukkan pemisahan pita yang serupa karena sambungan antarlapisan. Namun, pemisahan pita dalam jumlah besar agak lebih signifikan daripada di multilayer MoS₂ , menunjukkan kopling interlayer (sedikit) lebih kuat dalam jumlah besar daripada di multilayer. Di sisi lain, pemisahan pita di sekitar titik K di BZ sangat kecil. Keadaan elektronik pada titik K untuk pita yang terisi tertinggi sebagian besar terdiri dari d _xy dan \( {d}_{x^2-{y}^2} \) orbital atom Mo, serta bagian kecil dari (p _x , p _y )-orbital atom S (ditunjukkan pada Gambar 4b). Atom Mo terletak di lapisan tengah lembaran S-Mo-S, yang menyebabkan kopling antarlapisan yang dapat diabaikan di titik K (karena atom terdekat antara MoS₂ lapisan adalah S dan S). Seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 4, kopling antarlapisan yang lebih kuat pada titik dapat ditemukan jika dibandingkan dengan titik K, karena keadaan elektronik pada titik untuk pita terisi tertinggi didominasi oleh \( {d}_{z^2} \ ) orbital atom Mo dan p _z orbital atom S. Oleh karena itu, kopling S-S (interlayer coupling) jelas lebih kuat di titik daripada di titik K. Hasil kami konsisten dengan pekerjaan teoritis lainnya [21]. Secara umum, kerapatan elektronik status beberapa lapisan MoS₂ mirip dengan MoS massal₂ (lihat Gambar 3), karena MoS massal₂ sebenarnya adalah material berlapis dengan interaksi lemah antara MoS₂ lapisan.

Struktur pita yang dihitung dan kepadatan status a monolayer (garis penuh) dan massal (garis putus-putus), b lapisan ganda, c tiga lapis, dan d MoS empat lapis₂ . Dalam a , pita terisi tertinggi untuk bulk dan monolayer di titik K diatur ke energi yang sama. Pita konduksi minimum curah berada di titik B0

Distribusi muatan pita terisi tertinggi di a titik dan b poin K untuk MoS massal₂ . Nilai isosurface diatur menjadi 0,004 e/Å ³

Untuk mengeksplorasi secara mendalam sifat ikatan di monolayer MoS₂ , kerapatan muatan deformasi ditunjukkan pada Gambar. 5a. Kerapatan muatan deformasi diberikan oleh Δρ ₁ (r ) = ρ (r ) − ∑_μ ρ _atom (r R _μ ) di mana ρ (r ) adalah rapat muatan total dan _μ ρ _atom (r R _u ) singkatan dari superposisi kepadatan muatan atom independen. Hasilnya menunjukkan bahwa ikatan di MoS₂ monolayer dicirikan oleh kovalen yang jelas (garis kontur padat di antara atom Mo-S), serta interaksi ionik yang kuat (diwakili oleh area bergantian dari kontur putus-putus dan padat). Untuk melihat kekuatan ikatan di monolayer MoS₂ dibandingkan dengan yang dalam jumlah besar, perbedaan kerapatan muatan antara monolayer dan MoS massal₂ , Δρ ₂ (r ), juga disajikan pada Gambar. 5b. Perbedaan kerapatan muatan didefinisikan sebagai Δρ ₂ (r ) = ρ _1L (r ) − ρ _massal (r ), di mana ρ _1L (r ) dan ρ _massal (r ) adalah total kerapatan muatan monolayer dan massal MoS₂ , masing-masing. Gambar 5b menunjukkan ikatan elektronik yang lebih kuat dalam kasus monolayer daripada dalam jumlah besar, yang tercermin oleh akumulasi muatan yang lebih besar (garis kontur padat) di antara atom Mo-S di monolayer, serta oleh ikatan ion yang lebih kuat di monolayer MoS₂ karena daerah bolak-balik kontur putus-putus dan padat pada Gambar. 5b lebih signifikan daripada di massal. Selain itu, plot perbedaan muatan (Gbr. 5b) menunjukkan bahwa atom Mo dari lapisan tunggal kehilangan lebih banyak elektron daripada atom Mo dalam jumlah besar; oleh karena itu, ionisitas monolayer lebih kuat daripada bulk. Namun, harus ditunjukkan bahwa urutan besarnya perbedaan muatan pada Gambar 5b cukup kecil (interval kontur pada Gambar 5b hanya 2,5 × 10 ⁻⁴ e/Å ³ ). Menilai dari efek kurungan kuantum, sekali lagi, interaksi intra-layer monolayer harus lebih kuat daripada massal. Oleh karena itu, celah pita monolayer (1,64 eV) diharapkan lebih besar daripada massal (0,93 eV). Kuantum kurungan berkurang dengan meningkatnya jumlah lapisan [4, 42], yang meningkatkan kopling interlayer dan mengurangi interaksi intra-lapisan. Dengan demikian, celah pita MoS₂ menurun dengan meningkatnya kopling interlayer. Redistribusi kerapatan muatan antarlapisan untuk MoS bilayer₂ , Δρ ₃ (r ), juga disajikan pada Gambar. 5c. Δρ ₃ (r ) diberikan oleh Δρ ₃ (r ) = ρ _2L (r ) − ρ _lapisan1 (r ) − ρ _lapisan2 (r ), di mana ρ _2L (r ), ρ _lapisan1 (r ), ρ _lapisan2 (r ) adalah rapat muatan dari bilayer MoS₂ , lapisan pertama bilayer MoS₂ dan lapisan kedua MoS bilayer₂ , masing-masing. Kerapatan muatan lapisan1 dan lapisan2 bilayer MoS₂ dihitung dengan menggunakan struktur yang sesuai di bilayer MoS₂ . Biaya transfer dari MoS₂ lapisan (bilayer) ke wilayah perantara antara MoS₂ lapisan terlihat jelas pada Gambar. 5c, ditampilkan sebagai garis kontur padat. Interaksi ionik antar lapisan atom dalam lapisan ganda MoS₂ juga terlihat jelas, terlihat dari bidang kontur putus-putus dan padat yang berselang-seling. Sekali lagi, urutan besarnya kerapatan muatan antarlapisan, Δρ ₃ (r ), sangat kecil (interval kontur hanya 2,5 × 10 ^-4 e/Å ³ ). Umumnya, redistribusi kerapatan muatan antar-lapisan dalam 2L, 3L, …, MoS massal₂ semua sistem sangat mirip.

a Densitas muatan deformasi, ρ ₁ (r ) = ρ (r ) − ∑_μ ρ _atom (r R _μ ), di MoS monolayer₂ . b Perbedaan antara kerapatan muatan monolayer dan lapisan bulk yang sesuai. c Redistribusi kerapatan muatan antarlapisan MoS bilayer₂ . Interval kontur a adalah 2,5 × 10 ⁻² e/Å ³ , sedangkan keduanya b dan c adalah 2,5 × 10 ⁻⁴ e/Å ³ . Garis oranye solid dan garis biru putus-putus sesuai dengan ρ> 0 dan ρ < 0_, masing-masing

Properti Optik MoS₂ Multilayer

Setelah struktur elektronik keadaan dasar dari suatu material diperoleh, sifat optik kemudian dapat diselidiki. Bagian imajiner dari fungsi dielektrik \( {\varepsilon}_2^{\alpha \beta}\left(\omega \right) \) ditentukan oleh persamaan berikut [43]:

di mana indeks α dan β menunjukkan arah Cartesian, c dan v mengacu pada pita konduksi dan valensi, E _ck dan E _vk masing-masing adalah energi pita konduksi dan pita valensi. Inversi Kramers-Kronig dapat diterapkan untuk memperoleh bagian riil dari fungsi dielektrik \( {\varepsilon}_1^{\alpha \beta}\left(\omega \right) \) ditentukan oleh bagian imajiner \( {\ varepsilon}_2^{\alpha \beta}\left(\omega \right) \):

di mana P mewakili nilai utama. Sejak MoS₂ memiliki struktur uniaksial, ε ^xx (ω ) kemudian identik dengan ε ^yy (ω ). Dalam pekerjaan ini, kita hanya perlu membahas vektor listrik E yang sejajar dengan x-y pesawat, mis., E|| x sejajar dengan MoS₂ x-y pesawat.

Untuk menyelidiki spektrum optik detail MoS₂ sistem, koefisien penyerapan α (ω ) dan reflektifitas R (ω ) dihitung dengan bagian sebenarnya ε ₁ (ω ) dan bagian imajiner dari fungsi dielektrik. Persamaan parameter yang disebutkan disajikan di bawah ini:

Jika elemen matriks \( \left\langle {u}_{ck+{e}_{\alpha }q}|{u}_{vk}\right\rangle \) bervariasi sangat lambat sebagai k -vektor, suku \( \left\langle {u}_{ck+{e}_{\alpha }q}|{u}_{vk}\right\rangle \left\langle {u}_{ck+{ e}_{\beta }q}|{u}_{vk}\right\rangle \ast \) dalam Persamaan. (1) dapat diambil di luar penjumlahan. Dalam Persamaan. (1), sebagian besar dispersi di \( {\varepsilon}_2^{\alpha \beta}\left(\omega \right) \) disebabkan oleh penjumlahan fungsi delta δ (E _ck E _vk ω ). Penjumlahan ini dapat diubah menjadi integrasi energi dengan mendefinisikan kepadatan gabungan keadaan (JDOS) [25, 44],

di mana ω sama dengan E _ck E _vk , S _k mewakili permukaan energi konstan yang dilambangkan dengan E _ck E _vk = ℏω = konst. Kepadatan gabungan negara bagian J _cv (ω ) dikaitkan dengan transisi dari pita valensi ke pita konduksi, dan puncak besar di J _cv (ω ) akan berasal dari spektrum di mana _k (E _ck E _vk ) ≈ 0. Poin dalam k -ruang di mana _k (E _ck E _vk ) = 0 disebut titik kritis atau singularitas van Hove (VHS), dan E _ck E _vk disebut energi titik kritis [26, 27]. Titik kritis ∇_k E _ck = ∇_k E _vk = 0 biasanya hanya terjadi pada titik simetri tinggi, sedangkan titik kritis _k E _ck = ∇_k E _vk 0 dapat terjadi pada setiap titik umum di zona Brillouin [27, 45]. Dalam kasus dua dimensi, ada tiga jenis titik kritis, yaitu P ₀ (titik minimum), P ₁ (titik pelana), dan P ₂ (titik maksimum). Pada titik P ₀ atau P ₂ , singularitas fungsi langkah terjadi di JDOS, sedangkan pada titik pelana P ₁ , JDOS dijelaskan oleh singularitas logaritmik [27]. Lebih detail, E _c (k _x , k _y ) − E _v (k _x , k _y ) dapat diperluas dalam deret Taylor tentang titik kritis. Membatasi ekspansi ke suku kuadrat, dengan suku linier tidak terjadi karena sifat singularitas, maka kita memiliki

Oleh karena itu, muncul tiga jenis titik kritis. Untuk P ₀ , (b _x > 0, b _y > 0), untuk P ₁ , (b _x > 0, b _y < 0) atau (b _x < 0, b _y > 0), dan untuk P ₂ , (b _x < 0, b _y < 0). Dalam makalah ini, untuk kasus MoS₂ multilayer, hanya P ₀ titik kritis terlibat.

Gambar 6a memberikan bagian imajiner dari fungsi dielektrik, \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \), dari MoS₂ multilayer untuk E ||x. Kami menemukan fenomena menarik bahwa bagian imajiner dari fungsi dielektrik \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) memiliki dataran tinggi, dan dataran tinggi dari berbagai lapisan MoS₂ hampir sama dalam kisaran 1,75 eV~2,19 eV. Dari energi ambang hingga 1,75 eV, \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) cukup berbeda untuk multilayer MoS yang berbeda₂ . Ambang batas dan energi akhir dari dataran tinggi di lapisan yang berbeda berbeda, terutama, kisaran energi dari dataran tinggi \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \kanan) \) dari lapisan tunggal secara signifikan lebih luas daripada yang dari multilayer lainnya. Energi ambang batas monolayer MoS₂ fungsi dielektrik sama dengan celah pita langsungnya sebesar 1,64 eV. Namun, energi ambang batas fungsi dielektrik bilayer bukanlah celah pita tidak langsung sebesar 1,17 eV tetapi celah energi langsung minimum sebesar 1,62 eV antara pita valensi dan konduksi. Ini karena kami hanya mempelajari transisi antara pita valensi dan konduksi dengan vektor gelombang elektron yang sama, yang diklasifikasikan sebagai transisi optik langsung [36, 47]. Seperti jumlah MoS₂ lapisan meningkat menjadi 4, kami menemukan bahwa \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) dari multilayer MoS₂ sistem hampir tidak bisa dibedakan dari massal. Oleh karena itu, kami membahas di sini secara rinci hanya dataran tinggi dari lapisan tunggal, lapisan ganda, dan lapisan tiga, serta MoS massal₂ . Dataran tinggi \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) monolayer, bilayer, trilayer, dan massal MoS₂ berakhir pada 2,57 eV, 2,28 eV, 2,21 eV, dan 2,19 eV, masing-masing. Untuk menjelaskan ini lebih tepat, JDOS monolayer, bilayer, trilayer, dan massal MoS₂ ditunjukkan pada Gambar. 7. Dari Gambar. 7, dataran tinggi juga ditampilkan di JDOS. Dataran tinggi JDOS monolayer, bilayer, dan trilayer masing-masing berakhir pada 2,57 eV, 2,28 eV, 2,21 eV, yang persis sama dengan yang ada di \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right ) \). Untuk MoS massal₂ , dataran tinggi JDOS berakhir pada 2,09 eV, yang sedikit lebih kecil dari 2,19 eV dalam fungsi dielektrik \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \).

a Bagian imajiner dari fungsi dielektrik, b bagian nyata dari fungsi dielektrik, c koefisien penyerapan, dan d spektrum reflektifitas, untuk jumlah MoS yang berbeda₂ lapisan. Sisipan di c juga menunjukkan data eksperimen [46]

Kepadatan gabungan status untuk monolayer, bilayer, trilayer, dan MoS massal₂

Untuk menganalisis secara akurat transisi elektronik dan untuk analisis terperinci dari fungsi dielektrik \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \kanan) \), celah energi langsung, E(NC − NV), antara pita konduksi dan valensi monolayer, bilayer, trilayer, dan massal MoS₂ disajikan pada Gambar. 8. Notasi NC dan NV mewakili nomor urut pita konduksi dan valensi. Oleh karena itu, NC =1, 2, dan 3 menandakan pita material terendah, terendah kedua, dan terendah ketiga. Di sisi lain, NV =9, 18, dan 27 (yang tergantung pada jumlah elektron dalam sel satuan) menandakan pita terisi tertinggi dari monolayer, bilayer, dan trilayer MoS₂ , masing-masing. Untuk lapisan tunggal, di wilayah 0 ~ 2,57 eV, transisi elektronik ditemukan hanya berkontribusi dari pita terisi tertinggi NV =9 ke pita kosong terendah NC =1. Dari Gambar 8a, minimum muncul pada titik simetri tinggi K dan ambang batas JDOS (Gbr. 7a) muncul pada 1,64 eV yang sebenarnya merupakan celah pita langsung dari monolayer MoS₂ . Di sekitar titik simetri tinggi K, kurva E(NC = 1 − NV = 9) mirip dengan parabola untuk monolayer MoS₂ . Oleh karena itu, _k (E _ck E _vk ) = 0 di titik K, yang berarti titik kritis di titik simetri tinggi K. Dalam struktur dua dimensi, titik kritis ini milik P ₀ ketik singularitas [27], dan karena itu mengarah ke langkah di JDOS. Dengan demikian, energi ambang batas dataran tinggi JDOS ditemukan pada energi titik kritis 1,64 eV. Energi akhir dari dataran tinggi JDOS mendekati 2,57 eV, yang dihasilkan dari kemunculan dua P ₀ ketik singularitas pada titik B1 (k =(0.00, 0.16, 0.00)) dan titik B2 (k =(− 0.10, 0.20, 0.00)). Kemiringan kurva E(NC = 1 − NV = 9) di dekat dua titik kritis B1 dan B2 sangat kecil, yang meningkatkan JDOS dengan cepat (lihat Persamaan (5)). Titik kritis utama untuk dataran tinggi JDOS yang panjang ini tercantum dalam Tabel 2, termasuk jenis, lokasi, pita transisi, dan celah energi langsung E(NC − NV). Selanjutnya, kami menemukan bahwa _k E _ck = ∇_k E _vk = 0 terjadi pada titik simetri tinggi K dimana kemiringan pita valensi dan pita konduksi mendatar. Sementara _k E _ck = ∇_k E _vk 0 terjadi pada titik B1 dan B2, yang berarti kemiringan dua pita sejajar. Secara bersamaan, analisis pada struktur pita dan celah energi langsung (lihat Gambar 8a) untuk lapisan tunggal menunjukkan bahwa, ketika celah energi langsung E di bawah 2,65 eV, hanya transisi antara NV =9 dan NC =1 yang berkontribusi pada JDOS; ketika E lebih besar dari 2,65 eV, transisi NV =9 ke NC =2 juga mulai berkontribusi pada JDOS; sedangkan ketika E mencapai di atas 2,86 eV, transisi NV =9 ke NC =3 berpengaruh pada JDOS. Harus ditunjukkan bahwa untuk energi yang lebih besar dari 2,65 eV, banyak pita pada Gambar 8a akan berkontribusi pada JDOS. JDOS dari monolayer MoS₂ menunjukkan dataran tinggi dalam kisaran 1,64 ~ 2,57 eV dan variasi ekspresi |M_vc | ² /ω ² ditemukan kecil dalam kisaran ini. Menurut Persamaan. (1) and (5), the imaginary part of the dielectric function \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) is mainly decided by the JDOS and the transition matrix elements, this gives a similar plateau for the imaginary part of dielectric function \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) as compared to JDOS.

Direct energy gaps, ΔE(NC − NV), between conduction and valence bands for the a monolayer, b bilayer, c trilayer, and d bulk MoS₂ . a –d There are three, six, twelve, and six critical points in interband transitions for the monolayer, bilayer, trilayer, and bulk MoS₂ , masing-masing

For bilayer MoS₂ , in the region of 0 ~ 2.28 eV (the endpoint of JDOS plateau), the electronic transitions are contributed to NV =17, 18 to NC =1, 2. The minimum energy in ΔE(NC − NV) is situated at the K point with a gap of 1.62 eV. In Fig. 8b, similar to monolayer MoS₂ , bilayer MoS₂ holds two parabolic curves going upward (which come from ΔE(NC = 1 − NV = 18) and ΔE(NC = 2 − NV = 18)) at K point. Therefore, there are two P ₀ type singularities (∇_k (E _ck E _vk ) = 0) at K point, causing a step in the JDOS. The critical point energies are both 1.62 eV, this is because that the conduction bands (NC =1 and NC =2) are degenerate at point K (as shown in Fig. 3b), which results in the same direct energy gap between transitions of NV =18 to NC =1 and NV =18 to NC =2. From Fig. 8b, as the direct energy gap is increased to 1.69 eV, two new parabolas (which come from ΔE(NC = 1 − NV = 17) and ΔE(NC = 2 − NV = 17)) appear and two new singularities emerge again at K point in the direct energy gap graph, leading to a new step in JDOS for bilayer MoS₂ (see Fig. 7b). As a result, the JDOS of the bilayer MoS₂ has two steps around the threshold of long plateau (see inset in Fig. 7b). Two parabolas (in Fig. 8b) contribute to the first step and four parabolas contribute to the second step in JDOS. It means that the value of the second step is roughly the double of the first one. As the ΔE reaches to 2.28eV, two new singularities appear at Γ point (where interband transitions come from Γ(NV =18→NC =1) and Γ(NV =18→NC =2)), which have great contribution to the JDOS and bring the end to the plateau. Our calculations demonstrate that ∇_k E _ck  = ∇_k E _vk  = 0 are satisfied not only at high symmetry point K, but also at high symmetry point Γ. Similar to the case of monolayer, we found that the term of |M_vc | ² /ω ² is a slowly varying function in the energy range of bilayer JDOS plateau; hence, \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) of bilayer have a similar plateau in the energy range.

For trilayer MoS₂ , in the region of 0 ~ 2.21 eV, the JDOS are contributed from electronic transitions of NV =25, 26, and 27 to NC =1, 2, and 3. As shown in Fig. 8c, trilayer MoS₂ have nine singularities at three different energies (ΔE =1.61 eV, 1.66 eV, and 1.72 eV, respectively) at the K point. Figure 3c depicts that the conduction bands (NC =1, 2, 3) are three-hold degenerate at point K; this means that there are three singularities at each critical point energy. According to our previous analysis, the JDOS and \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) of trilayer MoS₂ will show three steps near the thresholds of the long plateaus, the endpoints of the long plateaus of trilayer JDOS, and \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) are then owing to the appearance of three singularities at Γ point with ΔE =2.21 eV (see Fig. 7c), which come from the interband transitions of Γ(NV =27→NC =1, 2, 3).

For bulk MoS₂ , the thresholds of \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) and JDOS are also located at K point, with the smallest ΔE(NC − NV) equals to 1.59 eV. Nevertheless, there is no obvious step appeared in the thresholds of plateaus for both the \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) and JDOS (see Fig. 6a and Fig. 7d). Based on the previous analysis, the number of steps in the monolayer, bilayer, and trilayer MoS₂ are 1, 2, and 3, respectively. As the number of MoS₂ layers increases, the number of steps also increases in the vicinity of the threshold energy. Thus, in the bulk MoS₂ , the JDOS curve is composed of numerous small steps around the threshold energy of the long plateau, and finally the small steps disappear near the threshold energy since the width of the small steps decreases. In the region of 0 ~ 2.09 eV, the electron transitions of bulk MoS₂ are contributed to NV =17, 18 to NC =1, 2. The 2.09 eV is the endpoint of JDOS plateau of bulk MoS₂ , which is attributed to two singularities, i.e., the interband transitions of Γ(NV =18→NC =1) as well as Γ(NV =18→NC =2), as presented in Fig. 8d. However, the plateau endpoint of the imaginary part of dielectric function \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) is 2.19 eV, which is greater than the counterpart of JDOS (e.g., 2.09 eV). Checked the transition matrix elements, it verified that some transitions are forbidden by the selection rule in the range of 2.09 eV to 2.19 eV. Therefore, the imaginary part of the dielectric function \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) is nearly invariable in the range of 2.09 ~ 2.19 eV. As a result, the plateau of \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) of bulk MoS₂ is then 1.59 ~ 2.19 eV.

It has been shown that these thresholds of the JDOS plateaus are determined by singularities at the K point for all of the studied materials, see Fig. 8. The endpoint energy of the monolayer JDOS plateau is determined by two critical points at B1 and B2 (Fig. 8a). Nevertheless, the endpoint energies of bilayer, trilayer, and bulk JDOS plateaus are all dependent on the critical points at Γ(Fig. 8b–d). The interlayer coupling near point Γ is significantly larger than the near point K for all the systems of multilayer MoS₂ . The smallest direct energy gap decreases and the interlayer coupling increases as the number of layers grow. With the layer number increases, a very small decrease of direct energy gap at point K and a more significant decrease of direct energy gap at point Γ can be observed, as a result, a faint red shift in the threshold energy and a bright red shift in the end of both JDOS and \( {\varepsilon}_2^{xx}\left(\omega \right) \) plateaus can also be found. For monolayer MoS₂ , the smallest ΔE(NC − NV) at point Γ is 2.75 eV which is larger than that at point B1 (or point B2) with a value around 2.57 eV. When it goes to multilayer and bulk MoS₂ , the strong interlayer coupling near point Γ makes the smallest ΔE(NC − NV) at Γ less than those at point B1 (or point B2). Hence, monolayer owns the longest plateau of JDOS, which is between 1.64 eV and 2.57 eV. The shortest plateau of JDOS (from 1.59 eV to 2.09 eV) is shown in the bulk.

As the energy is increased to the value larger than the endpoint of long platform of the dielectric function, a peak A can be found at the position around 2.8 eV, for almost all the studied materials (Fig. 6a). The width of peak A for monolayer is narrower compared with those of multilayer MoS₂; however, the intensity of peak A for monolayer is found to be a little stronger than multilayers. The differences between the imaginary parts of dielectric function for the monolayer and multilayer MoS₂ are evident, on the other hand, the differences are small for multilayer MoS₂ .

In order to explore the detailed optical spectra of MoS₂ multilayers, the real parts of the dielectric function ε ₁ (ω ), the absorption coefficients α (ω ), and the reflectivity spectra R (ω ) are presented in Fig. 6b–d. Our calculated data of bulk MoS₂ for the real and imaginary parts of the dielectric function, ε ₁ (ω ) and ε ₂ (ω ), the absorption coefficient α (ω ) and the reflectivity R (ω ) agree well with the experimental data, except for the excitonic features near the band edge [48,49,50]. The calculated values of , which is called the static dielectric constant, for MoS₂ multilayers and bulk can be found in Table 1. From Table 1, the calculated values of \( {\varepsilon}_1^{xx}(0) \) for multilayers and bulk MoS₂ are all around 15.5, which is very close to the experimental value of 15.0 for bulk MoS₂ [50]. The values of \( {\varepsilon}_1^{xx}(0) \) increase with the increasing number of MoS₂ lapisan. For monolayer MoS₂ , a clear peak B of \( {\varepsilon}_1^{xx}\left(\omega \right) \) appears about 2.54 eV. Peak B of monolayer is clearly more significant than multilayers, and they are all similar for multilayer MoS₂ . As the layer number increases, the sharp structures (peak B) also move left slightly. In Fig. 6c, we also observe the emergence of long plateaus in the absorption coefficients, and absorption coefficients are around 1.5 × 10 ⁵ cm ⁻¹ at the long plateaus. There are also small steps around the thresholds for the absorption coefficients, which are consistent to those of the imaginary parts of dielectric function. With the layer number increases, the threshold energy of absorption coefficient decreases, while the number of small steps increases at the starting point of the plateau. For monolayer and multilayer MoS₂ , strong absorption peaks emerge at visible light range (1.65–3.26 eV), and the monolayer MoS₂ own a highest absorption coefficient of 1.3 × 10 ⁶ cm ⁻¹ . The theoretical absorption coefficients for different number of MoS₂ layers are compared with confocal absorption spectral imaging of MoS₂ (the inset) [46], as shown in Fig. 6c. For monolayer and multilayer MoS₂ , a large peak of α (ω ) can be found at the position around 2.8 eV for both the calculation and experiment [46, 51]. Furthermore, a smoothly increase of α (ω ) can be found between 2.2 and 2.8 eV for both the theoretical and experimental curves. Therefore, from Fig. 6c, the calculated absorption coefficients of MoS₂ multilayers show fairly good agreement with the experimental data [46], except for the excitonic peaks. The reflectivity spectra are given in Fig. 6d. The reflectivity spectra of MoS₂ multilayers are all about 0.35–0.36 when energy is zero, which means that MoS₂ system can reflect about 35 to 36% of the incident light. In the region of visible light, the maximum reflectivity of monolayer MoS₂ is 64%, while the maxima of multilayer and bulk MoS₂ are all about 58%. Because of the behaviors discussed, MoS₂ monolayer and multilayers are being considered for photovoltaic applications.